一次関数 入試対策問題12
高校入試の数学では「一次関数」を利用した出題がよくあり、対策は必須となります。式の意味やグラフの見方を正しく理解しておくことが重要になります。
問題
下の図のように、ｙがｘに比例する関数㋐のグラフと、ｙがｘに反比例する関数㋑のグラフが、点Ｐで交わっている。点Ｐの座標が（２，４）であるとき、あとの問いに答えなさい。
1）関数㋐、㋑のそれぞれについて、ｙをｘの式で表しなさい。
2）関数㋐、㋑のグラフ上に、それぞれｙ座標が２である点Ｑ、Ｒをとるとき、△ＰＱＲの面積を求めなさい。ただし、座標の１目もりを１cmとする。
1）㋐
原点を通る直線だからｙ＝ａｘとする
（２，４）を通るから
４＝２ａ ａ＝２
よって、ｙ＝２ｘ
㋑
双曲線だからｙ＝ａ/ｘとする
ａはｘとｙの値の積だから
ａ＝２×４＝８
よって、ｙ＝８/ｘ
2）
点Ｑはｙ＝２ｘ上にありｙ＝２だから
２＝２ｘ ｘ＝１
Ｑ（１，２）
点Ｒはｙ＝８/ｘ上にありｙ＝２だから
２＝８/ｘ
２ｘ＝８ ｘ＝４
Ｒ（４，２）
△ＰＱＲの底辺をＱＲ、高さをＰからＱＲへの垂線ＰＨとする。
点Ｑはｘ＝１、点Ｒはｘ＝４だから
ＱＲ＝４－１＝３cm
点Ｐはｙ＝４、点Ｈはｙ＝２だから
ＰＨ＝４－２＝２cm
よって、求める面積は
（1/2）×３×２＝３cm²
問題
下の図のような平行四辺形ＯＡＢＣがある。頂点Ｂ、Ｃの座標は、それぞれ（８，３）、（２，３）で、Ｏは原点である。あとの問いに答えなさい。
1）頂点Ａの座標を求めなさい。
2）原点を通る直線と辺ＣＢとの交点をＰとする。△ＯＰＣの面積と四角形ＯＡＢＰの面積の比が１：５になるとき、直線ＯＰの式を求めなさい。
1）
ＢＣ＝８－２＝６
四角形ＯＡＢＣは平行四辺形だから
ＯＡ＝ＢＣ＝６
原点のｘ座標は０だから
点Ａのｘ座標は０＋６＝６
点Ａのｙ座標は０だから
（６，０）
2）
平行四辺形ＯＡＢＣ
底辺ＯＡ＝６
高さは点Ｃとｘ軸の距離３－０＝３
面積は、６×３＝18
△ＯＰＣの面積は平行四辺形の1/6倍だから
18×（1/6）＝３
△ＯＰＣの底辺ＣＰの長さをｔとする
高さは点Ｃとｘ軸の距離だから３
よって、
（1/2）×ｔ×３＝３
ｔ＝２
点Ｃのｘ座標は２だから
点Ｐのｘ座標は２＋２＝４
点Ｐのｙ座標はＣと同じ３
原点と（４，３）を通る直線だから
ｙ＝（3/4）ｘ
問題
２つの１次関数ｙ＝２ｘ－１とｙ＝－ｘ＋ａ（ａは定数）のグラフの交点のｘ座標は２である。１次関数ｙ＝－ｘ＋ａについて、ｘの変域が１≦ｘ≦３のときのｙの変域を求めなさい。
２ｘ－１＝－ｘ＋ａ
ａ＝３ｘ－１
ｘ＝２を代入して、ａ＝５
ｙ＝－ｘ＋５
ｘ＝１のとき、ｙ＝４
ｘ＝３のとき、ｙ＝２
よって、
２≦ｙ≦４
問題
水が120Ｌ入った水そうから、水がなくなるまで一定の割合で水を抜く。水を抜き始めてから８分後の水そうの水の量は100Ｌであった。下の図は、水を抜き始めてからｘ分後の水そうの水の量をｙＬとして、ｘとｙの関係をグラフに表したものである。あとの問いに答えなさい。
1）毎分何Ｌの割合で水を抜いているか、求めなさい。
2）ｙをｘの式で表しなさい。
3）水そうの水がなくなるのは、水を抜き始めてから何分後か、求めなさい。
1）
ｘの増加量 ８－０＝８
ｙの増加量 100－120＝－20
変化の割合 －20/8＝－5/2
よって、5/2Ｌ
2）
傾き－5/2、切片120の直線だから
ｙ＝（－5/2）ｘ＋120
3）
ｙ＝０のときだから
０＝（－5/2）ｘ＋120
０＝－５ｘ＋240
５ｘ＝240 ｘ＝48
よって、48分後
問題
下の図のような、１辺が４cmの正方形ＡＢＣＤがある。点ＰはＡを出発して、毎秒１cmの速さで辺ＡＢをＢまで動き、その後は停止する。また、点ＱはＢを出発して、毎秒２cmの速さで正方形の辺上をＣ、Ｄを通ってＡまで動く。点Ｐ、Ｑが同時に出発してｘ秒後の△ＡＰＱの面積をｙcm²とするとき、あとの問いに答えなさい。
1）ｘ＝３のとき、ｙの値を求めなさい。
2）ｘの変域が４≦ｘ≦６のとき、ｙをｘの式で表しなさい。
3）点ＱがＤを通過したあとｙ＝６を満たすｘの値を求めなさい。
1）
点Ｐの動いた距離
毎秒１cmで３秒動いた距離は
１×３＝３cm
よって、ＡＰ＝３cm
点Ｑの動いた距離
毎秒２cmで３秒動いた距離は
２×３＝６cm
よって、点ＱはＣＤ上にある
△ＡＰＱの底辺をＡＰとすると、高さはＱからＡＢへの垂線で４cm
したがって、
ｙ＝（1/2）×３×４
ｙ＝６
2）
点Ｐの４秒以降はＢで止まったままだから、ＡＰ＝４cm
点Ｑの動いた距離
４秒後は２×４＝８cm⇒Ｄにある
６秒後は２×６＝12cm⇒Ａにある
よって、点ＱはＤＡ上を動く
△ＡＰＱの底辺をＡＰとすると、高さはＱＡ
点Ｑが毎秒２cmでｘ秒動いた距離は
２×ｘ＝２ｘcm
ＢからＡまで４×３＝12cm動くから
ＱＡ＝12－２ｘ cm
よって、
ｙ＝（1/2）×４×（12－２ｘ）
ｙ＝－４ｘ＋24
3）
点ＱがＤを通過した後は４≦ｘ≦６
ｙ＝－４ｘ＋24にｙ＝６を代入
６＝－４ｘ＋24
４ｘ＝18
ｘ＝９/２
問題
下の図のように、原点をＯとし、４点Ａ（１，４）、Ｂ（１，２）、Ｃ（５，２）、Ｄ（５，４）がある。ｘ軸上にｘ座標が正である点Ｐをとり、△ＯＡＰの面積が△ＯＡＤの面積と等しくなるようにする。このとき、あとの問いに答えなさい。
1）点Ｐの座標を求めなさい。
2）２点Ａ、Ｐを通る直線と２点Ｂ、Ｃを通る直線との交点をＥとする。このとき、△ＯＡＥの面積を求めなさい。
1）
△ＯＡＰと△ＯＡＤは高さが同じ
△ＯＡＰ＝△ＯＡＤとなるには、底辺の長さも同じ
よって、ＯＰ＝ＡＤ
点Ａはｘ＝１、点Ｄはｘ＝５だから
ＡＤ＝５－１＝４＝ＯＰ
点Ｏのｘ座標は０だから
点Ｐのｘ座標は０＋４＝４
点Ｐのｙ座標は０だから
（４，０）
2）
△ＯＡＰ－△ＯＥＰとして求める
△ＯＡＰの底辺はＯＰ＝４
高さはＡからｘ軸への垂線で４－０＝４
△ＯＡＰの面積は
（1/2）×４×４＝８
△ＯＥＰの底辺は△ＯＡＰと同じ
高さはＥからｘ軸への垂線で２－０＝２
高さは△ＯＡＰの半分だから
△ＯＥＰの面積は８÷２＝４
よって、△ＯＡＥの面積は
８－４＝４
2026年・青森県立高校入試
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2026.9.22 一次関数 入試対策問題12