一次関数の応用テスト対策2

たむかい学習教室
11月7日
読了時間: 7分

一次関数の応用テスト対策2

11月に入り期末考査に向けた対策を進めています。

一次関数では、ｙ＝ａｘ＋ｂの意味を理解することが基本になります。また、文字の値の求め方には、いろいろな方法があり、さまざまな問題の演習を通してつかんでいくようにします。

問題

１次関数ｙ＝－３ｘ＋５について、次の問いに答えなさい。

1）ｘ＝－３、ｘ＝２に対応するｙの値をそれぞれ求めなさい。

2）ｘの値が５だけ増加したときのｙの増加量を求めなさい。

3）ｘの変域が－３≦ｘ≦２のときのｙの変域を求めなさい。

1）

ｘ＝－３のとき

ｙ＝－３×（－３）＋５

　＝14

ｘ＝２のとき

ｙ＝－３×２＋５

　＝－１

よって、

ｘ＝－３のとき、ｙ＝14

ｘ＝２のとき、ｙ＝－１

2）

変化の割合は、－３

ｙの増加量÷ｘの増加量＝－３だから

ｙの増加量は、

－３×５＝－15

3）

1）より、

ｘ＝－３のとき、ｙ＝14

ｘ＝２のとき、ｙ＝－１　だから

求める変域は、

－１≦ｙ≦14

問題

次の条件をみたす１次関数の式を求めなさい。

1）ｘの値が５だけ増加すると、ｙの値は２だけ増加し、ｘ＝５のときｙ＝３である。

2）グラフが２点（２，３）、（－５，－11）を通る。

3）グラフが直線ｙ＝－３ｘ－５に平行で、点（－１，５）を通る。

1）

変化の割合は、２／５

切片の値をｂとする

ｙ＝（2/5）ｘ＋ｂ

ｘ＝５、ｙ＝３を代入

３＝（2/5）×５＋ｂ

ｂ＝１

よって、求める式は、

ｙ＝（2/5）ｘ＋１

2）

（２，３）　（－５，－11）

ｘの増加量　２－（－５）＝７

ｙの増加量　３－（－11）＝14

変化の割合　14／7＝２

ｙ＝２ｘ＋ｂ

ｘ＝２、ｙ＝３を通るから

３＝２×２＋ｂ

ｂ＝－１

よって、求める式は、

ｙ＝２ｘ－１

3）

求める式は、ｙ＝－３ｘ－５に平行だから

傾きが同じ－３

ｙ＝－３ｘ＋ｂ

ｘ＝－１、ｙ＝５を通るから

５＝－３×（－１）＋ｂ

ｂ＝２

よって、求める式は、

ｙ＝－３ｘ＋２

問題

次の方程式のグラフをかきなさい。

1）ｘ－２ｙ＋４＝０

2）ｙ＝－３

3）４ｘ－６＝０

1）

ｘ－２ｙ＋４＝０

－２ｙ＝－ｘ－４

ｙ＝（1/2）ｘ＋２

傾き1/2、切片２の直線

2）

ｙ＝－３

ｘ軸に平行で、ｙ＝－３を通る直線

3）

４ｘ－６＝０

４ｘ＝６

ｘ＝3/2

ｙ軸に平行で、ｘ＝3/2を通る直線

問題

下の図の２直線①、②の交点の座標を求めなさい。

①

切片の値は、４

ｘの増加量が１、

ｙの増加量が－２だから

変化の割合は、－２／１＝－２

よって、ｙ＝－２ｘ＋４

②

切片の値は、－１

ｘの増加量とｙの増加量は１だから

変化の割合は、１

よって、ｙ＝ｘ－１

２式のｙの値が同じ点だから

－２ｘ＋４＝ｘ－１

－３ｘ＝－５

ｘ＝5/3

ｙ＝5/3－１＝2/3

よって、求める座標は、

（5/3，2/3）

問題

弟が午前10時に家を出発し、自転車でＡ町まで行き、Ａ町からは歩いてＢ町に行った。下のグラフは、弟が家を出発してからの時間と道のりの関係を表したものである。あとの問いに答えなさい。

1）家からＡ町まで行ったときの、自転車の分速を求めなさい。

2）10時20分に、姉が自転車で家を出発し、分速300mで弟を追いかけた。姉が弟に追いつく時刻と地点を求めなさい。

1）

直線の傾きは、速さを表しているから

家から5000mの地点がＡ町になる。

5000mの道のりを25分で進んだから

5000÷25＝200

よって、分速200m

2）

※式を使って求める方法で解説します

姉がＡ町までの5000mにかかる時間は

5000÷300

＝50/3 分＝16分と2/3分＝16分40秒

よって、

弟がＢ町に向かっているときに追いつく

弟がＢ町に向かうときの速さ（傾き）は、

ｘの増加量　40－25＝15

ｙの増加量　6000－5000＝1000

直線の傾きは、1000/15＝200/3

切片の値をｂとする

ｙ＝（200/3）ｘ＋ｂ

ｘ＝25、ｙ＝5000を通るから

5000＝（200/3）×25＋ｂ

5000＝（5000/3）＋ｂ

３ｂ＝10000

ｂ＝10000/3

弟がＢ町に向かうときの式は、

ｙ＝（200/3）ｘ＋（10000/3）

姉のグラフの切片をｂとする

ｙ＝300ｘ＋ｂ

ｘ＝20、ｙ＝０を通るから

０＝300×20＋ｂ

ｂ＝－6000

姉のグラフの式は、

ｙ＝300ｘ－6000

２式のｙの値が同じだから

（200/3）ｘ＋（10000/3）＝300ｘ－6000

200ｘ＋10000＝900ｘ－18000

－700ｘ＝－28000

ｘ＝40

ｙ＝300×40－6000＝6000

以上から

時刻　午前10時40分

地点　6000m

問題

次の条件をみたす１次関数の式を求めなさい。

1）グラフが（－２，２）を通り、直線ｙ＝ｘ－６とｘ軸上の点で交わる。

2）グラフが２直線ｙ＝（1/2）ｘ、ｙ＝－２ｘ＋５の交点を通り、直線ｙ＝３ｘ－１に平行

1）

求める式が、

ｙ＝ｘ－６とｘ軸上で交わるから

ｙ＝０を代入

０＝ｘ－６

ｘ＝６

求める式は、（６，０）と（－２，２）を通る

ｘの増加量　６－（－２）＝８

ｙの増加量　０－２＝－２

変化の割合　－２／８＝－１／４

切片の値をｂとする

ｙ＝（－1/4）ｘ＋ｂ

ｘ＝６、ｙ＝０を通るから

０＝（－1/4）×６＋ｂ

ｂ＝3/2

よって、求める式は、

ｙ＝（－1/4）ｘ＋（3/2）

2）

２直線の交点を通るから

（1/2）ｘ＝－２ｘ＋５

ｘ＝－４ｘ＋10

５ｘ＝10

ｘ＝２

ｙ＝（1/2）×２＝１

求める式は、ｙ＝３ｘ－１の傾きと同じ

ｙ＝３ｘ＋ｂ

ｘ＝２、ｙ＝１を通るから

１＝３×２＋ｂ

ｂ＝－５

よって、求める式は、

ｙ＝３ｘ－５

問題

下の図のような∠Ｂ＝90°の直角三角形ＡＢＣで、点ＰはＡを出発して、辺上をＢを通ってＣまで動く。点ＰがＡからｘcm動いたときの△ＡＰＣの面積をｙcm²として、あとの問いに答えなさい。

1）点Ｐが辺ＡＢ上を動くとき、ｙをｘの式で表しなさい。

2）点Ｐが辺ＢＣ上を動くとき、ｙをｘの式で表しなさい。

3）点Ｐが辺ＡＢ、ＢＣ上を動くときの、△ＡＰＣの面積の変化のようすを表すグラフをかきなさい。

1）

底辺がＡＰ、高さがＣＢ

ＡＰ＝ｘcm、ＣＢ＝３cmだから

ｙ＝（1/2）×ｘ×３

ｙ＝（3/2）ｘ

2）

底辺がＣＰ、高さがＡＢ

ＣＰ＝（７－ｘ）cm、

ＡＢ＝４cmだから

ｙ＝（1/2）×（７－ｘ）×４

ｙ＝－２ｘ＋14

3）

０≦ｘ≦４のとき

ｙ＝（3/2）ｘ

４≦ｘ≦７のとき

ｙ＝－２ｘ＋14

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