一次関数 入試対策問題8
高校入試の数学では「一次関数」を利用した出題がよくあり、対策は必須となります。式の意味やグラフの見方を正しく理解しておくことが重要になります。
問題
図１のような，長方形ＡＢＣＤがある。点Ｐは，頂点Ａを出発し，毎秒３cmの速さで辺ＡＤ上を１往復して，頂点Ａにもどるとそこで止まる。点Ｑは，点Ｐが出発すると同時に頂点Ｂを出発し，毎秒２cmの速さで辺ＢＣ上を１往復して，頂点Ｂにもどるとそこで止まる。
図２は，点Ｐが頂点Ａを出発してからｘ秒後の線分ＡＰの長さをｙcmとするときのｘ，ｙの関係を，０≦ｘ≦30の範囲でグラフに表したものである。次の問いに答えなさい。
1）点Ｑが頂点Ｂを出発してからｘ秒後の線分ＢＱの長さをｙcmとし，ｘの変域を０≦ｘ≦30とする。このとき，ｘとｙの関係について，次のア，イにあてはまる式を答えなさい。
０≦ｘ≦15のとき、ｙ＝（ ア ）
15≦ｘ≦30のとき、ｙ＝（ イ ）
2）四角形ＡＰＱＢが長方形となるのは、点Ｐが頂点Ａを出発してから何秒後ですか。
1）
点Ｑの速さは秒速２cm
Ｂ→Ｃ
Ｂにいるとき、ｘ＝０秒
Ｃにいるとき
30cmを秒速２cmで動いたから
ｘ＝30÷２＝15秒
よって、
０≦ｘ≦15のときは、ＢからＣに動くとき
ｙはＢから秒速２cmでｘ秒動いた長さだから
ｙ＝２ｘ
Ｃ→Ｂ
Ｃにいるとき、ｘ＝15秒
Ｂにいるとき
60cmを秒速２cmで動いたから
ｘ＝60÷２＝30秒
よって、
15≦ｘ≦30のときは、ＣからＢに動くとき
このときのｙは、ゴールまでの60cmから２ｘcmをひいた長さになるから
ｙ＝60－２ｘ
すなわち
ｙ＝－２ｘ＋60
ア ２ｘ
イ －２ｘ＋60
2）
ＡＰ＝ＢＱのとき長方形になる
点ＰがＡからＤに動くとき（０≦ｘ≦10）
秒速３cmだから
ｙ＝３ｘ
点ＱがＢからＣに動くとき
ｙ＝２ｘ
ＡＰ＝ＢＱより
３ｘ＝２ｘ
ｘ＝０で問題に合わない
点ＱがＣからＢに動くとき
３ｘ＝－２ｘ＋60
５ｘ＝60 ｘ＝12
点ＰがＤからＡに動くとき（10≦ｘ≦20）
ｙ＝－３ｘ＋60
点ＱがＢからＣに動くとき
ｙ＝２ｘ
ＡＰ＝ＢＱより
－３ｘ＋60＝２ｘ
－５ｘ＝－60 ｘ＝12
点ＱがＣからＢに動くとき
－３ｘ＋60＝－２ｘ＋60
ｘ＝０で問題に合わない
よって、12秒後
問題
あきらさんは，日曜日に家族でロープウェイを利用して，ある山の頂上に行くことになり，いま，その準備をしながら，次のような会話をしている。
あきら：天気予報によると，日曜日は暖かいみたいだから，半そでの服で行こうかな。
父：上着を持っていったほうがいいよ。ここが暖かくても，標高が高くなると気温は低くなるからね。
あきら：そうなの？
父：標高が１km高くなるごとに，６℃ずつ気温が下がるんだ。
あきら：そうだとすると，日曜日に行く山頂の標高は2200mだから，頂上は寒くなりそうだね。
父：寒くなってきたら，すぐに暖かくしたほうがいいよ。
あきら：そうだね。18℃くらいになったら，上着を着ようかな。
日曜日の標高200mの気温が25.8℃であったとき，次の問いに答えなさい。ただし，あきらさんの家は標高200mにあるとし，それぞれの場所で一日中気温は変化しないものとする。
1）日曜日の標高ｘkmにおける気温をｙ℃として，ｙをｘの式で表しなさい。
2）日曜日の山頂の気温を求めなさい。
3）日曜日、気温が18℃になるのは標高何mの地点か、求めなさい。
1）
１kmごとに、６℃下がるから
ｙ＝－６ｘ＋ｂとする
標高200m＝0.2kmだから
ｘ＝0.2のとき、ｙ＝25.8
式に代入
25.8＝－1.2＋ｂ
ｂ＝27
よって、
ｙ＝－６ｘ＋27
2）
標高2200m＝2.2kmだから
ｘ＝2.2を代入
ｙ＝－13.2＋27＝13.8
よって、13.8℃
3）
ｙ＝18を代入
18＝－６ｘ＋27
６ｘ＝９
ｘ＝3/2
3/2km＝1.5km＝1500m
よって、1500m
問題
Ａ市, Ｂ市の水道料金について調べた。Ａ市, Ｂ市の１か月の水道料金は, 基本料金と使用量ごとの料金を合計したものであり, 下の表１, 表２は, Ａ市, Ｂ市の１か月の基本料金と使用量ごとの料金をそれぞれ表したものである。下の図は, Ａ市における１か月の使用量と水道料金の関係をグラフに表したものである。Ｂ市の１か月の水道料金は, 使用量が０m³ から30m³ までの範囲と30m³ をこえた範囲で, それぞれ使用量の一次関数であるとみなすこととする。
このとき、次の問いに答えなさい。
1）Ａ市において、１か月の使用量が17m³であるときの水道料金を求めなさい。
2）１月から６月の使用量が下の表３であるとき、この期間について、Ａ市の水道料金の合計とＢ市の水道料金の合計を比べたら、どちらの市の水道料金の合計の方がいくら安くなるか答えなさい。
1）
10≦ｘ≦20のとき
１m³あたり150円だから
ｙ＝150ｘ＋ｂとする
ｘ＝10のとき、ｙ＝1000だから
1000＝1500＋ｂ
ｂ＝－500
よって、
ｙ＝150ｘ－500
ｘ＝17のときだから
ｙ＝2550－500＝2050
よって、2050円
2）
Ａ市の料金
すべての月で20m³を超えているから
Ａ市のｘ≧20のときの式を求める
１m³あたり200円だから
ｙ＝200ｘ＋ｂとする
ｘ＝20のときｙ＝2500だから
2500＝4000＋ｂ ｂ＝－1500
よって、ｙ＝200ｘ－1500
６か月の使用量の合計は
25＋20＋30＋28＋22＋32＝157m³
６か月分の金額は
ｙ＝200ｘ－1500×６となるから
ｘ＝157を代入
ｙ＝31400－9000＝22400
６か月の合計金額は、22400円
Ｂ市の料金
０≦ｘ≦30のときの式を求める
１m²あたり100円で、基本料金が1000円だから
ｙ＝100ｘ＋1000
６月をのぞいて５か月が30m³以下
それら使用量の合計は
25＋20＋30＋28＋22＝125m³
５か月分の金額は
ｙ＝100ｘ＋1000×５となるから
ｘ＝125を代入
ｙ＝12500＋5000＝17500
よって、５か月分は17500円
ｘ＝30のとき
ｙ＝100ｘ＋1000より
ｙ＝3000＋1000＝4000
ｘ≧30のときの式を求める
１m²あたり200円だから
ｙ＝200ｘ＋ｂとする
ｘ＝30のとき、ｙ＝4000だから
4000＝6000＋ｂ ｂ＝－2000
よって、
ｙ＝200ｘ－2000
６月は32m³だから、ｘ＝32を代入
ｙ＝6400－2000＝4400
よって、６月は4400円
６か月の合計金額は
17500＋4400＝21900円
したがって、
22400円－21900円＝500円で
Ｂ市のほうが500円安い
2026年・青森県立高校入試
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