- たむかい学習教室
- 8月17日
- 読了時間: 10分
一次関数 入試対策問題②
当塾では「夏期講習」を実施しており、多くの塾生が受講しています。
この夏から、受験生は入試対策に取り組み始めています。高校入試の数学では「一次関数」を利用した出題がよくあり、対策は必須となります。式の意味やグラフの見方を正しく理解しておくことが重要になります。
問題
ある水そうに給水口と排水口がついており，給水口からは一定の割合で水が入り，排水口からは一定の割合で水が出る。はじめ，水そうに40Ｌの水が入っている状態で排水口を開ける。排水口を開けてから12分後に給水口を開いたところ，排水口を開けてから18分後に，水そうに入っている水の量は再び40Ｌになった。下の図は，排水口を開けてからｘ分後の水そうに入っている水の量をｙＬとして，ｘとｙの関係を表したグラフである。このとき，あとの問いに答えなさい。
1）次の㋐～㋒にあてはまる数や式を求めなさい。
・排水口から出る水の量は毎分（ ㋐ ）Ｌである。
・０≦ｘ≦12のとき、ｘとｙの関係を式に表すと、ｙ＝（ ㋑ ）である。
・12≦ｘ≦18のとき、水そうに入っている水の量は、毎分（ ㋒ ）Ｌの割合で増加する。
2）12≦ｘ≦18のとき、ｘとｙの関係を式に表しなさい。
3）排水口を開けてから18分後までの間で、水そうに入っている水の量が12Ｌとなるのは、排水口を開けてから何分後か、すべて求めなさい。
1）㋐
排水口を開けて12分間は、水が出ていくだけ
０≦ｘ≦12のとき直線のグラフだから、１分ごとに出ていく量は一定
ｘ＝０のとき、ｙ＝40
ｘ＝12のとき、ｙ＝４
12分で、40－４＝36Ｌ出ていくから
36Ｌ÷12分＝３Ｌ/分
よって、毎分３Ｌ
㋑
１分で３Ｌずつ減るから
ｘ分で３ｘＬずつ減る
はじめに40Ｌ入っていたから
ｙ＝－３ｘ＋40
㋒
排水口を開けて18分後に40Ｌに戻る
ｘ＝12のとき、ｙ＝４
ｘ＝18のとき、ｙ＝40
６分で、40－４＝36Ｌ増えるから
36Ｌ÷６分＝６Ｌ/分
よって、毎分６Ｌ
2）
㋒より
１分で６Ｌずつ増えるから
ｘ分で６ｘＬずつ増える
ｙ＝６ｘ＋ｂとする
ｘ＝12のとき、ｙ＝４だから
４＝６×12＋ｂ
４＝72＋ｂ
－68＝ｂ
よって、求める式は
ｙ＝６ｘ－68
3）
ｙ＝12となるのは
０≦ｘ≦12、12≦ｘ≦18に１回ずつある
０≦ｘ≦12のとき
ｙ＝－３ｘ＋40だから、ｙ＝12を代入して
12＝－３ｘ＋40
３ｘ＝28 ｘ＝28/3
12≦ｘ≦18のとき
ｙ＝６ｘ－68だから、ｙ＝12を代入して
12＝６ｘ－68
80＝６ｘ ｘ＝40/3
よって、
28/3秒後、40/3秒後
問題
下の図で、①は関数ｙ＝（5/2）ｘのグラフである。ｘ軸上のｘ座標が正の部分に点Ａを、①上に点Ｂを、線分ＡＯ上に点Ｃを、四角形ＢＣＡＤが正方形になるようにとる。また、点Ｐは線分ＯＢ上の点である。あとの問いに答えなさい。ただし、座標軸の単位の長さを１cmとする。
1）点Ｂのｘ座標をｔとするとき、次のア、イに答えなさい。
ア
点Ｂのｙ座標をｔを用いた式で表しなさい。
イ
線分ＯＡの長さをｔを用いた式で表しなさい。
2）点Ａのｘ座標を14とするとき、次のア、イに答えなさい。
ア
点Ｂの座標を求めなさい。
イ
直線ＰＡが四角形ＢＯＡＤの面積を２等分するとき、点Ｐのｘ座標を求めなさい。
1）ア
点Ｂはｙ＝（5/2）ｘ上にある
ｘ＝ｔだから
ｙ＝（5/2）×ｔ＝（5/2）ｔ
よって、（5/2）ｔ
イ
点Ｃはｙ＝０だから
ＢＣ＝（5/2）ｔ－０＝（5/2）ｔcm
ＡＣ＝ＢＣだから
ＡＣ＝（5/2）ｔcm
点ＣはＢのｘ座標と同じｘ＝ｔ
点Ｏはｘ＝０だから
ＯＣ＝ｔ－０＝ｔcm
ＯＡ＝ＡＣ＋ＯＣだから
ＯＡ＝（5/2）ｔ＋ｔ＝（7/2）ｔcm
よって、（7/2）ｔcm
2）ア
ＯＡ＝14cmだから
（7/2）ｔ＝14
ｔ＝４
Ｂ（ｔ，（5/2）ｔ）だから
Ｂ（４，10）
イ
ＯＡ//ＢＤ、∠ＯＡＤ＝90°だから
四角形ＢＯＡＤは台形
下底ＯＡ＝14cm
上底ＢＤ＝ＢＣ
点Ｂはｙ＝10だから
ＢＣ＝10－０＝10
よって、上底ＢＤ＝10cm
高さＤＡ＝ＢＣ＝10cm
台形の面積は
（1/2）×（10＋14）×10
＝120cm²
△ＯＰＡは台形の面積の半分だから
120÷２＝60cm²
△ＯＰＡの底辺をＯＡとする
高さはＰからＯＡへの垂線ＰＨになる
よって、
（1/2）×ＯＡ×ＰＨ＝60
ＯＡ＝14cmだから
（1/2）×14×ＰＨ＝60
７ＰＨ＝60
ＰＨ＝60/7cm
点Ｐからｘ軸への垂線の長さが60/7cmだから
点Ｐはｙ＝60/7
点Ｐはｙ＝（5/2）ｘ上にあるから
60/7＝（5/2）ｘ
ｘ＝（60/7）×（2/5）＝24/7
よって、24/7
問題
下の図で、①の直線の式はｙ＝３ｘ＋６、②の直線の式はｙ＝－２ｘ＋２である。直線①と②の交点をＰ、直線①、②とｘ軸の交点をそれぞれＡ、Ｂとする。このとき、あとの問いに答えなさい。
1）点Ｐの座標を求めなさい。
2）点Ａの座標を求めなさい。
3）△ＰＡＢの面積を求めなさい。ただし、座標の１目もりを１cmとする。
4）点Ｐを通り、△ＰＡＢの面積を２等分する直線の式を求めなさい。
1）
ｙ＝３ｘ＋６とｙ＝－２ｘ＋２
この２つの式のｘとｙが同じ点だから
３ｘ＋６＝－２ｘ＋２
５ｘ＝－４ ｘ＝－4/5
ｙ＝－２ｘ＋２に代入
ｙ＝（8/5）＋２＝18/5
よって、（－4/5，18/5）
2）
点Ａはｙ＝３ｘ＋６上にある
ｙ＝０だから
０＝３ｘ＋６
－３ｘ＝６ ｘ＝－２
よって、（－２，０）
3）
底辺をＡＢ、高さを点Ｐからｘ軸への垂線ＰＨとする
点Ａは、ｘ＝－２
点Ｂはｙ＝－２ｘ＋２上にある
ｙ＝０だから
０＝－２ｘ＋２
２ｘ＝２ ｘ＝１
よって、
ＡＢ＝１－（－２）＝３cm
点Ｐは、ｙ＝18/5
ｘ軸上にある点Ｈは、ｙ＝０だから
ＰＨ＝（18/5）－０＝18/5cm
よって、△ＰＡＢの面積は
（1/2）×ＡＢ×ＰＨ
＝（1/2）×３×（18/5）
＝27/5 cm²
4）
△ＰＡＢの頂点をＰとするとき
２等分される三角形は高さが同じだから
２つの三角形は底辺の長さも同じ
よって、
点ＰとＡＢの中点を通る直線
Ａ（－２，０）とＢ（１，０）の中点
ｘ座標 （－２＋１）÷２＝－1/2
ｙ座標 （０＋０）÷２＝０
中点は（－1/2，０）
よって、
（－4/5，18/5）と（－1/2，０）を通る直線
ｘの増加量
（－1/2）－（－4/5）＝3/10
ｙの増加量
０－（18/5）＝－18/5
傾き
（－18/5）÷（3/10）
＝（－18/5）×（10/3）
＝－12
ｙ＝－12ｘ＋ｂとする
（－1/2，０）を通るから
０＝６＋ｂ ｂ＝－６
よって、求める式は
ｙ＝－12ｘ－６
問題
下の図のような長方形ＡＢＣＤがある。長方形の周上を、点ＰがＢを出発して、Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ａと動く。点ＰがＢからｘcm動いたときの△ＡＢＰの面積をｙcm²とする。このとき、あとの問いに答えなさい。
1）点ＰがＢＣ上にあるとき（０≦ｘ≦７）、ｙをｘの式で表しなさい。
2）点ＰがＣＤ上にあるとき（７≦ｘ≦19）、ｙをｘの式で表しなさい。
3）点ＰがＤＡ上にあるとき（19≦ｘ≦26）、ｙをｘの式で表しなさい。
1）
点Ｂにあるとき
ｘ＝０、ｙ＝０
点Ｃにあるとき、ｘ＝７
∠ＡＢＣ＝90°だから
ｙ＝（1/2）×ＢＣ×ＡＢ
＝（1/2）×７×12＝42
よって、
（０，０）と（７，42）を通る直線
ｙ＝ａｘとする
（７，42）を通るから
42＝７ａ ａ＝６
よって、ｙ＝６ｘ
2）
点Ｄにあるとき、ｘ＝19
∠ＢＡＤ＝90°だから
ｙ＝（1/2）×ＡＤ×ＡＢ
＝（1/2）×７×12＝42
よって、
（７，42）と（19，42）を通る直線
２点のｙの値が同じだから
ｙ＝42
3）
点Ａにあるとき
ｘ＝26、ｙ＝０
（19，42）と（26，０）を通る直線
ｘの増加量 26－19＝７
ｙの増加量 ０－42＝－42
傾き －42/7＝－６
ｙ＝－６ｘ＋ｂとする
（26，０）を通るから
０＝－156＋ｂ ｂ＝156
よって、
ｙ＝－６ｘ＋156
問題
下の図のように、関数ｙ＝－４ｘ＋８・・①のグラフと直線ℓがｙ軸上の点Ａで交わっている。点Ｂ、Ｃはそれぞれ直線ℓ、①とｘ軸との交点で、点Ｂのｘ座標は－４である。
1）直線ℓの式を求めなさい。
2）線分ＡＢ上に、△ＯＡＤ＝△ＯＡＣとなるような点Ｄをとる。点Ｄの座標を求めなさい。
3）ｙ軸上に、ｙ座標が５である点Ｅをとる。このとき、ｙ軸を回転の軸として△ＡＢＥを１回転させてできる立体の体積を求めなさい。
1）
点Ａは直線①の切片で（０，８）
直線ℓをｙ＝ａｘ＋８とする
Ｂ（－４，０）を通るから
０＝－４ａ＋８ ａ＝２
よって、
ｙ＝２ｘ＋８
2）
∠ＡＯＣ＝90°だから
△ＯＡＣの底辺をＯＣ、高さをＡＯとする
点Ｃはｙ＝－４ｘ＋８上にある
ｙ＝０だから
０＝－４ｘ＋８ ｘ＝２
点Ｏはｘ＝０だから
ＯＣ＝２－０＝２
点Ａはｙ＝８、点Ｏはｙ＝０だから
ＡＯ＝８－０＝８
よって、△ＯＡＣの面積は
（1/2）×ＯＣ×ＡＯ
＝（1/2）×２×８
＝８
△ＯＡＤの底辺をＡＯ、
高さを点Ｄからｙ軸への垂線ＤＨとする
△ＯＡＤ＝△ＯＡＣ＝８だから
（1/2）×ＡＯ×ＤＨ＝８
（1/2）×８×ＤＨ＝８
４ＤＨ＝８ ＤＨ＝２
よって、点Ｄはｘ＝－２
点Ｄはｙ＝２ｘ＋８上にあるから
ｙ＝－４＋８＝４
よって、求める座標は
（－２，４）
3）
△ＯＡＢを回転させた円錐の体積から、△ＯＥＢを回転させた円錐の体積をひいて求める。
△ＯＡＢによる円錐
底面の半径はＯＢと同じ４、高さはＡＯと同じ８
（1/3）×π×４²×８＝（128/3）π
△ＯＥＢによる円錐
底面の半径はＯＢと同じ４
点Ｅがｙ＝５だから、高さは５
（1/3）×π×４²×５＝（80/3）π
よって、求める体積は
（128/3）π－（80/3）π
＝（48/3）π
＝16π
※別解
２つの円錐の底面積は同じで、
高さの差が８－５＝３だから
（1/3）×π×４²×３＝16π
と求めることもできる
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入試で大幅アップ！
勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。
英語と数学は
これからもこの塾で！
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