グラフと等積変形

たむかい学習教室
3月5日
読了時間: 8分

グラフと等積変形

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

関数のグラフでは、等積変形を利用する出題があります。グラフ中にある三角形と共通の底辺をもち、高さの等しい三角形をつくって面積を求めます。底辺を固定し、底辺と平行な直線上に頂点を移動させます。

問題

関数ｙ＝（－1/4）ｘ²のグラフ上に、３点Ａ（－４，－４）、Ｂ（２，ｂ）、Ｃ（ｃ，－９）がある。ただし、ｃ＞０とする。

1）ｂ、ｃの値を求めなさい。

2）直線ＢＣの傾きと直線ＡＣの式を求めなさい。

3）△ＡＢＣの面積を求めなさい。

4）ｘ軸上に点Ｄを、△ＡＢＣの面積と△ＢＣＤの面積が等しくなるようにとる。このときの点Ｄの座標をすべて求めなさい。

1）

点Ｂはｙ＝（－1/4）ｘ²上にあるから

ｘ＝２を代入

ｙ＝（－1/4）×２²＝－１＝ｂ

点Ｃも同じ放物線上にあるから

ｙ＝－９を代入

－９＝（－1/4）ｘ²

ｘ²＝36

ｘ＞０より、ｘ＝６＝ｃ

よって、ｂ＝－１、ｃ＝６

2）

Ｂ（２，－１）とＣ（６，－９）を通る

ｘの増加量　６－２＝４

ｙの増加量　－９－（－１）＝－８

直線ＢＣの傾きは、－８／４＝－２

Ａ（－４，－４）とＣ（６，－９）を通る

ｘの増加量　６－（－４）＝10

ｙの増加量　－９－（－４）＝－５

直線ＡＣの傾きは、－５／10＝－1/2

切片の値をｄとする

ｙ＝（－1/2）ｘ＋ｄ

（－４，－４）を通るから

－４＝（－1/2）×（－４）＋ｄ

ｄ＝－６

直線ＡＣの式は、ｙ＝（－1/2）ｘ－６

よって、

直線ＢＣの傾き　－２

直線ＡＣの式　ｙ＝（－1/2）ｘ－６

3）

点Ｂを通りｙ軸に平行な直線をひく

ＡＣとの交点をＥとする

点Ｅのｘ座標はＢと同じ２

直線ＡＣ上にあるから

ｙ＝（－1/2）×２－６＝－７

よって、

ＢＥ＝－１－（－７）＝６

△ＡＢＥで底辺をＢＥとすると

高さは点ＡからＢＥへの垂線の長さになる

高さは、２－（－４）＝６

よって、△ＡＢＥの面積は、

（1/2）×６×６＝18

△ＢＣＥで底辺をＢＥとすると

高さは点Ｃから直線ＢＥへの垂線の長さになる

高さは、６－２＝４

よって、△ＢＣＥの面積は、

（1/2）×６×４＝12

△ＡＢＥ＋△ＢＣＥ＝△ＡＢＣだから

18＋12＝30

4）

△ＡＢＣと△ＢＣＤの底辺をＢＣとする

高さが等しくなればよいから、

点Ａを通りＢＣに平行な直線をひく。

平行な直線とｘ軸との交点がＤになる。

平行な直線はＢＣの傾きと同じ－２

切片の値をｅとする

ｙ＝－２ｘ＋ｅ

Ａ（－４，－４）を通るから

－４＝－２×（－４）＋ｅ

ｅ＝－12

よって、ｙ＝－２ｘ－12

ｘ軸上は、ｙ＝０だから

０＝－２ｘ－12

ｘ＝－６

よって、Ｄ（－６，０）

点Ａと直線ＢＣについて対称な点Ｆを求める

点Ｆを通りＢＣに平行な直線をひく。

平行な直線とｘ軸との交点がＤになる

ＡＦは直線で、ＡＢ＝ＢＦだから

ＡＢ間とＢＦ間のｘとｙの増加量は等しい

Ａ（－４，－４）とＢ（２，－１）

ｘの増加量は、２－（－４）＝６だから

点Ｆのｘ座標は、２＋６＝８

ｙの増加量は、－１－（－４）＝３だから

点Ｆのｙ座標は、－１＋３＝２

よって、Ｆ（８，２）

平行な直線はＢＣの傾きと同じ－２

切片の値をｆとする

ｙ＝－２ｘ＋ｆ

（８，２）を通るから

２＝－２×８＋ｆ

ｆ＝18

よって、ｙ＝－２ｘ＋18

ｘ軸上は、ｙ＝０だから

０＝－２ｘ＋18

ｘ＝９

よって、Ｄ（９，０）

2024年青森県立高校入試

問題

図１で、①は関数ｙ＝２ｘ²のグラフであり、２点Ａ、Ｂは①上の点でｘ座標がそれぞれ－１、２である。また、②は２点Ａ、Ｂを通る直線である。あとの問いに答えなさい。ただし、座標軸の単位の長さを１cmとする。

1）点Ａの座標を求めなさい。

2）線分ＡＢの長さを求めなさい。

1）

点Ａはｙ＝２ｘ²上にあるから

ｘ＝－１を代入

ｙ＝２×（－１）²＝２

よって、（－１，２）

2）

点Ｂはｙ＝２ｘ²上にあるから

ｘ＝２を代入

ｙ＝２×２²＝８

よって、Ｂ（２，８）

∠ＡＣＢ＝90°となる点Ｃをとる

Ｃのｘ座標はＢと同じ２、

Ｃのｙ座標はＡと同じ２

よって、

ＡＣ＝２－（－１）＝３cm

ＢＣ＝８－２＝６cm

△ＡＢＣで三平方の定理より

ＡＢ²＝ＡＣ²＋ＢＣ²

　　＝３²＋６²＝45

ＡＢ＞０より

ＡＢ＝３√５cm

図２は、図１に面積の等しい△ＡＯＢと△ＡＯＣをかき加えたものである。点Ｃはｙ軸上の点で、ｙ座標が正であるとき、あとの問いに答えなさい。

3）点Ｃの座標を求めなさい。

4）点Ａと２点Ｂ、Ｃを通る直線との距離を求めなさい。

3）

△ＡＯＢと△ＡＯＣの底辺をＯＡとする

高さが等しいから、ＯＡ//ＢＣ

直線ＯＡの傾きは

原点と（－１，２）を通るから

２／（－１）＝－２

よって、直線ＢＣの傾きも－２

ＢＣの式を、ｙ＝－２ｘ＋ｂとする

Ｂ（２，８）を通るから

８＝－２×２＋ｂ

ｂ＝12

よって、（０，12）

4）

点Ａから直線ＢＣへの垂線をＡＨとする

△ＯＣＡの面積を求める

底辺ＯＣ＝12－０＝12cm

高さは点Ａとｙ軸との距離だから

０－（－１）＝１cm

よって、

（1/2）×12×１＝６cm²

ＯＡの長さを求める

ｘ軸上に∠ＯＧＡ＝90°となる点Ｇをとる

△ＯＡＧで三平方の定理より

ＯＡ²＝ＡＧ²＋ＯＧ²

ＡＧ＝２－０＝２cm

ＯＧ＝０－（－１）＝１cmだから

ＯＡ²＝２²＋１²＝５

ＯＡ＝√５cm（ＯＡ＞０）

ＯＡ//ＢＣより

∠ＯＡＨ＝∠ＢＨＡ＝90°だから

△ＯＨＡ＝（1/2）×√５×ＡＨ

△ＯＨＡ＝△ＯＣＡ＝６cm²だから

（1/2）×√５×ＡＨ＝６

√５ＡＨ＝12

ＡＨ＝12√5/5

よって、12√5/5 cm

2021年青森県立高校入試

問題

図１で、①は関数ｙ＝（－4/9）ｘ²のグラフであり、点Ａの座標は（２，－４）、点Ｂは①上の点でｘ座標が負の値をとり、ｙ座標は－４である。あとの問いに答えなさい。ただし、座標軸の単位の長さを１cmとする。

1）点Ｂのｘ座標を求めなさい。

2）①の関数について、ｘの値が３から６まで増加するときの変化の割合を求めなさい。

3）点Ｐをｘ軸上にとり、ＡＢ＝ＡＰとなる二等辺三角形ＡＢＰをつくる。点Ｐのｘ座標が正の値をとるとき、点Ｐの座標を求めなさい。

1）

点Ｂはｙ＝（－4/9）ｘ²上にあるから

ｙ＝－４を代入

－４＝（－4/9）ｘ²

ｘ²＝９

ｘ＜０より、ｘ＝－３

よって、－３

2）

ｘ＝３のとき、

ｙ＝（－4/9）×３²＝－４

ｘ＝６のとき

ｙ＝（－4/9）×６²＝－16

ｘの増加量　６－３＝３

ｙの増加量　－16－（－４）＝－12

よって、

－12／３＝－４

3）

点Ａからｘ軸への垂線をＡＱとする

ＡＢの長さはｘの値の差だから

ＡＢ＝２－（－３）＝５cm

よって、ＡＰ＝５cm

ＡＱの長さはｙの値の差だから

ＡＱ＝０－（－４）＝４cm

△ＡＰＱで∠ＡＱＰ＝90°だから

三平方の定理より

ＰＱ²＝ＡＰ²－ＡＱ²

　　＝５²－４²＝９

ＰＱ＝±３

点Ｑのｘ座標はＡと同じ２だから

点Ｐのｘ座標は、

ＰＱ＝３のとき、２＋３＝５

ＰＱ＝－３のとき、２－３＝－１

よって、求めるｘ座標は５

点Ｐはｙ＝０だから

（５，０）

4）図２は、図１の①上にｘ座標が６である点Ｃをとり、四角形ＯＢＣＡをかき加えたものである。点Ａを通り、四角形ＯＢＣＡの面積を２等分する直線の式を求めなさい。

線分ＡＢとｙ軸との交点をＨとする

ＡとＢはともにｙ＝－４だから

ＡＢとｘ軸は平行

よって、ＡＢ⊥ＯＨ

3）より、ＡＢ＝５cm

ＯＨ＝０－（－４）＝４cm

△ＯＡＢの面積は、

(1/2）×ＡＢ×ＯＨ

＝（1/2）×５×４＝10cm²　①

点Ｃはｙ＝（－4/9）ｘ²上にあり、ｘ＝６だから

ｙ＝（－4/9）×６²＝－16

よって、△ＣＡＢの高さは、

－４－（－16）＝12cm

△ＣＡＢの面積は、

（1/2）×５×12＝30cm²　②

四角形ＯＢＣＡの面積は、

①＋②＝10＋30＝40cm²だから

２等分した面積は、20cm²ずつ

２等分する直線とＢＣとの交点をＤとする

△ＤＡＢ＝△ＯＡＢ＝10cm²になるから

△ＤＡＢの高さは△ＯＡＢと同じ４cm

ＡＢはｙ＝－４だから

点Ｄのｙ座標は、－４－４＝－８

直線ＢＣの式を求める

Ｂ（－３，－４）Ｃ（６，－16）

ｘの増加量　６－（－３）＝９

ｙの増加量　－16－（－４）＝－12

傾き　－12/9＝－4/3

切片の値をｂとする

ｙ＝（－4/3）ｘ＋ｂ

（－３，－４）を通るから

－４＝（－4/3）×（－３）＋ｂ

ｂ＝－８

直線ＢＣの式は、ｙ＝（－4/3）ｘ－８

点Ｄはｙ＝－８だから

－８＝（－4/3）ｘ－８

ｘ＝０

よって、

Ｄ（０，－８）を通る直線だから

傾きをａとして、ｙ＝ａｘ－８

Ａ（２，－４）を通るから

－４＝ａ×２－８

ａ＝２

よって、求める式は、

ｙ＝２ｘ－８

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