すいの体積高校入試対策

たむかい学習教室
1月7日
読了時間: 7分

すいの体積高校入試対策

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

高校入試では、立体図形のすい（錐）の体積に関する出題があり、底面と垂直の関係にある高さを見つけ出すことがポイントになります。問題にある図形の向きを変えていろいろな面から見ることや、実際に立体を描いてみることも大切です。

問題

下の図のような、底面が１辺６cmの正三角形で、高さが６cmである正三角柱ＡＢＣＤＥＦがある。この三角柱を３点Ａ、Ｃ、Ｅを含む平面で２つの立体に分け、点Ｂを含む立体をＰ、点Ｄを含む立体をＱとする。あとの問いに答えなさい。

1）立体Ｑの表面積から、立体Ｐの表面積をひいた差を求めなさい。

2）立体Ｑの体積を求めなさい。

1）

△ＡＢＥ＝△ＡＤＥ

△ＢＣＥ＝△ＣＦＥ

△ＡＢＣ＝△ＤＥＦ

３組の三角形の面積は等しいから

立体Ｑの長方形ＡＤＦＣの面積を求める。

ＡＤ＝６cm、ＤＦ＝３cmだから

６×３＝18cm²

2）

三角柱から三角錐Ｐを引いて求める

三角柱の底面ＡＢＣは正三角形だから

高さｘは、直角三角形の辺の比より

ｘ：ＡＢ＝√３：２

ＡＢ＝６cmだから

ｘ：６＝√３：２

ｘ＝３√３cm

よって、底面積は、

（1/2）×６×３√３＝９√３cm²

三角柱の体積は、

高さＡＤ＝６cmだから

９√３×６＝54√３cm³

三角錐Ｐの底面積と高さは、三角柱と同じ。

よって、

三角錐の体積は、三角柱の体積の1/3倍。

（1/3）×54√３＝18√３cm³

よって、求める体積は、

54√３－18√３＝36√３cm³

問題

下の図のように、１辺の長さが６cmの立方体ＡＢＣＤＥＦＧＨがある。点Ａと点Ｃ、点Ａと点Ｆ、点Ａと点Ｈ、点Ｃと点Ｆ、点Ｃと点Ｈ、点Ｆと点Ｈをそれぞれ結ぶ。あとの問いに答えなさい。

1）三角錐ＡＥＦＨの体積を求めなさい。

2）三角錐ＡＣＦＨの体積を求めなさい。

1）

∠ＡＥＦ＝∠ＡＥＨ＝90°より

底面を△ＥＦＨ、高さをＡＥとする。

底面積は、

ＥＦ＝ＥＨ＝６cmだから

６²×（1/2）＝18cm²

ＡＥ＝６cm

よって、

求める体積は、

（1/3）×18×６＝36cm³

2）

三角錐ＡＥＦＨと合同な三角錐が３つある

三角錐ＢＦＡＣ、ＣＧＦＨ、ＨＤＡＣ

立方体から三角錐４つ分を引いた体積だから

６³－36×４

＝216－144

＝72cm³

問題

下の図は、∠ＯＡＢ＝∠ＯＡＣ＝∠ＢＡＣ＝90°、ＯＡ＝ＡＢ＝８cm、ＣＡ＝９cmの三角錐ＯＡＢＣである。点Ｄ、Ｅはそれぞれ辺ＯＡ、ＡＢの中点である。あとの問いに答えなさい。

1）△ＡＤＥの面積を求めなさい。

2）三角錐ＯＡＢＣの体積を求めなさい。

3）三角錐ＯＡＢＣを、３点Ｃ、Ｄ、Ｅを通る平面で２つの立体に分けたときの、点Ｏをふくむ立体の体積を求めなさい。

1）

∠ＤＡＥ＝90°、

ＤＡ＝ＥＡ＝４cm

よって、

（1/2）×４²＝８cm²

2）

底面の△ＡＢＣの面積は、

∠ＢＡＣ＝90°、

ＡＢ＝８cm、ＣＡ＝９cmだから

（1/2）×８×９＝36cm²

三角錐の高さは、ＯＡ＝８cm

よって、

（1/3）×36×８＝96cm³

3）

三角錐ＯＡＢＣの体積から、

三角錐ＤＡＥＣの体積をひいて求める。

ＤＡＥＣの底面△ＡＥＣの面積は

ＡＥ＝８÷２＝４cmだから

（1/2）×４×９＝18cm²

高さＤＡ＝８÷２＝４cm

よって、

三角錐ＤＡＥＣの体積は、

（1/3）×18×４＝24cm³

よって、求める体積は、

96－24＝72cm³

問題

1）図１は、底面の円の半径が３cm、高さが４cmの円柱である。また、図２は、底面の円の半径が２cm、高さが４cmの円錐である。図１の円柱を透明な容器Ａとし、図２の円錐を鉄でできたおもりＢとする。この容器Ａを底面が水平になるように置き、水をいっぱいになるまで注いだ。その後、おもりＢを、底面を水平に保ったまま容器Ａの水の中に静かに沈めていく。図３のように、おもりＢの底面から水面までの高さが２cmとなったとき、あふれた水の体積は何cm³か。ただし、容器Ａの厚さは考えないものとする。

おもりの水面から出ている部分をＣとする

円錐Ｃの高さは２cmだから

おもりとＣの相似比は、

４：２＝２：１

おもりとＣの体積比は、

２³：１³＝８：１

よって、

水につかっている部分の体積比は、

８－１＝７

おもり全体の7/8にあたるから

（1/3）×π×２²×４×（7/8）

＝（14/3）π

よって、（14/3）π cm³

2）図３の状態から、おもりＢを、底面を水平に保ったまま容器Ａの水の中から静かに引き上げると水面が下がり、図４のように、おもりＢの底面から水面までの高さが１cmとなった。このとき、容器Ａの下の底面から水面までの高さは何cmか。ただし、容器Ａの厚さは考えないものとする。

下図の通り、

底面から１~２cm間の立体をＰとする

おもり全体の体積比は、

４³＝64

Ｐの体積比は、

３³－２³＝19

よって、Ｐの体積は、

（16/3π）×（19/64）＝（19/12）πcm³

Ｐの体積は、円柱の空の部分と同じ。

空の部分の体積÷円柱の底面積＝円柱の高さ

となるから

（19/12）π÷９π＝19/108 cm

円柱の高さは全部で４cmだから

４－19/108＝413/108 cm

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