一次関数 入試対策問題⑤
当塾では「夏期講習」を実施しており、多くの塾生が受講しています。
この夏から、受験生は入試対策に取り組み始めています。高校入試の数学では「一次関数」を利用した出題がよくあり、対策は必須となります。式の意味やグラフの見方を正しく理解しておくことが重要になります。
問題
ある公園のジョギングコースは１周1200mである。このジョギングコースを、ＡさんとＢさんがスタート地点から同時に同じ方向に走り始め、それぞれ一定の速さで走る。下の図は、走り始めてからｘ分後までに走った距離をｙmとして、Ａさん、Ｂさんそれぞれのｘとｙの関係をグラフに表したものの一部である。このとき、あとの問いに答えなさい。
1）Ａさんのグラフについて、ｙをｘの式で表しなさい。
2）ＡさんとＢさんが、同時に走り始めてから最初に並ぶのは、走り始めてから何分後か。その時間を求めなさい。
1）
原点を通る直線だから
ｙ＝ａｘとする
ｘ＝２のとき、ｙ＝400だから
400＝２ａ ａ＝200
よって、ｙ＝200ｘ
2）
ＡがＢにちょうど１周差、すなわちＢに1200mの差をつけたとき
２人の進む速さは一定だから
Ａの進む距離は、200ｘ（m）
Ｂの進む距離は、
ｘ＝２のとき、ｙ＝300だから
300＝２ａ ａ＝150
ｙ＝150ｘで、150ｘ（m）
（Ａの距離）－（Ｂの距離）＝1200だから
200ｘ－150ｘ＝1200
50ｘ＝1200
ｘ＝24
よって、24分後
問題
１枚の大きな長方形の紙で、右の図Ⅰのような８ページの冊子を作り、それをいくつか束ねて、図Ⅱのような連続するページ番号がついた本を作る。
次の文章は、図Ⅰの冊子を作るときのページ番号のつけ方を説明したものである。
① １枚の大きな長方形の紙の表の右下に、もっとも小さいページ番号をつけると、そのほかの７つのページ番号は、次の図Ⅲのような位置になる。
② 図Ⅲのようにページ番号をつけた紙を、次の図Ⅳのように半分に折り、さらに半分に折って、上端を切り落とすと、図Ⅰのような１から８までのページ番号が順に並んだ冊子ができる。
９以降のページ番号についても、何枚かの大きな長方形の紙を使って、図Ⅳと同じ方法で冊子を作り、それらを束ねて図Ⅱのような本を作る。
このとき、次の1）、2）の問いに答えなさい。
1）下の図Ⅴで、3枚目の大きな長方形の紙の ㋐、㋑、㋒ の位置につけられるページ番号を求めなさい。
1）
１枚目の㋑は「１」
表と裏には全部で８ページあるから
２枚目の㋑は１＋８＝９で「９」
よって、
３枚目は９＋８＝17で、「17」
ｎ枚目の㋑の数をｙとすると、ｎとｙの関係は次の通り
ｎ １ ２ ３・・
ｙ １ ９ 17・・
ｎとｙの増加量は一定だからｙ＝ａｎ＋ｂ
ｎの増加量 ２－１＝１
ｙの増加量 ９－１＝８
変化の割合ａ ８/１＝８
切片ｂはｎ＝０のとき
ｎ ０ １ ２ ３・・
ｙ －７ １ ９ 17・・
よって、㋑の数を表す式は
ｙ＝８ｎ－７
👉３枚目のｎ＝３を代入すると、ｙ＝８×３－７＝17になる
㋐の数は㋑より常に７大きいから
ｙ＝８ｎ－７＋７
ｙ＝８ｎ
３枚目のｎ＝３を代入して
ｙ＝８×３＝24
㋒の数は㋑より常に２大きいから
ｙ＝８ｎ－７＋２
ｙ＝８ｎ－５
３枚目のｎ＝３を代入して
ｙ＝８×３－５＝19
よって、
㋐：24 ㋑：17 ㋒：19
★規則性の問題で、増える数が一定の場合は、ｎを使った一次関数の式で考えてもよい。
2）ひろとさんは、下の図Ⅵのように、ｎ枚目の大きな長方形の紙につけられたページ番号をａ、ｂ、ｃ、ｄとすると、ａｂ－ｃｄの値について、どのような性質が成り立つかを考えている。
ひろとさんは、いくつかの例で調べて、次のような性質が成り立つことを予想した。
ひろとさんの予想
図Ⅵのように、ｎ枚目の大きな長方形の紙につけられたページ番号をａ、ｂ、ｃ、ｄとすると、ａｂ－ｃｄの値は [ あ ]。
このとき、次の①、②の問いに答えなさい。
① ひろとさんの予想の [ あ ] にあてはまることばとしてもっとも適当なものを、次のア〜エのうちから一つ選び、その記号を書きなさい。
ア いつでも４になる
イ いつでも５になる
ウ いつでも６になる
エ いつでも７になる
1）より
ａの数は㋑より常に４大きいから
８ｎ－７＋４
＝８ｎ－３
ｂの数は㋑より常に３大きいから
８ｎ－７＋３
＝８ｎ－４
ｃの数は㋑より常に１大きいから
８ｎ－７＋１
＝８ｎ－６
ｄの数は㋑より常に６大きいから
８ｎ－７＋６
＝８ｎ－１
よって、
ａｂ－ｃｄ
＝（８ｎ－３）（８ｎ－４）－（８ｎ－６）（８ｎ－１）
＝（64ｎ²－56ｎ＋12）－（64ｎ²－56ｎ＋６）
＝64ｎ²－56ｎ＋12－64ｎ²＋56ｎ－６
＝６
したがって、ウ
② ひろとさんの予想が正しいことを次のように証明する。
このとき、[ い ]、[ う ] にあてはまる式、[ え ] にあてはまる数を書き入れ、証明を完成させなさい。ただし、同じ記号には同じ式や同じ数が入る。
〔証明〕
ａ、ｂ、ｃ、ｄは、ｎを使ってそれぞれ
ａ＝８ｎ－３
ｂ＝８ｎ－４
ｃ＝８ｎ－６
ｄ＝ [ い ]と表される。
ａｂ－ｃｄの値を求めると
ａｂ－ｃｄ
＝ （８ｎ－３）（８ｎ－４）－（８ｎ－６）（ い ）
＝（64ｎ²－56ｎ＋12）－（ う ）
＝[ え ]
したがって、ａｂ－ｃｄの値はいつでも [ え ] である。
②の解答は、①の通り
問題
下の図の長方形ＡＢＣＤで、点ＰはＢを出発して、辺上をＣ、Ｄを通ってＡまで動く。点ＰがＢからｘcm動いたときの△ＡＢＰの面積をｙcm²として、あとの問いに答えなさい。
1）点Ｐが辺ＢＣ上を動くとき、ｙをｘの式で表しなさい。また、このときのｘの変域を求めなさい。
2）点Ｐが辺ＤＡ上を動くとき、ｙをｘの式で表しなさい。また、このときのｘの変域を求めなさい。
3）点Ｐが辺ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ上を動くときの、△ＡＢＰの面積の変化のようすを表すグラフをかきなさい。
4）△ＡＢＰの面積が３cm²となるのは、点ＰがＢから何cm動いたときか、すべて求めなさい。
1）
∠ＡＢＰ＝90°より
△ＡＢＰの底辺をＢＰ、高さをＡＢとする
ＢＰ＝ｘcm、ＡＢ＝２cmだから
ｙ＝（1/2）×ｘ×２
ｙ＝ｘ
点ＰがＢにいるとき、ｘ＝０
Ｃにいるとき、ｘ＝４
ｘの変域は、０≦ｘ≦４
よって、
ｙ＝ｘ、０≦ｘ≦４
2）
∠ＢＡＰ＝90°より
△ＡＢＰの底辺をＡＰ、高さをＡＢとする
点ＰはＡまで最大４＋２＋４＝10cm動く
ＤＡ上にいるときは、Ａからｘcm動いてきたから
ＡＰ＝10－ｘ cm
よって、
ｙ＝（1/2）（10－ｘ）×２
ｙ＝－ｘ＋10
点ＰがＤにいるとき、ｘ＝４＋２＝６
Ａにいるとき、ｘ＝10
ｘの変域は、６≦ｘ≦10
よって、
ｙ＝－ｘ＋10、６≦ｘ≦10
3）
ＣＤ上を動くとき
△ＡＢＰの底辺をＡＢとすると、高さは点ＰからＡＢへの垂線４cmになる。
よって、
ｙ＝（1/2）×２×４
ｙ＝４
点ＰがＣにいるとき、ｘ＝４
Ｄにいるとき、ｘ＝６
ｘの変域は４≦ｘ≦６
グラフは、
ＢＣ上を動くとき（０≦ｘ≦４）
ｙ＝ｘだから
Ｂにいるとき ｘ＝０、ｙ＝０
Ｃにいるとき ｘ＝４、ｙ＝４
よって、
（０，０）と（４，４）を通る直線
ＣＤ上を動くとき（４≦ｘ≦６）
ｙ＝４だから
Ｃにいるとき ｘ＝４、ｙ＝４
Ｄにいるとき ｘ＝６、ｙ＝４
よって、
（４，４）と（６，４）を通る直線
ＤＡ上を動くとき（６≦ｘ≦10）
Ｄにいるとき ｘ＝６、ｙ＝４
ｘ＝10のとき、面積は０でｙ＝０
よって、
（６，４）と（10，０）を通る直線
4）
グラフでｙ＝３の点は
直線ｙ＝ｘ上と、ｙ＝－ｘ＋10上にある
ｙ＝ｘに代入して、ｘ＝３
ｙ＝－ｘ＋10に代入して
３＝－ｘ＋10 ｘ＝７
よって、
３cm、７cm
問題
下の図の正方形ＡＢＣＤで、点ＰはＡを出発して、辺上をＢ、Ｃを通ってＤまで動く。点ＰがＡからｘcm動いたときの△ＤＰＢの面積をｙcm²とする。点Ｐが次の1）～3）の辺上を動くとき、ｙをｘの式で表しなさい。
1）辺ＡＢ
2）辺ＢＣ
3）辺ＣＤ
1）
底辺はＢＰ、高さはＡＤ＝４cm
ＡＢ＝４cm、ＡＰ＝ｘcmだから
ＢＰ＝４－ｘ cm
よって、
ｙ＝（1/2）（４－ｘ）×４
ｙ＝－２ｘ＋８
2）
底辺はＢＰ、高さはＡＢ＝４cm
ＢＣ上にあるときは、Ａからの移動距離ｘcm
点ＰはＡからＢまですでに４cm動いたから
ＢＰ＝ｘ－４ cm
よって、
ｙ＝（1/2）（ｘ－４）×４
ｙ＝２ｘ－８
3）
底辺はＤＰ、高さはＢＣ＝４cm
点ＰはＡからＤまで４×３＝12cm動く
ＣＤ上にあるときは、Ａからの移動距離ｘcm
ＤＰ＝12－ｘ cm
よって、
ｙ＝（1/2）×（12－ｘ）×４
ｙ＝－２ｘ＋24
問題
グラフが直線ｙ＝（－1/2）ｘ－８に平行で、点（２，３）を通る１次関数の式を求めなさい。
求める式の傾きも同じだから
ｙ＝（－1/2）ｘ＋ｂとする
（２，３）を通るから
３＝（－1/2）×２＋ｂ
３＝－１＋ｂ ｂ＝４
よって、
ｙ＝（－1/2）ｘ＋４
問題
２点（－２，４）、（４，１）を通る直線と、方程式ｘ－８＝０のグラフとの交点の座標を求めなさい。
２点を通る直線の式
ｘの増加量 ４－（－２）＝６
ｙの増加量 １－４＝－３
傾き －３/６＝－１/２
ｙ＝（－1/2）ｘ＋ｂとする
（－２，４）を通るから
４＝１＋ｂ ｂ＝３
直線の式は、ｙ＝（－1/2）ｘ＋３
ｘ－８＝０より
ｘ＝８の直線との交点だから
ｙ＝（－1/2）×８＋３＝－１
よって、（８，－１）
問題
下の図の直線①は、関数ｙ＝ｘ－３のグラフで、ｙ軸との交点をＡとする。また、直線②は、傾きが－1/2で、点（６，０）を通り、ｙ軸との交点をＢとする。２つの直線の交点をＰとするとき、△ＰＢＡの面積を求めなさい。
△ＰＢＡの底辺をＢＡ、高さを点Ｐからｙ軸への垂線ＰＨとする。
点Ａはｙ＝ｘ－３上にある
ｘ＝０だから
ｙ＝０－３＝－３
Ａ（０，－３）
直線②の式を求める
傾き－1/2だから
ｙ＝（－1/2）ｘ＋ｂとする
（６，０）を通るから
０＝－３＋ｂ ｂ＝３
直線②は、ｙ＝（－1/2）ｘ＋３
Ｂ（０，３）だから
ＢＡ＝３－（－３）＝６
交点Ｐのｘ座標を求める
①、②の式の連立方程式により
ｘ－３＝（－1/2）ｘ＋３
２ｘ－６＝－ｘ＋６
３ｘ＝12 ｘ＝４
点Ｐはｘ＝４、Ｈはｘ＝０だから
ＰＨ＝４－０＝４
よって、求める面積は
（1/2）×ＢＡ×ＰＨ
＝（1/2）×６×４
＝12
2026年・青森県立高校入試
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塾生の声
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この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。
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私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。
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分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。
英語に自信がつき
入試で大幅アップ！
勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。
英語と数学は
これからもこの塾で！
苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。
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通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！
理数への意識が変わり
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入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。
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苦手を克服して志望校合格！
中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。
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2026.8.26 一次関数 入試対策問題⑤