- たむかい学習教室
- 6月30日
- 読了時間: 10分
一次関数のしくみ
一次関数は、ｙ＝ａｘ＋ｂの式で表します。ａは変化の割合といい、ｘが決まった数だけ増えると、ｙも決まった数だけ増えることを意味しています。ｂは切片といい、増え始める前のスタート時点の数のことをいいます。
問題
次のア～エのうち、ｙがｘの１次関数であるものをすべて選びなさい。
ア ｙ＝－２ｘ
イ ｙ＝４/ｘ
ウ ｙ＝２ｘ＋５
エ ｘｙ＝８
関数
👉ｘの値が１つに決まるとｙの値も１つに決まる
比例
👉ｘの値が決まると、ｙ＝ａｘでｙの値が決まる
１次関数
👉ｘの値が決まると、ｙ＝ａｘ＋ｂでｙの値が決まる
・どちらも決まった割合（一定の割合）で増え続ける（減り続ける）
・グラフにすると「直線」になる
比例も１次関数である（ｙ＝ａｘ＋０）
答え ア・ウ
※イとエは反比例
問題
直方体の形をした水そうに、13Ｌの水が入っている。この水そうに、１分間に５Ｌずつ増加するように水を入れる。水を入れ始めてからｘ分後の水の量をｙＬとして、次の問いに答えなさい。
1）ｙをｘの式で表しなさい。
2）ｙはｘの１次関数であるといえますか。
1）
はじめに13Ｌ入っている
👉ｙ＝ａｘ＋13
１分間に５Ｌずつ増える
👉ｘ分後には５ｘＬ増えている ａ＝５
ｙ＝５ｘ＋13
2）
ｙ＝ａｘ＋ｂで表されるから
一次関数であるといえる
問題
長さ８cmのろうそくに火をつけると、１分間に0.2cmずつ短くなった。火をつけてからｘ分後のろうそくの長さをｙcmとして、次の問いに答えなさい。
1）ｙをｘの式で表しなさい。
2）ｙはｘの１次関数であるといえますか。
1）
はじめは８cmある
👉ｙ＝ａｘ＋８
１分間に0.2cmずつ短くなる
👉ｘ分後には0.2ｘcm短くなっている ａ＝－0.2
ｙ＝－0.2ｘ＋８
2）
一次関数であるといえる
問題
面積が８cm²の三角形の底辺をｘcm、高さをｙcmとして、次の問いに答えなさい。
1）ｙをｘの式で表しなさい。
2）ｙはｘの１次関数であるといえますか。
1）
（1/2）×ｘ×ｙ＝８
ｘｙ＝16
2）
ｘとｙの積が一定になるのは反比例
一次関数であるといえない
問題
280ｇのびんに、１cm³の重さが0.9ｇの油をｘcm³入れたときの全体の重さをｙｇとして、次の問いに答えなさい。
1）ｙをｘの式で表しなさい。
2）油を80cm³入れたときの全体の重さは何ｇですか。
1）
はじめに280ｇある
👉ｙ＝ａｘ＋280
１cm³入れるごとに0.9ｇ増える
👉ｘcm³入れると0.9ｘｇ増えている ａ＝0.9
ｙ＝0.9ｘ＋280
2）
ｘ＝80のときだから
ｙ＝0.9×80＋280＝352
よって、352ｇ
問題
60km走るのに５Ｌのガソリンを使う自動車がある。この自動車で、30Ｌのガソリンを入れて出発した。ｘkm走ったときの残りのガソリンの量をｙＬとして、次の問いに答えなさい。
1）ガソリンの量は一定の割合で使うと考えると、１km走るごとにガソリンは何Ｌ使いますか。
2）ｙをｘの式で表しなさい。
3）出発してからガソリンがなくなるまでに、何km走ることができますか。
1）
はじめに30Ｌある
👉ｙ＝ａｘ＋30
60kmで５Ｌ使う
👉５÷60＝1/12で、１kmにつき1/12Ｌ使う ａ＝－1/12
1/12Ｌ使う
2）
ｙ＝（－1/12）ｘ＋30
3）
ｙ＝０のときだから
０＝（－1/12）ｘ＋30
ｘ＝360
よって、360km
問題
次のア～エの中から、ｙがｘの１次関数であるものをすべて選びなさい。
ア
１辺がｘcmの正三角形の周の長さｙcm
イ
面積30cm²の長方形の縦の長さｘcmと横の長さｙcm
ウ
底面の円の半径がｘcm、高さが５cmの円錐の体積ｙcm³
エ
水が10Ｌ入っている水そうに、毎分２Ｌの割合でｘ分間水を入れるときの水そうの水の量ｙＬ
ア
ｘ×３＝ｙ
ｙ＝３ｘ 比例（１次関数）
イ
ｘｙ＝30 反比例
ウ
（1/3）×πｘ²×５＝ｙ
ｙ＝（5/3）πｘ² ２次関数
エ
ｙ＝２ｘ＋10 １次関数
よって、ア・エ
問題
１次関数ｙ＝２ｘ＋５で、ｘの値が４から８まで増加したとき、次の問いに答えなさい。
1）ｘの増加量を求めなさい。
2）ｙの増加量を求めなさい。
3）変化の割合を求めなさい。
1）
８－４＝４
2）
ｘ＝８のとき
ｙ＝２×８＋５＝21
ｘ＝４のとき
ｙ＝２×４＋５＝13
よって、
21－13＝８
3）
（ｙの増加量）
（ｘの増加量）
で求められるから
８/４＝２
変化の割合
👉ｙ＝ａｘ＋ｂのａの値
問題
１次関数ｙ＝－３ｘ－４について、次の問いに答えなさい。
1）変化の割合を答えなさい。
2）ｘの増加量が５のときのｙの増加量を求めなさい。
1）
－３
2）
（ｘの増加量）×（変化の割合）
で求められるから
５×（－３）＝－15
問題
反比例ｙ＝12/ｘで、ｘの値が次のように増加したときの変化の割合を、それぞれ求めなさい。
1）１から３まで
2）２から６まで
1）
ｘの増加量 ３－１＝２
ｘ＝３のとき
ｙ＝12/３＝４
ｘ＝１のとき
ｙ＝12/１＝12
ｙの増加量 ４－12＝－８
よって、変化の割合は
－８/２＝－４
2）
ｘの増加量 ６－２＝４
ｘ＝６のとき
ｙ＝12/６＝２
ｘ＝２のとき
ｙ＝12/２＝６
ｙの増加量 ２－６＝－４
よって、変化の割合は
－４/４＝－１
問題
１次関数ｙ＝－４ｘ－３で、ｘの値が－２から３まで増加したとき、次の問いに答えなさい。
1）ｘの増加量を求めなさい。
2）ｙの増加量を求めなさい。
3）変化の割合を求めなさい。
1）
３－（－２）＝５
2）
ｘ＝３のとき
ｙ＝－４×３－３＝－15
ｘ＝－２のとき
ｙ＝－４×（－２）－３
＝８－３
＝５
よって、ｙの増加量は
－15－５＝－20
3）
ｙ＝－４ｘ－３より
－４
問題
次の１次関数について、ｘの増加量が６のときのｙの増加量を求めなさい。
1）ｙ＝５ｘ－２
2）ｙ＝－ｘ＋３
3）ｙ＝（－3/2）ｘ＋５
1）
変化の割合は５だから
６×５＝30
2）
変化の割合は－１だから
６×（－１）＝－６
3）
変化の割合は－3/2だから
６×（－3/2）＝－９
問題
ｘの値が１増加するときｙの値が３増加し、ｘ＝６のときｙ＝12となる１次関数の式を、次のア～エから１つ選びなさい。
ア ｙ＝（1/3）ｘ＋10
イ ｙ＝（1/3）ｘ＋２
ウ ｙ＝３ｘ－６
エ ｙ＝３ｘ－30
変化の割合は 3/1＝３
ｙ＝３ｘ＋ｂとする
ｘ＝６、ｙ＝12を代入
12＝18＋ｂ
ｂ＝－６
ｙ＝３ｘ－６となるから ウ
問題
１次関数ｙ＝５ｘ－１で、ｘの値がａから６まで増加したときのｙの増加量は20である。このとき、ａの値を求めなさい。
グラフは右上がりの直線
ｘの増加量を（６－ａ）としたとき、
ｙの増加量は20である。※
変化の割合は５だから
５（６－ａ）＝20
６－ａ＝４
ａ＝２
※
ｘの増加量を（ａ－６）としたとき、ｙの増加量は－20。
問題
下の①、②のグラフは、下のア～カのいずれかのグラフである。それぞれどの関数のグラフか答えなさい。
ア ｙ＝３ｘ＋２
イ ｙ＝ｘ＋５
ウ ｙ＝ｘ＋２
エ ｙ＝２ｘ－３
オ ｙ＝－ｘ＋３
カ ｙ＝－２ｘ＋３
①
ｙ＝２ｘ＋３の傾きより小さく、切片も小さい。
よって、
ウ ｙ＝ｘ＋２
②
ｙ＝２ｘ＋３の切片と同じ
２つの直線との間に二等辺三角形ができるから
傾きは－２
よって、
カ ｙ＝－２ｘ＋３
問題
１次関数ｙ＝ａｘ＋ｂ（ａ、ｂは定数）のグラフが下の図のようになるとき、あとのア～エの式のうち、その値がいつでも正の数となるものはどれですか。
ア ａ＋ｂ
イ ａ－ｂ
ウ ｂ－ａ
エ ａｂ
右下がりの直線だからａは負の数
切片は０より小さいからｂは負の数
負の数×負の数＝正の数だから、エ
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2026.6.30 一次関数のしくみ