一次関数 入試対策問題7
高校入試の数学では「一次関数」を利用した出題がよくあり、対策は必須となります。式の意味やグラフの見方を正しく理解しておくことが重要になります。
問題
ｙ軸を対称の軸として、直線ｙ＝２ｘ＋３と線対称となる直線の式を求めなさい。
ｙ＝２ｘ＋３の傾きは２だから
求める式の傾きは－２
切片は３で（０，３）を通る
よって、ｙ＝－２ｘ＋３
👉直線がｙ軸について線対称の場合は、切片が同じで、傾きの符号は逆になる。
問題
方程式ｘ＋２ｙ＝ａのグラフは、点（２，１）を通る。このグラフとｘ軸との交点の座標を求めなさい。
ｘ＋２ｙ＝ａは（２，１）を通るから
ｘ＝２、ｙ＝１を代入
２＋２＝ａ ａ＝４
よって、ｘ＋２ｙ＝４の直線
ｘ軸上はｙ＝０だから
ｘ＋２×０＝４ ｘ＝４
よって、（４，０）
問題
下の図のように、４点Ａ（１，１）、Ｂ（５，７）、Ｃ（２，－５）、Ｄ（６，－５）がある。このとき、あとの問いに答えなさい。
1）直線ＡＢの式を求めなさい。
2）直線ＡＢと直線ＣＤの交点Ｅの座標を求めなさい。
3）△ＡＣＤの面積をＳ₁、△ＡＤＢの面積をＳ₂とするとき、Ｓ₁：Ｓ₂をもっとも簡単な整数の比で表しなさい。
1）
Ａ（１，１）、Ｂ（５，７）を通る直線
ｘの増加量 ５－１＝４
ｙの増加量 ７－１＝６
傾き ６/４＝３/２
ｙ＝（3/2）ｘ＋ｂとする
（１，１）を通るから
１＝（3/2）＋ｂ ｂ＝－1/2
よって、ｙ＝（3/2）ｘ－（1/2）
2）
直線ＣＤの式
点ＣとＤのｙ座標がともに－５だから
ｙ＝－５
よって、点Ｅも直線ｙ＝－５上にある
ｙ＝（3/2）ｘ－（1/2）にｙ＝－５を代入
－５＝（3/2）ｘ－（1/2）
－10＝３ｘ－１
－９＝３ｘ ｘ＝－３
よって、（－３，－５）
3）
Ｂ（５，７）とＥ（－３，－５）の中点
ｘ座標 （５－３）÷２＝１
ｙ座標 （７－５）÷２＝１
よって、Ａ（１，１）が中点
△ＡＤＢと△ＡＤＥの高さと底辺の長さが同じだから
△ＡＤＢ＝△ＡＤＥ＝Ｓ₂ ①
△ＡＤＥと△ＡＣＤの高さが同じ、底辺が同じ直線上にあるから
ＤＥ：ＣＤ＝９：４より
ＣＤ＝（4/9）ＤＥ
△ＡＣＤ＝（4/9）△ＡＤＥ＝Ｓ₁ ②
①、②より
Ｓ₁：Ｓ₂＝4/9：１＝４：９
※別解
△ＡＣＤの面積Ｓ₁を求める
底辺をＣＤ、高さをＡから直線ＣＤへの垂線とする
点Ｃはｘ＝２、点Ｄはｘ＝６だから
ＣＤ＝６－２＝４
点Ａはｙ＝１、直線ＣＤはｙ＝－５だから
高さ＝１－（－５）＝６
よって、
Ｓ₁＝（1/2）×４×６＝12
△ＡＤＢの面積Ｓ₂は、
△ＢＤＥ－△ＡＤＥとして求める
△ＢＤＥの底辺をＤＥ、高さをＢから直線ＣＤへの垂線とする
点Ｄはｘ＝６、点Ｅはｘ＝－３だから
ＤＥ＝６－（－３）＝９
点Ｂはｙ＝７、直線ＣＤはｙ＝－５だから
高さ＝７－（－５）＝12
よって、
△ＢＤＥ＝（1/2）×９×12＝54
△ＡＤＥは△ＡＣＤと高さが同じで、底辺が同じ直線上にある。
ＤＥ：ＣＤ＝９：４より
ＤＥ＝9/4ＣＤ
底辺比が面積比になるから
△ＡＤＥ＝（9/4）△ＡＣＤ
＝（9/4）×12＝27
よって、
Ｓ₂＝△ＢＤＥ－△ＡＤＥ
＝54－27＝27
したがって、
Ｓ₁：Ｓ₂＝12：27＝４：９
問題
下の図のように、３点Ａ（４，３）、Ｂ（４，０）、Ｃ（７，０）と、点Ａを通る傾き２の直線ℓがある。直線ℓとｙ軸の交点をＤとし、点Ｐは線分ＡＤ上または線分ＡＣ上を動くものとする。このとき、あとの問いに答えなさい。
1）直線ℓの式を求めなさい。
2）２点Ａ、Ｃを通る直線の式を求めなさい。
3）直線ＤＰの傾きが１になる線分ＡＣ上の点Ｐの座標を求めなさい。
4）点Ｐのｘ座標が３であるとき、△ＰＢＣの面積を求めなさい。
5）△ＰＢＣの面積が３になる点Ｐのｘ座標をすべて求めなさい。
1）
直線ℓの傾きは２だから
ｙ＝２ｘ＋ｂとする
Ａ（４，３）を通るから
３＝８＋ｂ ｂ＝－５
よって、
ｙ＝２ｘ－５
2）
Ａ（４，３）、Ｃ（７，０）を通る直線
ｘの増加量 ７－４＝３
ｙの増加量 ０－３＝－３
傾き －３/３＝－１
ｙ＝－ｘ＋ｃとする
（７，０）を通るから
０＝－７＋ｃ ｃ＝７
よって、
ｙ＝－ｘ＋７
3）
Ｄ（０，－５）だから
直線ＤＰのｙ切片は－５
よって、直線ＤＰの式は、
ｙ＝ｘ－５
直線ＡＣとの交点になるから
ｙ＝－ｘ＋７との連立方程式により
ｘ－５＝－ｘ＋７
２ｘ＝12 ｘ＝６
ｙ＝ｘ－５に代入して、ｙ＝１
よって、（６，１）
4）
点Ｐはｘ座標が３だから、点Ｐの位置は点Ｂよりも左側にある。
よって、直線ＡＤ上にある。
直線ＡＤはｙ＝２ｘ－５だから
ｙ＝６－５＝１
よって、Ｐ（３，１）
△ＰＢＣの底辺をＢＣとすると、
高さは点Ｐからｘ軸への垂線ＰＨになる。
点Ｂはｘ＝４、点Ｃはｘ＝７だから
ＢＣ＝７－４＝３
点Ｐはｙ＝１、点Ｈはｙ＝０だから
ＰＨ＝１－０＝１
よって、△ＰＢＣの面積は
（1/2）×ＢＣ×ＰＨ
＝（1/2）×３×１
＝3/2
5）
4）より
直線ＡＤ上のｙ＞０にある点Ｐの面積は3/2
△ＰＢＣの面積が３になるには、高さＰＨが２倍になればよい。
ＰＨ＝１×２＝２より
点Ｐのｙ座標は２で、直線ＡＤのｙ＝２ｘ－５上にあるから
２＝２ｘ－５
７＝２ｘ ｘ＝7/2
この三角形の等積変形により、高さが同じ２になる点ＰがＡＣ上にもあればよい。
点Ｐのｙ座標は２で、直線ＡＣのｙ＝－ｘ＋７上にあるから
２＝－ｘ＋７ ｘ＝５
同じく等積変形により、高さが２になる点ＰがＡＤ上のｙ＜０にあればよい。
点Ｐのｙ座標は－２で、直線ＡＤのｙ＝２ｘ－５上にあるから
－２＝２ｘ－５
３＝２ｘ ｘ＝3/2
よって、
3/2、7/2、５
2024年・青森県立高校入試
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