- たむかい学習教室
- 2 日前
- 読了時間: 10分
一次関数のグラフ 2点を通る直線
当塾では「夏期講習」を実施しており、多くの塾生が受講しています。
この夏から、受験生は入試に向けて対策を始めています。
一次関数のグラフは、２点を通る直線で表され、直線の式はｙ＝ａｘ＋ｂになります。速さに関する問題では、横軸のｘを時間、縦軸のｙを道のりにすると、傾きａは速さになります。これを押さえておくことで、スムーズに解き進めることができます。
問題
次の１次関数の式を求めなさい。
1）グラフが２点（６，５）、（－３，２）を通る直線
2）グラフが２点（－３，７）、（１，－１）を通る直線
1）
ｘの増加量 ６－（－３）＝９
ｙの増加量 ５－２＝３
傾き ３/９＝１/３
ｙ＝（1/3）ｘ＋ｂとする
（－３，２）を通るから
２＝－１＋ｂ ｂ＝３
よって、
ｙ＝（1/3）ｘ＋３
2）
ｘの増加量 １－（－３）＝４
ｙの増加量 －１－７＝－８
傾き －８/４＝－２
ｙ＝－２ｘ＋ｂとする
（１，－１）を通るから
－１＝－２＋ｂ ｂ＝１
よって、
ｙ＝－２ｘ＋１
※切片ｂを使わない求め方
傾きａ、点（ｐ，ｑ）を通る直線の式
ｙ－ｑ＝ａ（ｘ－ｐ）
傾き－２、（１，－１）を通る直線
ｙ－（－１）＝－２（ｘ－１）
ｙ＋１＝－２ｘ＋２
ｙ＝－２ｘ＋１
問題
下の図のように、関数ｙ＝ａ/ｘ・・㋐のグラフと直線ℓが２点Ａ、Ｂで交わり、点Ａの座標は（－３，－２）、点Ｂのｘ座標は１である。
1）ａの値を求めなさい。
2）関数㋐について、ｘの変域が２≦ｘ≦６のときのｙの変域を求めなさい。
3）直線ℓの式を求めなさい。
1）
Ａ（－３，－２）はｙ＝ａ/ｘ上にあるから
ａ＝－３×（－２）＝６
よって、ａ＝６
2）
ｘ＝２のとき
ｙ＝６/ｘ＝６/２＝３
ｘ＝６のとき
ｙ＝６/ｘ＝６/６＝１
よって、
１≦ｙ≦３
3）
点Ｂはｙ＝６/ｘ上にあり、ｘ＝１だから
ｙ＝６/１＝６
Ｂ（１，６） Ａ（－３，－２）を通る直線
ｘの増加量 １－（－３）＝４
ｙの増加量 ６－（－２）＝８
傾き ８/４＝２
（１，６）を通るから
ｙ－６＝２（ｘ－１）
ｙ－６＝２ｘ－２
ｙ＝２ｘ＋４
問題
ＡさんとＢさんは１日に１度、自転車で荷物を運んでいる。Ｐ町を出発し、Ｑ町とＲ町を経由してＳ町に行く。Ｐ町からＱ町までの距離は６km、Ｑ町からＲ町までの距離は12km、Ｒ町からＳ町までの距離は６kmである。荷物を持たないときも、持ったときもそれぞれ自転車の速度は一定で荷物の積み下ろしにかかる時間や休憩時間は考えないものとする。
下のグラフは、ある日、ＡさんとＢさんが荷物を運んだときの、時間と移動距離の関係を表したものである。ＡさんはＰ町から20kgの荷物を持って出発し、Ｑ町まで運び、Ｑ町からＲ町までは運ぶ荷物がなく、Ｒ町からＳ町までは10kgの荷物を運んだ。ＢさんはＰ町から荷物を持たずに出発し、Ｑ町からＲ町まで20kgの荷物を運び、Ｒ町からＳ町までは10kgの荷物を運んだ。あとの問いに答えなさい。
1）Ａさんの荷物を持たないときの移動速度は分速何mか求めなさい。
2）ＢさんがＰ町からＳ町まで荷物を持たずに向かったとき、何分で到着するか求めなさい。
3）1）、2）とは別の日、ＡさんはＰ町からＲ町まで運ぶ荷物がなく、Ｒ町からＳ町まで20kgの荷物を運んだ。
ＢさんはＡさんがＰ町を出発した後、Ｐ町からＲ町までは10kg、Ｒ町からＳ町までは荷物を持たずに向かったとする。ＡさんとＢさんが同じ時刻にＳ町に到着したとき、ＢさんはＡさんが出発してから何分後にＰ町を出発したか、求めなさい。
1）
Ａの荷物を持たない区間 Ｑ→Ｒ
グラフでは（20，６）（44，18）の区間
傾きが速さを表すから
ｘの増加量 44－20＝24
ｙの増加量 18－６＝12
傾き 12/24＝1/2
単位は（km/分）だから
1/2km＝0.5km＝500mより
分速500m
2）
Ｂの荷物を持たない区間 Ｐ→Ｑ
（０，０）（10，６）の区間
ｘの増加量 10
ｙの増加量 ６
傾き ６/10＝3/5
3/5km＝0.6km＝600
Ｂが荷物を持たないときは分速600m
Ｐ→Ｓの距離は24km＝24000m
よって、かかる時間は
24000÷600＝40分
3）
ＡのＰ→Ｒにかかる時間
荷物を持っていない
荷物を持っていないときの速さは
1）より分速500m
Ｐ→Ｒの距離は18km＝18000m
よって、かかる時間は
18000÷500＝36分 ①
ＡのＲ→Ｓにかかる時間
20kgを持っている
以前20kgを持っていたのはＰ→Ｑ
（０，０）（20，６）の区間
ｘの増加量 20
ｙの増加量 ６
傾き ６/20＝3/10
3/10km＝0.3km＝300m
このときは分速300m
Ｒ→Ｓの距離は6km＝6000m
よって、かかる時間は
6000÷300＝20分 ②
①、②より
ＡのＰ→Ｓにかかる時間は56分
ＢのＰ→Ｒにかかる時間
10kgを持っている
以前10kgを持っていたのはＲ→Ｓ
（40，18）（52，24）の区間
ｘの増加量 52－40＝12
ｙの増加量 24－18＝６
傾き 6/12＝1/2
1/2km＝0.5km＝500m
このときは分速500m
Ｐ→Ｒの距離は18km＝18000m
よって、かかる時間は
18000÷500＝36分 ③
ＢのＲ→Ｓにかかる時間
荷物を持っていない
荷物を持っていないときの速さは
2）より分速600m
Ｒ→Ｓの距離は6km＝6000m
よって、かかる時間は
6000÷600＝10分 ④
③、④より
ＢのＰ→Ｓにかかる時間は46分
したがって、
56－46＝10で、10分後
問題
Ａ君とＢさんの学校は駅から840m離れている。Ａ君は学校を出発し、毎分60mの速さで学校と駅の間を休まず１往復した。ＢさんはＡ君が学校を出発したのと同じ時刻に駅を出発し、毎分80mの速さで駅と学校の間を休まず１往復した。下の図は、Ａ君とＢさんが出発してからｘ分後に駅からｙmの地点にいるとして、ｘとｙの関係をグラフに表したものである。あとの問いに答えなさい。
1）Ａ君とＢさんと１回目に出会うのは、出発してから何分後か求めなさい。
2）Ａ君が学校に着くのは、Ｂさんが駅に着いてから何分後か求めなさい。
3）駅と学校の間に立っている先生はＡ君とＢさんに２回ずつ出会った。先生がＡ君と出会った１回目から２回目までの時間は、Ｂさんの場合のちょうど２倍だった。先生が立っている地点は駅から何mか求めなさい。
1）
Ａ 学校→駅
分速60m
速さは傾きで右下がりの直線、ｙ切片840だから
ｙ＝－60ｘ＋840
Ｂ 駅→学校
分速80m
右上がりの直線、ｙ切片０だから
ｙ＝80ｘ
２式の連立方程式より
80ｘ＝－60ｘ＋840
140ｘ＝840 ｘ＝６
よって、６分後
2）
Ａが駅に着くのはｙ＝０のときだから
ｙ＝－60ｘ＋840より
０＝－60ｘ＋840
60ｘ＝840 ｘ＝14
よって、学校から駅までの時間は14分
駅から学校に戻るときも速さは同じだから
かかる時間は14分
よって、学校に着くのは28分後
Ｂが学校に着くのはｙ＝840のときだから
ｙ＝80ｘより
840＝80ｘ ｘ＝10.5
よって、駅から学校までの時間は10.5分
学校から駅に戻るときも速さは同じだから
かかる時間は10.5分
よって、学校に着くのは21分後
したがって、
28－21＝７で、７分後
3）
先生が立つ地点を駅からｚmとする
学校から来るＡ
１回目に出会うのはｚmの地点
Ａは、駅までのｚmを分速60mで進む
このときかかる時間は
ｚ÷60＝ｚ/60 分
駅から来るＡ
２回目に出会うのはｚmの地点
Ａは、駅からのｚmを分速60mで進む
このときかかる時間は
ｚ÷60＝ｚ/60 分
よって、１回目から２回目までの時間は
（ｚ/60）×２＝ｚ/30 分 ①
先生が立つ地点を駅からｚmとすると
Ｂが１回目に出会ってから
学校までに進む道のりは（840－ｚ）m
Ｂは、学校までの（840－ｚ）mを分速80mで進む
このときかかる時間は
（840－ｚ）÷80
＝（840－ｚ）/80 分
２回目に出会うまでの道のりも（840－ｚ）m
Ｂは、先生に会うまでの（840－ｚ）mを分速80mで進む
このときかかる時間は
（840－ｚ）÷80
＝（840－ｚ）/80 分
よって、１回目から２回目までの時間は
｛（840－ｚ）/80｝×２
＝（840－ｚ）/40 ②
①は②の２倍だから
ｚ/30＝２｛（840－ｚ）/40｝
４ｚ＝６（840－ｚ）
２ｚ＝2520－３ｚ
５ｚ＝2520 ｚ＝504
よって、
駅から504mの地点
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テストの得点は右肩上がり！
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分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。
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勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。
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これからもこの塾で！
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