一次関数のグラフ三角形の面積②

たむかい学習教室
18 時間前
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一次関数のグラフ三角形の面積②

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

一次関数のグラフ上にできる三角形の面積を求める問題では、底辺と高さを、ｘ軸・ｙ軸との関係から決めたり、平行な直線との関係から決めます。底辺の長さや高さは、２点のｘ座標やｙ座標をもとに求めます。

問題

下の図で、直線ℓは関数ｙ＝（－1/2）ｘ＋２のグラフで、ｍは点Ａ（－１，０）を通り、傾きが－３の直線である。直線ℓとｍ、ｘ軸との交点をそれぞれＢ、Ｃとする。このとき、あとの問いに答えなさい。ただし、原点をＯとする。

1）点Ｃのｘ座標を求めなさい。

2）直線ｍの式を求めなさい。

3）点Ｂの座標を求めなさい。

4）直線ℓとｘ軸について対称な直線の式を求めなさい。

5）ｘ軸上に△ＢＡＣと△ＢＤＡの面積が等しくなるように点Ｄをとるとき、直線ＢＤの式を求めなさい。ただし、点Ｄは点Ｃと異なる点とする。

1）

点Ｃは直線ℓ上にあり、ｙ＝０だから

０＝（－1/2）ｘ＋２

1/2ｘ＝２

ｘ＝４

よって、ｘ座標は、４

2）

直線ｍの切片の値をｂとする

傾きが－３だから

ｙ＝－３ｘ＋ｂ

（－１，０）を通るから

０＝－３×（－１）＋ｂ

ｂ＝－３

よって、求める式は、

ｙ＝－３ｘ－３

3）

点Ｂは直線ℓのｘとｙの値と、直線ｍのｘとｙの値が、ともに同じ点である。

よって、

（－1/2）ｘ＋２＝－３ｘ－３

－ｘ＋４＝－６ｘ－６

５ｘ＝－10

ｘ＝－２

ｙ＝（－1/2）×（－２）＋２

　＝３

よって、求める座標は、

（－２，３）

4）

求める式は、

①直線ℓの傾きと符号が逆

👉直線ℓとｘ軸によってできる角と同じ

②点Ｃを通る

求める式の切片の値をｂとする

ｙ＝（1/2）ｘ＋ｂ

（４，０）を通るから

０＝（1/2）×４＋ｂ

ｂ＝－２

よって、求める式は、

ｙ＝（1/2）ｘ－２

5）

点Ｄは、

①ｘ軸上の点Ａの左側にとる（ｘ＜－１）

②ＡＣ＝ＡＤとなるようにとる

👉△ＢＡＣと△ＢＤＡの高さは同じ

点Ｄのｘ座標をｔとする

ＡＤ＝－１－ｔ

ＡＣ＝４－（－１）＝５

ＡＤ＝ＡＣになるから

－１－ｔ＝５

ｔ＝－６

よって、点Ｄは（－６，０）

点Ｂは（－２，３）だから

ｘの増加量　－２－（－６）＝４

ｙの増加量　３－０＝３

直線ＢＤの傾き　３／４

切片の値をｂとする

ｙ＝（3/4）ｘ＋ｂ

（－６，０）を通るから

０＝（3/4）×（－６）＋ｂ

ｂ＝9/2

よって、求める式は、

ｙ＝（3/4）ｘ＋（9/2）

問題

下の図で、直線ℓは関数ｙ＝ａｘ、直線ｍはｙ＝－ｘ＋８のグラフで、直線ｍとｙ軸、直線ℓとの交点をそれぞれＡ、Ｂとする。点Ｃは直線ｍ上の点で、点Ｂ、Ｃのｘ座標はそれぞれ４、５である。また、点Ｂからｘ軸に垂線をひき、ｘ軸との交点をＤとし、点ＣとＤを結ぶ。このとき、あとの問いに答えなさい。ただし、原点をＯとする。

1）点Ａのｙ座標を求めなさい。

2）ａの値を求めなさい。

3）線分ＣＤの式を求めなさい。

4）四角形ＡＯＤＣの面積を求めなさい。

5）ＡＯ上に△ＡＰＣの面積が四角形ＡＯＤＣの面積の1/2倍となるような点Ｐをとるとき、点Ｐの座標を求めなさい。

1）

点Ａは直線ｍ上にあり、ｘ＝０だから

ｙ＝－０＋８＝８

よって、ｙ座標は、８

2）

点Ｂは直線ｍ上にあり、ｘ＝４だから

ｙ＝－４＋８＝４

（４，４）と（０，０）を通る直線だから

ｘの増加量　４－０＝４

ｙの増加量　４－０＝４

直線の傾き　４／４＝１

よって、ａ＝１

3）

点Ｃは直線ｍ上にあり、ｘ＝５だから

ｙ＝－５＋８＝３

点Ｄのｘ座標は、点Ｂと同じ４

（５，３）と（４，０）を通る直線だから

ｘの増加量　５－４＝１

ｙの増加量　３－０＝３

直線の傾き　３／１＝３

切片の値をｂとする

ｙ＝３ｘ＋ｂ

（４，０）を通るから

０＝３×４＋ｂ

ｂ＝－12

よって、求める式は、

ｙ＝３ｘ－12

4）

△ＡＯＥ－△ＣＤＥによって求める

△ＡＯＥ

点Ｅは直線ｍ上にあり、ｙ＝０だから

０＝－ｘ＋８

ｘ＝８

よって、

底辺ＯＥ＝８－０＝８

点Ａは、ｙ＝８だから

高さＡＯ＝８－０＝８

△ＡＯＥの面積は、

（1/2）×８×８＝32

△ＣＤＥ

底辺ＤＥ＝８－４＝４

高さは、点Ｃとｘ軸との距離だから３

👉ｘ軸との距離だから点Ｃのｙの値

△ＣＤＥの面積は、

（1/2）×４×３＝６

よって、四角形ＡＯＤＣの面積は、

△ＡＯＥ－△ＣＤＥ

＝32－６

＝26

5）

△ＡＰＣ＝26×（1/2）＝13

△ＡＰＣの底辺をＡＰ、

点Ｐのｙ座標をｔとすると

ＡＰ＝８－ｔ

高さは、点Ｃとｙ軸との距離だから５

👉ｙ軸との距離だから点Ｃのｘの値

△ＡＰＣ＝13だから

（1/2）×（８－ｔ）×５＝13

５（８－ｔ）＝26

40－５ｔ＝26

－５ｔ＝－14

ｔ＝14/5

よって、求める座標は、

（０，14/5）

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