一次関数 入試対策問題15
高校入試の数学では「一次関数」を利用した出題がよくあり、対策は必須となります。式の意味やグラフの見方を正しく理解しておくことが重要になります。
問題
下の図の直方体の形の水そうは，底から垂直に立てられた長方形の仕切りによって，高さ30cmのところまでア側とイ側に分かれている。ア側には一定の割合で水が出る水道があり，水が５cmの高さまで入っている。この状態から，水道で水を水そうにいっぱいになるまで入れた。入れ始めてからｘ分後のア側における水面の高さをｙcmとしたとき，ｘとｙの関係は右下のグラフのようになった。
1）グラフのｐ，ｑの値を求めなさい。
2）水道から１分間に出る水の量は何Ｌか求めなさい。
3）ｘの変域がｑ≦ｘ≦21のときについて，ｙをｘの式で表しなさい。
1）
（５，ｐ）のとき、ア側が満水になる
仕切りの高さは30cmだから、ｐ＝30
０≦ｘ≦５のとき
ア側に入れる水の体積は、高さ25cmだから
40×60×25
＝1000×60＝60000cm³
（30，ｑ）のとき、イ側が満水になる
イ側に入れる水の体積は
40×40×30
＝1600×30＝48000cm³
ア側は、５分で60000cm³入る
イ側は、ｑ－５分で48000cm³入る
入る割合は一定だから
５：60000＝（ｑ－５）：48000
５：５＝（ｑ－５）：４
１：１＝（ｑ－５）：４
ｑ－５＝４ ｑ＝９
よって、
ｐ＝30、ｑ＝９
2）
60000cm³＝60Ｌ
５分で60Ｌ入るから
60÷５＝12Ｌ
3）
（９，30）と（21，66）を通る
ｘの増加量 21－９＝12
ｙの増加量 66－30＝36
傾き 36/12＝３
ｙ＝３ｘ＋ｂとする
（９，30）を通るから
30＝27＋ｂ ｂ＝３
よって、ｙ＝３ｘ＋３
問題
下の図のように、座標平面上に点Ａ（３，４）、Ｂ（５，０）がある。大、小２つのさいころを同時に投げ、大きいさいころの出た目の数をａ、小さいさいころの出た目の数をｂとし、点Ｐ（ａ，ｂ）を座標平面上にかく。
1）点Ｐが△ＯＡＢの内部にある確率を求めなさい。ただし、△ＯＡＢの辺上の点は内部にふくめないものとする。
2）点Ｐが直線ＡＢ上にない確率を求めなさい。
1）
直線ＯＡは、ｙ＝（4/3）ｘ
ｘ＝１のとき、ｙ＝4/3＝1.3...だから
（１，１）をふくむ
ｘ＝２のとき、ｙ＝8/3＝2.6...だから
（２，１）（２，２）をふくむ
ｘ＝３のとき、ｙ＝４だから
（３，１）（３，２）（３，３）を含む
直線ＡＢの式を求める
（３，４）と（５，０）を通る直線
ｘの増加量 ５－３＝２
ｙの増加量 ０－４＝－４
傾き －４/２＝－２
ｙ＝－２ｘ＋ｂとする
（５，０）を通るから
０＝－10＋ｂ ｂ＝10
よって、ｙ＝－２ｘ＋10
ｘ＝４のとき、ｙ＝２だから
（４，１）をふくむ
計７通りとなるから
求める確率は、７/36
2）
直線ＡＢ上にある点を求める
ｙ＝－２ｘ＋10より
ｘ＝１のとき、ｙ＝８（不適）
ｘ＝２のとき、ｙ＝６
ｘ＝３のとき、ｙ＝４
ｘ＝４のとき、ｙ＝２
ｘ＝５のとき、ｙ＝０（不適）
計３点あるから、直線上にないのは
36－３＝33点
よって、求める確率は
33/36＝11/12
問題
図１で、①は関数ｙ＝－２ｘ＋12、②は関数ｙ＝ａｘ＋６のグラフである。点Ａは①と②との交点であり、ｘ座標が２である。また、点Ｂは②とｙ軸との交点とする。あとの問いに答えなさい。
1）関数ｙ＝－２ｘ＋12について、ｘの増加量が４のときのｙの増加量を求めなさい。
2）ａの値を求めなさい。
1）
ｙの増加量
＝ｘの増加量×変化の割合
４×（－２）＝－８
2）
点Ａはｙ＝－２ｘ＋12上にあり、ｘ＝２だから
ｙ＝－２×２＋12＝８
ｙ＝ａｘ＋６は（２，８）を通るから
８＝２ａ＋６
２ａ＝２
ａ＝１
図２は、図１に③をかき加えたもので、③は点Ｂを通る直線である。また、①と③との交点をＣとする。このとき、あとの問いに答えなさい。
3）点Ｃのｙ座標が３のとき、直線③の式を求めなさい。ただし、式はかっこをはずした最も簡単な形で表すこと。
4）直線③の傾きが－1/2のとき、△ＡＢＣの周上または内部で、ｘ座標とｙ座標がともに整数となる点は何個あるか求めなさい。
3）
点Ｃはｙ＝－２ｘ＋12上にあり、ｙ＝３だから
３＝－２ｘ＋12
２ｘ＝９ ｘ＝9/2
点Ｂはｙ＝ｘ＋６の切片
直線③の切片も同じだから
ｙ＝ｃｘ＋６とする
（9/2，３）を通るから
３＝（9/2）ｃ＋６
６＝９ｃ＋12
９ｃ＝－６ ｃ＝－2/3
よって、
ｙ＝（－2/3）ｘ＋６
4）
直線③の式は
ｙ＝（－1/2）ｘ＋６
点Ｃはｙ＝－２ｘ＋12との交点だから
（－1/2）ｘ＋６＝－２ｘ＋12
－ｘ＋12＝－４ｘ＋24
３ｘ＝12 ｘ＝４
ｙ＝－２ｘ＋12より、ｙ＝４
よって、Ｃ（４，４）
ｙ＝４のとき
直線①、③はｘ＝４で
（４，４）の１個
ｙ＝５のとき
直線①は
５＝－２ｘ＋12 ｘ＝7/2で不適
直線③は
５＝（－1/2）ｘ＋６
10＝－ｘ＋12 ｘ＝２
ｘ＝２とｘ＝7/2の間にｘ＝３があるから
（２，５）（３，５）の２個
ｙ＝６のとき
直線①は
６＝－２ｘ＋12 ｘ＝３
直線②、③はｘ＝０
ｘ＝０とｘ＝３の間に、ｘ＝１，２があるから
（０，６）（１，６）（２，６）（３，６）の４個
ｙ＝７のとき
直線①は
７＝－２ｘ＋12 ｘ＝5/2で不適
直線②は
７＝ｘ＋６ ｘ＝１
ｘ＝１とｘ＝5/2の間に、ｘ＝２があるから
（１，７）（２，７）の２個
ｙ＝８のとき
直線①、②はｘ＝２で
（２，８）の１個
よって、満たす点は10個
問題
図１で、①は関数ｙ＝ａ/ｘのグラフである。２点Ａ、Ｂは①上の点で、点Ａの座標は（４，６）、点Ｂのｘ座標は－８である。また、②は２点Ａ、Ｂを通る直線である。あとの問いに答えなさい。ただし、座標軸の単位の長さを１cmとする。
1）ａの値を求めなさい。
2）直線②の式を求めなさい。ただし、式はかっこをはずした最も簡単な形で表すこと。
1）
点Ａ（４，６）はｙ＝ａ/ｘ上の点だから
ａ＝４×６＝24
2）
点Ｂはｙ＝24/ｘ上にあり、ｘ＝－８だから
ｙ＝24/（－８）＝－３
Ａ（４，６）とＢ（－８，－３）を通る直線
ｘの増加量 ４－（－８）＝12
ｙの増加量 ６－（－３）＝９
傾き ９/12＝３/４
ｙ＝（3/4）ｘ＋ｂとする
（４，６）を通るから
６＝３＋ｂ ｂ＝３
よって、
ｙ＝（3/4）ｘ＋３
図２は、図１に③をかき加えたもので、③は点Ａを通り、ｙ軸に平行な直線である。また、③上に点Ｐをとる。このとき、あとの問いに答えなさい。
3）③上のｘ軸より下側の部分に、ＡＢ＝ＰＢとなるように点Ｐをとるとき、点Ｐの座標を求めなさい。
4）点Ｐのｙ座標が10のとき、四角形ＡＰＢＯの面積を求めなさい。
3）
△ＢＡＰは二等辺三角形だから
点Ｂから直線③に垂線ＢＨを下ろすと
ＡＨ＝ＰＨ
点Ａのｙ座標は６、点Ｈのｙ座標は点Ｂと同じ－３だから
ＡＨ＝６－（－３）＝９cm
点Ｐのｙ座標をｐとすると
ＰＨ＝－３－ｐ cm
ＡＨ＝ＰＨより
９＝－３－ｐ
ｐ＝－12
点Ｐのｘ座標は点Ａと同じ４
よって、（４，－12）
4）
直線ＡＢとｙ軸の交点をＱとする
△ＡＢＰ＋△ＯＡＱ＋△ＯＢＱで求める
△ＡＢＰの底辺をＡＰ、高さをＢＨとする
点Ａはｙ＝６、点Ｐはｙ＝10だから
ＡＰ＝10－６＝４cm
点Ｂはｘ＝－８、点Ｈはｘ＝４だから
ＢＨ＝４－（－８）＝12cm
△ＡＢＰの面積は
（1/2）×４×12＝24cm²
△ＯＡＱと△ＯＢＱの共通の底辺はＯＱ
点Ｑは直線②の切片３だから、ＯＱ＝３
２つの三角形の高さの和はＢＨと同じ12
△ＯＡＱ＋△ＯＢＱの面積は
（1/2）×３×12＝18cm²
よって、求める面積は
24＋18＝42cm²
※別解
等積変形の利用
原点を通りＡＢに平行な直線をひく
平行な直線ｙ＝（3/4）ｘと直線③ｘ＝４との交点をＲとする
△ＲＡＢ＝△ＯＡＢとなるから👈
△ＰＡＢ＋△ＲＡＢ＝△ＢＰＲが求める面積になる
△ＢＰＲの底辺をＰＲ、高さをＢＨとする
点Ｒはｙ＝（3/4）ｘ上にあり、ｘ＝４だから
ｙ＝（3/4）×４＝３
点Ｐはｙ＝10だから
ＰＲ＝10－３＝７cm
点Ｂはｘ＝－８、点Ｈはｘ＝４だから
ＢＨ＝４－（－８）＝12cm
よって、求める面積は
（1/2）×７×12＝42cm²
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2026.10.12 一次関数 入試対策問題15