- たむかい学習教室
- 6 日前
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グラフと三角形の面積
当塾では「夏期講習」を実施しており、多くの塾生が受講しています。
この夏から、受験生は入試に向けて対策を始めています。一次関数では、直線のグラフによってできる三角形の面積を求める問題があります。ｘ軸やｙ軸との関係から「底辺」と「高さ」を見極めることが大切になります。
問題
図１で、①は関数ｙ＝－20/ｘのグラフであり、２点Ａ、Ｂは①上の点でｘ座標がそれぞれ－４、10である。②は２点Ａ、Ｂを通る直線である。あとの問いに答えなさい。ただし、座標軸の単位の長さを１cmとする。
1）点Ａのｙ座標を求めなさい。
2）直線②の式を求めなさい。
1）
点Ａはｙ＝－20/ｘ上にある
ｘ＝－４だから
ｙ＝－20/－４＝５
よって、５
2）
点Ｂのｙ座標を求める
ｙ＝－20/ｘ上にあり、ｘ＝10だから
ｙ＝－20/10＝－２
Ｂ（10，－２） Ａ（－４，５）を通る
ｘの増加量 10－（－４）＝14
ｙの増加量 －２－５＝－７
傾き －７/14＝－1/2
ｙ＝（－1/2）ｘ＋ｂとする
（－４，５）を通るから
５＝２＋ｂ ｂ＝３
よって、
ｙ＝（－1/2）ｘ＋３
図２は、図１に△ＡＢＣと点Ｐをかき加えたものである。点Ｃは①上の点、点Ｐは線分ＡＢ上の点である。点Ｃのｘ座標が２であるとき、あとの問いに答えなさい。
3）△ＡＢＣの面積を求めなさい。
4）線分ＣＰが△ＡＢＣの面積を２等分するとき、点Ｐの座標を求めなさい。
3）
点Ｃを通りｙ軸に平行な直線ｘ＝２をひく
直線ｘ＝２と直線ＡＢの交点をＤとする
△ＡＣＤ＋△ＢＣＤにより求める
点Ｄはｙ＝（－1/2）ｘ＋３上にある
ｘ＝２だから
ｙ＝（－1/2）×２＋３＝２
Ｄ（２，２）
△ＡＣＤと△ＢＣＤの共通の底辺はＣＤ
点Ｃはｙ＝－20/ｘ上にある
ｘ＝２だから
ｙ＝－20/２＝－10
Ｃ（２，－10）
ＣＤの長さはｙの値の差だから
ＣＤ＝２－（－10）＝12 ①
△ＡＣＤと△ＢＣＤの高さの和を求める
ＡとＢのｘの値の差だから
10－（－４）＝14 ②
よって、△ＡＢＣの面積は
①、②より
（1/2）×12×14＝84cm²
4）
△ＣＡＰと△ＣＢＰの頂点をＰとすると
２つの三角形は高さが同じ
よって、
底辺の長さが同じであればよいから
ＡＰ＝ＢＰ
ＡＢの中点Ｐを求める
Ａ（－４，５） Ｂ（10，－２）
ｘ座標の値の平均
（－４＋10）÷２＝３
ｙ座標の値の平均
（５－２）÷２＝3/2
よって、
（３，3/2）
★ポイント★
点Ａ、Ｂ、Ｃを通る長方形を作り、周りの３つの直角三角形の面積をひいて求める方法もありますが、「軸に平行な直線」で区切って求める方法に慣れておくことも重要です。
入試は、三角形の等積変形を利用する出題が多く、２つの三角形の共通の底辺に注目する視点が必要なため、上記の解法で解くのがおすすめです。
問題
下の図のように、２点（－５，３）、（４，６）を通る直線ℓと２点（－５，８）、（４，－４）を通る直線mが点Ａで交わっている。直線ℓ、mとｘ軸との交点をそれぞれＢ、Ｃとするとき、△ＡＢＣの面積を求めなさい。
直線ℓの式
（－５，３）、（４，６）を通る直線
ｘの増加量 ４－（－５）＝９
ｙの増加量 ６－３＝３
傾き 3/9＝1/3
ｙ＝（1/3）ｘ＋ｂとする
（４，６）を通るから
６＝（4/3）＋ｂ ｂ＝14/3
よって、直線ℓの式は
ｙ＝（1/3）ｘ＋（14/3） ①
直線mの式
（－５，８）、（４，－４）を通る直線
ｘの増加量 ４－（－５）＝９
ｙの増加量 －４－８＝－12
傾き －12/9＝－4/3
ｙ＝（－4/3）ｘ＋ｃとする
（４，－４）を通るから
－４＝（－16/3）＋ｃ ｃ＝4/3
よって、直線mの式は
ｙ＝（－4/3）ｘ＋（4/3） ②
点Ａはℓ、mの交点だから
①、②の連立方程式により
（1/3）ｘ＋（14/3）＝（－4/3）ｘ＋（4/3）
ｘ＋14＝－４ｘ＋４
５ｘ＝－10 ｘ＝－２
①に代入して
ｙ＝（－2/3）＋（14/3）＝４
よって、Ａ（－２，４）
点Ｂはｙ＝（1/3）ｘ＋（14/3）上にある
ｙ＝０の点だから
０＝（1/3）ｘ＋（14/3）
０＝ｘ＋14 ｘ＝－14
よって、Ｂ（－14，０）
点Ｃはｙ＝（－4/3）ｘ＋（4/3）上にある
ｙ＝０の点だから
０＝（－4/3）ｘ＋（4/3）
０＝－４ｘ＋４ ｘ＝１
よって、（１，０）
△ＡＢＣの底辺をＢＣ、高さを点Ａからｘ軸への垂線ＡＨとする
点Ｂはｘ＝－14、点Ｃはｘ＝１だから
ＢＣ＝１－（－14）＝15
点Ａはｙ＝４、点Ｈはｙ＝０だから
ＡＨ＝４－０＝４
よって、△ＡＢＣの面積は
（1/2）×ＢＣ×ＡＨ
＝（1/2）×15×４
＝30
問題
下の図のように、関数ｙ＝－ｘ＋８・・①のグラフがある。①のグラフとｘ軸、ｙ軸との交点をそれぞれＡ、Ｂとする。ｘ軸上に点Ｃ（－６，０）を、線分ＡＢ上に点Ｐをとり、線分ＣＰとｙ軸との交点をＱとする。△ＢＰＱ＝△ＣＯＱとなるとき、点Ｐの座標を求めなさい。
△ＢＰＱ＝△ＣＯＱのとき
△ＢＡＯ＝△ＢＰＱ＋四角形ＯＡＰＱ
△ＰＣＡ＝△ＣＯＱ＋四角形ＯＡＰＱだから
△ＢＡＯ＝ＰＣＡ
点Ａはｙ＝－ｘ＋８上にあり、ｙ＝０
０＝－ｘ＋８ ｘ＝８
点Ｃはｘ＝－６だから
ＣＡ＝８－（－６）＝14
△ＰＣＡの高さをｈとする
△ＰＣＡ＝（1/2）×ＣＡ×ｈ
＝（1/2）×14×ｈ
＝７ｈ
点Ｂはｙ＝８だから
ＢＯ＝８－０＝８
点Ａはｘ＝８だから
ＯＡ＝８－０＝８
△ＢＡＯ＝（1/2）×ＯＡ×ＢＯ
＝（1/2）×８×８
＝32
△ＰＣＡ＝△ＢＡＯより
７ｈ＝32 ｈ＝32/7
△ＰＣＡの高さｈは、点Ｐとｘ軸の距離だから
Ｐのｙ座標は、０＋32/7＝32/7
点Ｐはｙ＝－ｘ＋８上にあり、ｙ＝32/7だから
32/7＝－ｘ＋８
ｘ＝24/7
よって、
（24/7，32/7）
※別解
△ＢＰＱ＝△ＣＯＱのとき
△ＢＣＰ＝△ＢＰＱ＋△ＢＣＱ
△ＢＣＯ＝△ＣＯＱ＋△ＢＣＱだから
△ＢＣＰ＝△ＢＣＯ
よって、ＢＣ//ＯＰ
👉△ＢＣＰと△ＢＣＯ
共通の底辺がＢＣ。面積が同じだと高さも同じだから、ＢＣ//ＯＰ
直線ＢＣの傾き
Ｂ（０，８） Ｃ（－６，０）
ｘの増加量 ０－（－６）＝６
ｙの増加量 ８－０＝８
傾き ８/６＝４/３
よって、ＯＰの傾きも4/3
ｙ＝（4/3）ｘと、ｙ＝－ｘ＋８の交点がＰだから
（4/3）ｘ＝－ｘ＋８
（7/3）ｘ＝８
ｘ＝８×（3/7）＝24/7
ｙ＝（4/3）ｘに代入して
ｙ＝（4/3）×（24/7）＝32/7
よって、
（24/7，32/7）
問題
下の図のように、３点Ａ（４，３）、Ｂ（４，０）、Ｃ（７，０）と、点Ａを通る傾き２の直線ℓがある。直線ℓとｙ軸の交点をＤとし、点Ｐは線分ＡＤ上または線分ＡＣ上を動くものとする。このとき、あとの問いに答えなさい。
1）直線ℓの式を求めなさい。
2）２点Ａ、Ｃを通る直線の式を求めなさい。
3）直線ＤＰの傾きが１になる線分ＡＣ上の点Ｐの座標を求めなさい。
4）点Ｐのｘ座標が３であるとき、△ＰＢＣの面積を求めなさい。
5）△ＰＢＣの面積が３になる点Ｐのｘ座標をすべて求めなさい。
1）
直線ℓの傾きは２だから
ｙ＝２ｘ＋ｂとする
Ａ（４，３）を通るから
３＝８＋ｂ ｂ＝－５
よって、
ｙ＝２ｘ－５
2）
Ａ（４，３）、Ｃ（７，０）を通る直線
ｘの増加量 ７－４＝３
ｙの増加量 ０－３＝－３
傾き －３/３＝－１
ｙ＝－ｘ＋ｃとする
（７，０）を通るから
０＝－７＋ｃ ｃ＝７
よって、
ｙ＝－ｘ＋７
3）直線ＤＰの傾きが１になる線分ＡＣ上の点Ｐの座標を求めなさい。
Ｄ（０，－５）だから
直線ＤＰのｙ切片は－５
よって、直線ＤＰの式は、
ｙ＝ｘ－５
直線ＡＣとの交点になるから
ｙ＝－ｘ＋７との連立方程式により
ｘ－５＝－ｘ＋７
２ｘ＝12 ｘ＝６
ｙ＝ｘ－５に代入して、ｙ＝１
よって、（６，１）
4）点Ｐのｘ座標が３であるとき、△ＰＢＣの面積を求めなさい。
点Ｐはｘ座標が３だから、点Ｐの位置は点Ｂよりも左側にある。
よって、直線ＡＤ上にある。
直線ＡＤはｙ＝２ｘ－５だから
ｙ＝６－５＝１
よって、Ｐ（３，１）
△ＰＢＣの底辺をＢＣとすると、
高さは点Ｐからｘ軸への垂線ＰＨになる。
点Ｂはｘ＝４、点Ｃはｘ＝７だから
ＢＣ＝７－４＝３
点Ｐはｙ＝１、点Ｈはｙ＝０だから
ＰＨ＝１－０＝１
よって、△ＰＢＣの面積は
（1/2）×ＢＣ×ＰＨ
＝（1/2）×３×１
＝3/2
5）△ＰＢＣの面積が３になる点Ｐのｘ座標をすべて求めなさい。
4）より
直線ＡＤ上のｙ＞０にある点Ｐの面積は3/2
△ＰＢＣの面積が３になるには、高さＰＨが２倍になればよい。
ＰＨ＝１×２＝２より
点Ｐのｙ座標は２で、直線ＡＤのｙ＝２ｘ－５上にあるから
２＝２ｘ－５
７＝２ｘ ｘ＝7/2
この三角形の等積変形により、高さが同じ２になる点ＰがＡＣ上にもあればよい。
点Ｐのｙ座標は２で、直線ＡＣのｙ＝－ｘ＋７上にあるから
２＝－ｘ＋７ ｘ＝５
同じく等積変形により、高さが２になる点ＰがＡＤ上のｙ＜０にあればよい。
点Ｐのｙ座標は－２で、直線ＡＤのｙ＝２ｘ－５上にあるから
－２＝２ｘ－５
３＝２ｘ ｘ＝3/2
よって、
3/2、7/2、５
速さに関する問題
問題
Ａさんの妹は、家を出発し、一定の速さで歩いて図書館に向かった。Ａさんは、妹に忘れ物を届けようと午後１時に家を出発し、妹の歩いた道を通って妹を追いかけた。Ａさんは、家を出発してから分速140mで５分間走り、家から700m離れたＰ地点に着いた。Ａさんは、Ｐ地点からＱ地点まで分速90mで10分間歩き、Ｑ地点から分速200mで７分間走り、図書館に着く前に妹に追いついた。
下の図は、Ａさんが家を出発してからｘ分間で進んだ道のりをｙmとするとき、Ａさんが家を出発してから妹に追いつくまでのｘとｙの関係をグラフに表したものである。あとの問いに答えなさい。
1）Ａさんが家を出発してから３分間で進んだ道のりを求めなさい。
2）ｘの変域が15≦ｘ≦22のとき、ｙをｘの式で表しなさい。
3）妹がＱ地点に着いたのは、Ａさんが家を出発する６分前であった。もし、妹が、Ｑ地点に着いたときに忘れ物に気づき、すぐに、Ｑ地点まで歩いた速さで同じ道をもどったとしたら、午後１時に出発したＡさんが妹に出会う時刻は、何時何分何秒になりますか。
1）
０≦ｘ≦５のとき
Ａさんの速さは、分速140m
分速140mで３分進むから
140×３＝420m
よって、420m
2）
５≦ｘ≦15のとき
Ａさんの速さは、分速90m
このときの直線の式を、ｙ＝90ｘ＋ｂとする
（５，700）を通るから
700＝450＋ｂ
250＝ｂ
よって、
ｙ＝90ｘ＋250（５≦ｘ≦15）
ｘ＝15のとき
ｙ＝90×15＋250＝1600
よって、
15≦ｘ≦22のときの直線は、（15，1600）を通る
このとき分速200mだから
ｙ＝200ｘ＋ｃとする
（15，1600）を通るから
1600＝3000＋ｃ
－1400＝ｃ
よって、求める式は
ｙ＝200ｘ－1400
3）
妹が戻らずに図書館に向かったときの、妹の速さを求める。
妹がＱ地点にいるときは（－６，1600）
家からＡに追いつかれた地点までの距離
ｙ＝200ｘ－1400にｘ＝22を代入して
ｙ＝4400－1400＝3000m
妹が追いつかれた地点は（22，3000）
２点（－６，1600）（22，3000）において
ｘの増加量 22－（－６）＝28分
ｙの増加量 3000－1600＝1400m
傾き 1400/28＝50m/分
よって、妹の速さは分速50m
妹はＱ地点から家に戻るので、その直線の式を
ｙ＝－50ｘ＋ｄとする
（－６，1600）を通るから
1600＝300＋ｄ
1300＝ｄ
よって、戻るときの式は
ｙ＝－50ｘ＋1300
ｘ＝５のとき、ｙ＝1050だから
この直線と交わるのは、ｙ＝90ｘ＋250
２式の連立方程式より
90ｘ＋250＝－50ｘ＋1300
140ｘ＝1050
ｘ＝105/14
７分と1/2分（＝30秒）だから
午後１時７分30秒
2026年・青森県立高校入試
一次関数・二次関数のグラフ
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