- たむかい学習教室
- 4 日前
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一次関数 グラフの応用問題
当塾では「夏期講習」を実施しており、多くの塾生が受講しています。
この夏から、受験生は入試に向けて対策を始めています。高校入試では、ｘとｙの関数についての出題があります。以下では、対策問題を掲載しています。
問題
下の図のように、関数ｙ＝－ｘ＋８・・①のグラフがある。①のグラフとｘ軸、ｙ軸との交点をそれぞれＡ、Ｂとする。ｘ軸上に点Ｃ（－６，０）を、線分ＡＢ上に点Ｐをとり、線分ＣＰとｙ軸との交点をＱとする。△ＢＰＱ＝△ＣＯＱとなるとき、点Ｐの座標を求めなさい。
△ＢＰＱ＝△ＣＯＱのとき
△ＢＡＯ＝△ＢＰＱ＋四角形ＯＡＰＱ
△ＰＣＡ＝△ＣＯＱ＋四角形ＯＡＰＱだから
△ＢＡＯ＝ＰＣＡ
点Ａはｙ＝－ｘ＋８上にあり、ｙ＝０
０＝－ｘ＋８ ｘ＝８
点Ｃはｘ＝－６だから
ＣＡ＝８－（－６）＝14
△ＰＣＡの高さをｈとする
△ＰＣＡ＝（1/2）×ＣＡ×ｈ
＝（1/2）×14×ｈ
＝７ｈ
点Ｂはｙ＝８だから
ＢＯ＝８－０＝８
点Ａはｘ＝８だから
ＯＡ＝８－０＝８
△ＢＡＯ＝（1/2）×ＯＡ×ＢＯ
＝（1/2）×８×８
＝32
△ＰＣＡ＝△ＢＡＯより
７ｈ＝32 ｈ＝32/7
△ＰＣＡの高さｈは、点Ｐとｘ軸の距離だから
Ｐのｙ座標は、０＋32/7＝32/7
点Ｐはｙ＝－ｘ＋８上にあり、ｙ＝32/7だから
32/7＝－ｘ＋８
ｘ＝24/7
よって、
（24/7，32/7）
※別解
△ＢＰＱ＝△ＣＯＱのとき
△ＢＣＰ＝△ＢＰＱ＋△ＢＣＱ
△ＢＣＯ＝△ＣＯＱ＋△ＢＣＱだから
△ＢＣＰ＝△ＢＣＯ
よって、ＢＣ//ＯＰ
👉△ＢＣＰと△ＢＣＯ
共通の底辺がＢＣ。面積が同じだと高さも同じだから、ＢＣ//ＯＰ
直線ＢＣの傾き
Ｂ（０，８） Ｃ（－６，０）
ｘの増加量 ０－（－６）＝６
ｙの増加量 ８－０＝８
傾き ８/６＝４/３
よって、ＯＰの傾きも4/3
ｙ＝（4/3）ｘと、ｙ＝－ｘ＋８の交点がＰだから
（4/3）ｘ＝－ｘ＋８
（7/3）ｘ＝８
ｘ＝８×（3/7）＝24/7
ｙ＝（4/3）ｘに代入して
ｙ＝（4/3）×（24/7）＝32/7
よって、
（24/7，32/7）
問題
下の図のように、点Ａ、Ｂは、①ｙ＝（－3/5）ｘのグラフと②ｙ＝－15/ｘのグラフとの交点であり、点Ａのｘ座標は－５である。点Ｃは②のグラフ上の点でｙ座標が－15である。このとき、△ＡＢＣの面積を求めなさい。ただし、座標軸の１目もりを１cmとする。
点Ａはｙ＝－15/ｘ上にあり、ｘ＝－５だから
ｙ＝－15/（－５）＝３
Ａ（－５，３）
点Ｂは原点についてＡと対称だから
Ｂ（５，－３）
点Ｃはｙ＝－15/ｘ上にあり、ｙ＝－15だから
－15＝－15/ｘ ｘ＝１
Ｃ（１，－15）
点Ｃを通りｙ軸に平行な直線ｘ＝１をひく
直線ＡＢとの交点をＤとする
△ＡＣＤ＋△ＢＣＤで求める
点Ｄはｙ＝（－3/5）ｘ上にあり、ｘ＝１だから
ｙ＝－3/5
Ｄ（１，－3/5）
△ＡＣＤと△ＢＣＤの共通の底辺をＣＤとする
ＣＤ＝（－3/5）－（－15）＝72/5cm
２つの三角形の高さの和は、点Ａと点Ｂのｘ座標の差だから
５－（－５）＝10cm
よって、求める面積は
（1/2）×（72/5）×10＝72cm²
問題
Ａさんは、10時ちょうどに家を出発し、途中で図書館に立ち寄ってから駅に向かった。Ａさんは図書館に到着するまで分速60mで進み、図書館にいた時間は５分間だった。下の図は、Ａさんが家を出発してからの時間をｘ分、進んだ道のりをｙmとして、ｘとｙの関係をグラフに表したものである。あとの問いに答えなさい。
1）Ａさんが図書館を出発した時刻を求めなさい。
2）Ａさんが図書館を出発して、駅に到着するまでのｘとｙの関係を表すグラフの式を求めなさい。
3）兄は、Ａさんが家を出発してから20分後に自転車で家を出発し、同じ道を分速240mで通り、Ａさんを追いかけた。兄はＡさんに追いついた時刻を求めなさい。
1）
図書館に到着するまで分速60m
600mを分速60mで進んだ時間は
600÷60＝10分
10時10分から図書館に５分いたから
出発した時刻は、10時15分
2）
図書館出発（15，600）
駅到着（30，1800）
ｘの増加量 30－15＝15
ｙの増加量 1800－600＝1200
傾き 1200/15＝80
ｙ＝80ｘ＋ｂとする
（15，600）を通るから
600＝80×15＋ｂ
600－1200＝ｂ
－600＝ｂ
よって、求める式は
ｙ＝80ｘ－600
3）
兄の式をｙ＝240ｘ＋ｂとする
家を出発したのは（20，０）だから
０＝240×20＋ｂ
－4800＝ｂ
よって、
ｙ＝240ｘ－4800
兄がＡに追いつくのは、Ａが図書館を出発した後だから
ｙ＝240ｘ－4800と
ｙ＝80ｘ－600の交点のｘを求める
240ｘ－4800＝80ｘ－600
160ｘ＝4200
ｘ＝105/4
26分と1/4分（＝15秒）だから
10時26分15秒
問題
Ａさんの妹は、家を出発し、一定の速さで歩いて図書館に向かった。Ａさんは、妹に忘れ物を届けようと午後１時に家を出発し、妹の歩いた道を通って妹を追いかけた。Ａさんは、家を出発してから分速140mで５分間走り、家から700m離れたＰ地点に着いた。Ａさんは、Ｐ地点からＱ地点まで分速90mで10分間歩き、Ｑ地点から分速200mで７分間走り、図書館に着く前に妹に追いついた。
下の図は、Ａさんが家を出発してからｘ分間で進んだ道のりをｙmとするとき、Ａさんが家を出発してから妹に追いつくまでのｘとｙの関係をグラフに表したものである。あとの問いに答えなさい。
1）Ａさんが家を出発してから３分間で進んだ道のりを求めなさい。
2）ｘの変域が15≦ｘ≦22のとき、ｙをｘの式で表しなさい。
3）妹がＱ地点に着いたのは、Ａさんが家を出発する６分前であった。もし、妹が、Ｑ地点に着いたときに忘れ物に気づき、すぐに、Ｑ地点まで歩いた速さで同じ道をもどったとしたら、午後１時に出発したＡさんが妹に出会う時刻は、何時何分何秒になりますか。
1）
０≦ｘ≦５のとき
Ａさんの速さは、分速140m
分速140mで３分進むから
140×３＝420m
よって、420m
2）
５≦ｘ≦15のとき
Ａさんの速さは、分速90m
このときの直線の式を、ｙ＝90ｘ＋ｂとする
（５，700）を通るから
700＝450＋ｂ
250＝ｂ
よって、
ｙ＝90ｘ＋250（５≦ｘ≦15）
ｘ＝15のとき
ｙ＝90×15＋250＝1600
よって、
15≦ｘ≦22のときの直線は、（15，1600）を通る
このとき分速200mだから
ｙ＝200ｘ＋ｃとする
（15，1600）を通るから
1600＝3000＋ｃ
－1400＝ｃ
よって、求める式は
ｙ＝200ｘ－1400
3）
妹が戻らずに図書館に向かったときの、妹の速さを求める。
妹がＱ地点にいるときは（－６，1600）
家からＡに追いつかれた地点までの距離
ｙ＝200ｘ－1400にｘ＝22を代入して
ｙ＝4400－1400＝3000m
妹が追いつかれた地点は（22，3000）
２点（－６，1600）（22，3000）において
ｘの増加量 22－（－６）＝28分
ｙの増加量 3000－1600＝1400m
傾き 1400/28＝50m/分
よって、妹の速さは分速50m
妹はＱ地点から家に戻るので、その直線の式を
ｙ＝－50ｘ＋ｄとする
（－６，1600）を通るから
1600＝300＋ｄ
1300＝ｄ
よって、戻るときの式は
ｙ＝－50ｘ＋1300
ｘ＝５のとき、ｙ＝1050だから
この直線と交わるのは、ｙ＝90ｘ＋250
２式の連立方程式より
90ｘ＋250＝－50ｘ＋1300
140ｘ＝1050
ｘ＝105/14
７分と1/2分（＝30秒）だから
午後１時７分30秒
2026年・青森県立高校入試
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塾生の声
苦手が自信に。
受験で大きく伸びました！
この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。
数学を克服して
テストの得点は右肩上がり！
私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。
やり方が分かり
勉強の習慣がついた！
分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。
英語に自信がつき
入試で大幅アップ！
勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。
英語と数学は
これからもこの塾で！
苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。
この塾で本当に良かった！
通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！
理数への意識が変わり
自分から進んで勉強しています！
入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。
目標の中学受験
苦手を克服して志望校合格！
中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。
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