一次関数 入試対策問題10
２学期がスタートしました。夏休みから受験生は入試対策に取り組み始めています。
高校入試の数学では「一次関数」を利用した出題がよくあり、対策は必須となります。式の意味やグラフの見方を正しく理解しておくことが重要になります。
問題
図１で、①は関数ｙ＝ａ/ｘ（ｘ＜０）のグラフであり、点Ａは①上の点で座標が（－３，４）である。点Ｂは①上の点でｘ座標が－２である。点Ｃはｙ軸上の点でｙ座標が４である。あとの問いに答えなさい。
1）ａの値を求めなさい。
2）点Ｂのｙ座標を求めなさい。
3）直線ＢＣの式を求めなさい。
1）
Ａ（－３，４）はｙ＝ａ/ｘ上にある
ａはｘとｙの値の積だから
ａ＝－３×４＝－12
2）
点Ｂはｙ＝－12/ｘ上にあり、ｘ＝－２だから
ｙ＝－12/（－2）＝６
よって、６
3）
Ｃ（０，４）より
ｙ＝ｂｘ＋４とする
Ｂ（－２，６）を通るから
６＝－２ｂ＋４
ｂ＝－１
よって、求める式は
ｙ＝－ｘ＋４
4）図２は、図１のｙ軸上の点Ｃよりも上側に点Ｐをとったものである。曲線ＡＢ、線分ＢＣ、線分ＣＯ、線分ＯＡで囲まれた図形の面積と、曲線ＡＢ、線分ＢＰ、線分ＰＣ、線分ＣＡで囲まれた図形の面積が等しくなるとき、点Ｐのｙ座標を求めなさい。
4）
２つの図形には、ともに、曲線ＡＢ、線分ＢＣ、線分ＣＡで囲まれた図形が含まれている。
よって、
△ＯＡＣ＝△ＢＣＰになるとき
点ＡとＣのｙ座標は４だから
ＡＣとｘ軸は平行で、ＡＣはｙ軸に垂直
よって、∠ＯＣＡ＝90°
点Ａはｘ＝－３、点Ｃはｘ＝０だから
ＡＣ＝０－（－３）＝３
点Ｏはｙ＝０、点Ｃはｙ＝４だから
ＯＣ＝４－０＝４
よって、△ＯＡＣの面積は
（1/2）×ＡＣ×ＯＣ
＝（1/2）×３×４
＝６
△ＢＣＰの底辺をＰＣ、高さをＢからｙ軸への垂線とする
点Ｂはｘ＝－２、ｙ軸はｘ＝０だから
高さ＝０－（－２）＝２
△ＢＣＰ＝６だから
（1/2）×ＰＣ×２＝６
ＰＣ＝６
点Ｃはｙ＝４だから、求めるＰのｙ座標は
４＋６＝10
問題
赤色と白色の紙で、同じ大きさの正六角形をたくさん用意した。下の図のように、赤色の正六角形を１個、２個、３個、・・・と横一列に１個ずつ順に増やして並べ、それらを取り囲んで白色の正六角形をすき間なく並べた。このときできた図形を、１番目、２番目、３番目、・・・とし、正六角形の数と正六角形のたがいに重なった辺の数を、表にまとめた。正六角形の数をＮ、正六角形のたがいに重なった辺の数をＳとするとき、あとの問いに答えなさい。
1）６番目の図形で、ＮとＳの値をそれぞれ求めなさい。
2）ｋ番目の図形で、Ｎの値をｋを用いて表しなさい。
3）Ｎ＝61のとき、Ｓの値を求めなさい。
1）
Ｎは３個ずつ増える
０番目を７－３＝４個とし、初めに４個あったとする。
Ｎ＝４＋３×６＝22
Ｓは７個ずつ増える
０番目を12－７＝５個とし、初めに５個あったとする。
Ｓ＝５＋７×６＝47
よって、
Ｎ＝22、Ｓ＝47
2）
Ｎの値は３ずつ増えていくから
ｋとＮは一次関数
1）より、ｋ＝０のときＮ＝４だから
Ｎ＝ａｋ＋４とする
ｋが１増加すると、Ｎは３増加するから
ａ＝3/1＝３
よって、
Ｎ＝３ｋ＋４
3）
Ｎ＝３ｋ＋４に、Ｎ＝61を代入
３ｋ＋４＝61
３ｋ＝57 ｋ＝19
Ｓの値は７ずつ増えていくから
ｋとＳは一次関数
1）より、ｋ＝０のときＳ＝５だから
Ｓ＝ｂｋ＋５とする
ｋが１増加すると、Ｓは７増加するから
ｂ＝7/1＝７
よって、Ｓ＝７ｋ＋５
ｋ＝19のときだから
Ｓ＝７×19＋５＝138
問題
下の図は、Ａ駅とＢ駅の間の列車の運行のようすを表したグラフである。ＰさんはＡ駅を８時に出発し、線路沿いの道をＢ駅まで行った。中間地点で、Ｂ駅発８時15分の列車と出会うとき、Ｐさんの速さは毎時何kmで、Ｂ駅に着くまでに何回列車に追いこされるか求めなさい。
Ｂ駅８時15分発の列車
（15，４）と（20，０）を通る直線
ｘの増加量 20－15＝５
ｙの増加量 ０－４＝－４
傾き －４/５
ｙ＝（－4/5）ｘ＋ｂとする
（20，０）を通るから
０＝－16＋ｂ ｂ＝16
よって、
ｙ＝（－4/5）ｘ＋16
中間地点はｙ＝２だから
２＝（－4/5）ｘ＋16
10＝４ｘ＋80
70＝４ｘ ｘ＝35/2
Ａ駅からＢ駅に向かうＰさん
（０，０）と（35/2，２）を通る直線
傾き ２÷（35/2）＝4/35
よって、ｙ＝（4/35）ｘ
毎分4/35kmだから、時速にすると
（4/35）×60＝48/7
よって、毎時48/7km
ｙ＝４のとき
４＝（4/35）ｘ
ｘ＝35より、ＰさんはＢ駅に８時35分に着く
よって、
グラフから２回追いこされる
問題
下の図は兄が９時に家を出発し、途中で忘れ物に気づき（Ａ）、一度、家に帰り（Ｂ）、また、公園に向かい、最初の速さで着く時刻（Ｃ）と同じになるように進んだようすを表したグラフである。このとき、次の区間での速さは、毎分何mであるかを求めなさい。
1）ＯＡ間 2）ＡＢ間 3）ＢＣ間
1）
直線ＯＡ
（０，０）と（６，600）を通る直線
ｙ＝ａｘとする
（６，600）を通るから
600＝６ａ ａ＝100
よって、毎分100m
2）
直線ＡＢ
（６，600）と（９，０）を通る直線
ｘの増加量 ９－６＝３
ｙの増加量 ０－600＝－600
傾き －600/3＝－200
よって、毎分200m
3）
直線ＯＡはｙ＝100ｘだから
直線ＯＣの式もｙ＝100ｘ
ｙ＝1800のとき
1800＝100ｘ ｘ＝18
よって、Ｃ（18，1800）
直線ＢＣ
（９，０）と（18，1800）を通る直線
ｘの増加量 18－９＝９
ｙの増加量 1800－０＝1800
傾き 1800/9＝200
よって、毎分200m
問題
下の図の台形ＡＢＣＤにおいて、点Ｐは辺ＢＡ上を点Ｂから点Ａまで動く点である。ＰＢ＝ｘcm、△ＰＣＤ＝ｙcm²とするとき、△ＰＢＣの面積と△ＡＰＤの面積をｘを使って表しなさい。また、ｙをｘの式で表しなさい。ただし、ｘの変域も答えること。
△ＰＢＣで∠ＰＢＣ＝90°だから
△ＰＢＣの面積は
（1/2）×ＢＣ×ＰＢ
＝（1/2）×６×ｘ
＝３ｘ cm²
△ＡＰＤで∠ＰＡＤ＝90°だから
△ＡＰＤの面積は
（1/2）×ＡＤ×ＰＡ
＝（1/2）×４×（４－ｘ）
＝８－２ｘ cm²
台形の面積は
（1/2）（ＡＤ＋ＢＣ）×ＡＢ
＝（1/2）（４＋６）×４
＝20cm²
よって、△ＰＣＤの面積は
20－（３ｘ＋８－２ｘ）
＝20－（ｘ＋８）
＝20－ｘ－８
＝－ｘ＋12
したがって、
ｙ＝－ｘ＋12、０≦ｘ≦４
2026年・青森県立高校入試
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