一次関数 xとy

たむかい学習教室
10月11日
読了時間: 7分

一次関数 xとy

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

10月初めは、中間考査の解説を行いました。一次関数では、ｘとｙの関係を文章題やグラフから読み取る問題が中心で、傾きと切片（変化の割合と定数）の意味を正しく理解しておくことが基本になります。

問題

２本のろうそくＡ、Ｂがあり、それぞれ一定の割合で燃える。次の表は、それぞれのろうそくの最初の長さと１分間に短くなる長さを示している。

ろうそくＡ、Ｂに同時に火をつける。ろうそくＡ、Ｂが両方とも燃えている間で、Ａ、Ｂの長さが同じになるのは、火をつけてから何分何秒後か、求めなさい。

「一定の割合で燃える」

👉一次関数の式で求める

ろうそくＡ

ｘ分間で短くなる長さは、

（－2/3）×ｘ＝（－2/3）ｘcm

最初の長さが９cmだから、

火をつけた後のろうそくＡの長さは、

ｙ＝（－2/3）ｘ＋９　①

ろうそくＢ

ｘ分間で短くなる長さは、

－２×ｘ＝－２ｘcm

最初の長さが20cmだから、

火をつけた後のろうそくＢの長さは、

ｙ＝－２ｘ＋20　②

ＡとＢの長さが同じになるときだから

①＝②より

（－2/3）ｘ＋９＝－２ｘ＋20

両辺×３

－２ｘ＋27＝－６ｘ＋60

４ｘ＝33

ｘ＝33/4

33/4分後に同じ長さになる

33/4＝8と1/4分

1/4分＝（1/4）×60＝15秒だから

８分15秒後

問題

次の１次関数の式を求めなさい。

1）グラフが点（０，－２）を通り、傾きが３の直線である。

2）グラフがｙ＝－３ｘ－５に平行で、点（－１，５）を通る。

1）

ｘ＝０のとき、ｙ＝－２だから

グラフの切片は、－２

よって、求める式は、

ｙ＝３ｘ－２

👉（０，□）は切片を表す

2）

求める式は、ｙ＝－３ｘ－５と平行だから

傾き－３と同じ

求める式の切片の値をｂとする

ｙ＝－３ｘ＋ｂ

（－１，５）を通るから

５＝－３×（－１）＋ｂ

ｂ＝２

よって、求める式は、

ｙ＝－３ｘ＋２

問題

下の図の２直線ℓ、ｍについて、あとの問いに答えなさい。

1）直線ℓの式を求めなさい。

2）直線ｍの式を求めなさい。

3）２直線ℓ、ｍの交点Ｐの座標を求めなさい。

4）△ＰＡＢの面積を求めなさい。

1）

（０，６）を通るから、切片の値は６

直線ℓの傾きをａとする

ｙ＝ａｘ＋６

Ａ（－６，０）を通るから

０＝－６ａ＋６

ａ＝１

よって、求める式は、

ｙ＝ｘ＋６

2）

（０，－４）を通るから、切片の値は－４

直線ｍの傾きをａ’とする

ｙ＝ａ’ｘ－４

Ｂ（－２，０）を通るから

０＝－２ａ’－４

ａ’＝－２

よって、求める式は、

ｙ＝－２ｘ－４

3）

ｙ＝ｘ＋６と、

ｙ＝－２ｘ－４との交点だから

ｘとｙの値は同じになる。

よって、

ｘ＋６＝－２ｘ－４

ｘ＝－10/3

ｙ＝ｘ＋６に代入

ｙ＝（－10/3）＋６

　＝8/3

よって、求める座標は、

（－10/3，8/3）

4）

△ＰＡＢの底辺をＡＢ、

点Ｐからの垂線とｘ軸との交点をＣ、

高さをＰＣとする。

ＡＢは２点のｘの値の差だから

ＡＢ＝－２－（－６）＝４

ＰＣは２点のｙの値の差だから

ＰＣ＝（8/3）－０＝8/3

△ＰＡＢ

＝（1/2）×ＡＢ×ＰＣ

＝（1/2）×４×8/3

＝16/3

よって、求める面積は、16/3

問題

１次関数ｙ＝ｘ＋６について、ｘの変域が－８＜ｘ＜３のときのｙの変域を求めなさい。

ｘ＝－８のとき

ｙ＝－８＋６＝－２

ｘ＝３のとき

ｙ＝３＋６＝９

ｙの変域に－２と９をふくまないから

－２＜ｙ＜９

問題

１次関数ｙ＝ｘ－３について、次の問いに答えなさい。

1）ｘの値が次のとき、ｙの値を求めなさい。

　①　ｘ＝－４

　②　ｘ＝５

2）ｘの変域が－４≦ｘ≦５のときのｙの変域を求めなさい。

1）

式にｘ＝－４を代入

ｙ＝－４－３＝－７

式にｘ＝５を代入

ｙ＝５－３＝２

よって、

①　ｙ＝－７

②　ｙ＝２

2）

1）より、求める変域は、

－７≦ｙ≦２

👉－７と２をふくむ範囲

問題

４つの関数の式

ｙ＝－２ｘ＋10

ｙ＝２ｘ

ｙ＝（1/2）ｘ－３

ｙ＝－８／ｘ

を特徴Ａにあてはまるかで、下のようにグループ分けをした。あとの㋐～㋓で、特徴Ａとして適切なものをすべて選びなさい。

ｙ＝２ｘにあてはまる

㋐　傾きが正の数、増加量はともに正の数

㋑　交わる原点はｙ＝０

㋒　ｘ＝－２のときｙ＝－４

㋓　ｘ＝１のときｙ＝２、ｘ＝４のときｙ＝８

ｙ＝（1/2）ｘ－３にあてはまる

㋐　傾きが正の数、増加量はともに正の数

㋑　切片が負の数

㋒　ｘ＝－２のときｙ＝－４

ｙ＝－２ｘ＋10にあてはまらない

㋐　傾きが負の数、ｙの増加量は負の数（減少）

㋑　切片は正の数

㋒　ｘ＝－２のときｙ＝14

ｙ＝－８／ｘにあてはまらない

㋑　ｘ＝０のとき、式が成り立たない（交点なし）

㋒　ｘ＝－２のときｙ＝４

㋓　－８≦ｙ≦－２

よって、あてはまる、あてはまならいの両方をみたすのは

㋑と㋒

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