一次関数と図形

たむかい学習教室
10月12日
読了時間: 6分

一次関数と図形

高校入試対策

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

10月に入り受験生は入試対策を進めています。入試問題では「一次関数」の出題があり、本県の公立高入試ではグラフ上の図形の面積を求める出題が例年あります。三角形や四角形の性質と合わせて考える内容が多く、二等辺三角形や平行四辺形、ひし形などの図形の性質を押さえておく必要もあります。

問題

図１で、①は関数ｙ＝ａ／ｘのグラフであり、２点Ａ、Ｂは①上の点で点Ａの座標は（－３，－８）、点Ｂのｘ座標は６である。また、②は２点Ａ、Ｂを通る直線である。あとの問いに答えなさい。ただし、座標軸の単位の長さを１cmとする。

1）ａの値を求めなさい。

2）直線②の式を求めなさい。

1）

ｙ＝ａ／ｘは（－３，－８）を通るから

ａ＝ｘ×ｙ

　＝（－３）×（－８）

　＝24

2）

点Ｂは、ｘ＝６

ｙ＝24／ｘ上にあるから

ｙ＝24／６

　＝４

よって、直線②は、

（－３，－８）と（６，４）を通る

ｘの増加量　６－（－３）＝９

ｙの増加量　４－（－８）＝12

傾き　12／６＝４／３

切片の値をｂとする

ｙ＝（4/3）ｘ＋ｂに（６，４）を代入

４＝（4/3）×６＋ｂ

ｂ＝－４

よって、求める式は、

ｙ＝（4/3）ｘ－４

3）図２は、図１に点Ｃ、線分ＢＤ、③、④をかき加えたもので、点Ｃは②とｘ軸との交点、点ＤはＢＣ＝ＢＤとなる点Ｃと異なるｘ軸上の点、③は２点Ａ、Ｄを通る直線、④は直線ｘ＝ｔである。また、④と②、③の交点をそれぞれＰ、Ｑとする。このとき、ア、イに答えなさい。

ア

△ＢＡＤの面積を求めなさい。

イ

直線ＰＤが△ＢＡＤの面積を２等分するとき、線分ＡＱと線分ＱＤの長さの比ＡＱ：ＱＤを、最も簡単な整数の比で表しなさい。

ア

△ＢＣＤ＋△ＡＣＤにより求める

△ＢＣＤの面積

点Ｂからの垂線とｘ軸との交点をＥとし、

底辺ＣＤ、高さＢＥとする。

点Ｃは、②上にありｙ＝０だから

０＝（4/3）ｘ－４

ｘ＝３

ＢＣ＝ＢＤ、ＣＤ⊥ＢＥだから

ＣＤ＝２ＣＥ

点ＥはＢのｘ座標６と同じだから

ＣＥ＝６－３＝３cm

よって、ＣＤ＝６cm

また、ＢＥ＝４－０＝４cm

△ＢＣＤの面積は、

（1/2）×６×４＝12cm²

△ＡＣＤの面積

底辺をＣＤとするとき、

高さは点Ａとｘ軸との距離になる。

点Ａは、ｙ＝－８だから

高さは、０－（－８）＝８cm

△ＡＣＤの面積は、

（1/2）×６×８＝24cm²

以上から、

△ＢＡＤ

＝△ＢＣＤ＋△ＡＣＤ

＝12＋24＝36

よって、求める面積は、36cm²

イ

点Ａを通りｘ軸に平行な直線とｘ＝ｔの直線との交点をＦ、点Ａを通りｘ軸に平行な直線と点Ｄを通りｙ軸に平行な直線との交点をＧとする。

ＱＦ//ＤＧだから

ＡＦ：ＦＧ＝ＡＱ：ＱＤ

ｔの値を求める

直線ＰＤが△ＢＡＤの面積を２等分するから

△ＢＰＤ＝36÷2＝18cm²

△ＢＣＤ＝12cm²だから

△ＣＰＤ＝18－12＝６cm²

直線④とｘ軸との交点をＲとする

（1/2）×ＰＲ×ＣＤ＝△ＣＰＤより

（1/2）×ＰＲ×６＝６

ＰＲ＝２cm

点Ｐは、ｙ＝－２

点Ｐは、②上にあるから

ｙ＝（4/3）ｘ－４に（ｔ，－２）を代入

－２＝（4/3）ｔ－４

ｔ＝3/2

ＡＦ＝（3/2）－（－３）＝9/2cm

ＣＤ＝６cmより、点Ｄは（９，０）

点ＧはＤのｘ座標と同じだから

ＦＧ＝９－3/2＝15/2cm

ＡＦ：ＦＧ＝ＡＱ：ＱＤより

ＡＱ：ＱＤ＝9/2：15/2＝３：５

よって、求める比は、３：５

※別解

△ＡＰＱ：△ＰＱＤ＝ＡＱ：ＱＤ

👉２つの三角形の高さが等しいから、面積比が底辺比になる。

直線③の式を求める

ＣＤ＝６cmより、点Ｄは（９，０）

Ａ（－３，－８）、Ｄ（９，０）を通るから

ｘの増加量　９－（－３）＝12

ｙの増加量　０－（－８）＝８

傾き　８／12＝２／３

切片の値をｃとする

ｙ＝（2/3）ｘ＋ｃに（９，０）を代入

０＝（2/3）×９＋ｃ

ｃ＝－６

直線③は、ｙ＝（2/3）ｘ－６

点Ｑのｙ座標を求める

点Ｑは③上にあり、ｔ＝3/2だから

ｙ＝（2/3）×（3/2）－６

　＝－６

ＰＱの長さを求める

点Ｐは、ｙ＝－２だから

ＰＱ＝－２－（－６）＝４

△ＡＰＱ

＝（1/2）×ＰＱ×ＡＦ

＝（1/2）×４×9/2＝９cm²

△ＰＱＤ

＝（1/2）×ＰＱ×ＦＧ

＝（1/2）×４×15/2＝15cm²

△ＡＰＱ：△ＰＱＤ＝ＡＱ：ＱＤより

ＡＱ：ＱＤ＝９：15＝３：５

よって、求める比は、３：５

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