一次関数動点Ｐ

たむかい学習教室
11月4日
読了時間: 7分

一次関数動点Ｐ

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

辺上を動く点の問題では、移動距離をｘ、３点をつないでできる三角形の面積をｙとして、一次関数の式を立てます。また、グラフを作図する場合には、ｘの変域を求めます。

問題

下の図の長方形ＡＢＣＤで、点ＰはＢを出発して、辺上をＡ、Ｄを通ってＣまで動く。点ＰがＢからｘcm動いたときの△ＰＢＣの面積をｙcm²として、あとの問いに答えなさい。

問題のポイント

「Ｂを出発してＣまで動く」

👉ＢからＣまで最大20cm動く

「ＰがＢからｘcm動く」

👉ＢＰの長さ（移動距離）はｘcm

Ｂ→Ａ　ＢＰ＝ｘ、ＰＡ＝８－ｘ

Ｂ→Ｄ　ＢＰ＝ｘ、ＰＤ＝12－ｘ

Ｂ→Ｃ　ＢＰ＝ｘ、ＰＣ＝20－ｘ

1）点Ｐが次の辺上を動くとき、ｘの変域を求めなさい。

①　辺ＢＡ上

②　辺ＡＤ上

③　辺ＤＣ上

①

Ｂを出発する前　０cm

Ａに到着したとき　８cm

０≦ｘ≦８

②

Ａに到着したとき　８cm

Ｄに到着したとき　12cm

（ＢＡ＋ＡＤ＝８＋４）

８≦ｘ≦12

③

Ｄに到着したとき　12cm

Ｃに到着したとき　20cm

（ＢＡ＋ＡＤ＋ＤＣ＝８＋４＋８）

12≦ｘ≦20

2）点Ｐが次の辺上を動くとき、ｙをｘの式で表しなさい。

①　辺ＢＡ上

②　辺ＡＤ上

③　辺ＤＣ上

①

底辺ＢＣ＝４cm

高さＰＢ＝ｘcm

ｙ＝（1/2）×４×ｘ

ｙ＝２ｘ

②

底辺ＢＣ＝４cm

高さＡＢ＝８cm

ｙ＝（1/2）×４×８

ｙ＝16

👉ＡＤ上は、高さが同じまま

③

底辺ＢＣ＝４cm

高さＰＣ＝20－ｘ cm

ｙ＝（1/2）×４×（20－ｘ）

ｙ＝－２ｘ＋40

3）△ＰＢＣの面積の変化を表すグラフをかきなさい。

次の３つについて作図する

ｙ＝２ｘ（０≦ｘ≦８）

ｙ＝16（８≦ｘ≦12）

ｙ＝－２ｘ＋40（12≦ｘ≦20）

ｙ＝２ｘ（０≦ｘ≦８）

Ｂを出発する前　ｘ＝０cm

ｙ＝２×０＝０cm²

Ａに到着したとき　ｘ＝８cm

ｙ＝２×８＝16cm²

（０，０）と（８，16）を通る直線

ｙ＝16（８≦ｘ≦12）

Ａに到着したとき　ｘ＝８cm

ｙ＝16cm²

Ｄに到着したとき　ｘ＝12cm

ｙ＝16cm²

（８，16）と（12，16）を通る直線

ｙ＝－２ｘ＋40（12≦ｘ≦20）

Ｄに到着したとき　ｘ＝12cm

ｙ＝－２×12＋40

　＝16cm²

Ｃに到着したとき　ｘ＝20cm

ｙ＝－２×20＋40

　＝０cm²

（12，16）と（20，０）を通る直線

問題

下の図の長方形ＡＢＣＤで、点ＰはＡを出発して、辺上をＢ、Ｃを通ってＤまで動く。点ＰがＡからｘcm動いたときの△ＡＰＤの面積をｙcm²として、あとの問いに答えなさい。

1）点Ｐが辺ＡＢ上を動くとき、ｙをｘの式で表しなさい。また、ｘの変域を求めなさい。

2）点Ｐが辺ＢＣ上を動くとき、ｙをｘの式で表しなさい。また、ｘの変域を求めなさい。

3）点Ｐが辺ＣＤ上を動くとき、ｙをｘの式で表しなさい。また、ｘの変域を求めなさい。

1）

底辺ＡＤ＝６cm

高さＡＰ＝ｘcm

ｙ＝（1/2）×６×ｘ

ｙ＝３ｘ

Ｂまで最大で３cm動くから

０≦ｘ≦３

2）

底辺ＡＤ＝６cm

高さＡＢ＝３cm

ｙ＝（1/2）×６×３

ｙ＝９

Ｃまで最大で９cm動くから

３≦ｘ≦９

3）

底辺ＡＤ＝６cm

高さＤＰ＝12－ｘcm

ｙ＝（1/2）×６×（12－ｘ）

ｙ＝－３ｘ＋36

Ｄまで最大で12cm動くから

９≦ｘ≦12

問題

下の図１のように、長方形ＡＢＣＤと長方形ＤＥＦＧを組み合わせたＬ字形の図形と、長方形ＰＱＲＳがあり、ＡＧ＝ＱＰ、ＦＧ＝ＳＰである。これら２つの図形の辺ＡＧ、ＱＰは直線ℓ上にあり、点Ａと点Ｐは同じ位置にある。

この状態から、下の図２のように、Ｌ字形の図形を直線ℓにそって、矢印の方向に、点Ａが点Ｑに重なるまで移動させる。ＡＰ＝ｘcmのときの２つの図形が重なっている部分の面積をｙcm²とする。

下の図３は、点Ａが点Ｐを出発してから点Ｑに重なるまでの間の、ｘとｙの関係を表したグラフである。

図１、図３中のａ、ｂ、ｃの値をそれぞれ求めなさい。

面積ｙを次の場合で分けて考える

①辺ＣＤがＳＰに重なるまで

👉縦ａcm、横ｘcmの面積

②①の後、辺ＡＢがＲＱに重なるまで

👉長方形ＡＢＣＤ＋長方形ＳＰＤＥの面積

①辺ＣＤがＳＰに重なるまで

グラフから

ｘ＝４のとき、ｙ＝12だから

ＡＤ＝４cmのとき、

長方形ＡＢＣＤの面積は12cm²

よって、

ａ×４＝12

ａ＝３

②①の後、辺ＡＢがＲＱに重なるまで

長方形ＳＰＤＥの面積

縦ＳＰ＝（ａ＋２）cm

ａ＝３より

ＳＰ＝５cm

横ＰＤ＝（ｘ－４）cm

👉ＰＤ＝ＡＰ－ＡＤ

よって、長方形ＳＰＤＥの面積は、

５（ｘ－４）cm²

長方形ＡＢＣＤ＝12cm²だから

２つの長方形を合わせた面積ｙは、

ｙ＝５（ｘ－４）＋12

ｘ＝７のとき、ｙ＝ｃだから

ｃ＝５×（７－４）＋12

ｃ＝27

ｃ＝27のとき、

長方形ＳＰＤＥの面積は、

27－12＝15cm²

縦が５cmだから、横ＧＤは３cm

ＧＤ＝ｂcmだから

ｂ＝３

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