一次関数の応用テスト対策3

たむかい学習教室
11月9日
読了時間: 7分

一次関数の応用テスト対策3

11月に入り期末考査に向けた対策を進めています。

一次関数では、ｙ＝ａｘ＋ｂの意味を理解することが基本になります。また、文字の値の求め方には、いろいろな方法があり、さまざまな問題の演習を通してつかんでいくようにします。

問題

全部で70Ｌの水が入る容器に水が10Ｌ入っている。この状態から一定の割合で水を入れ始めたところ、15分で満水になった。下のグラフは、水を入れ始めてからｘ分後の水の量をｙＬとして、ｘとｙの関係をグラフに表したものである。あとの問いに答えなさい。

1）ｙをｘの式で表しなさい。ただし、ｘの変域は０≦ｘ≦15とする。

2）水の量が50Ｌになったのは、水を入れ始めてから何分後か、求めなさい。

1）

グラフが直線だから

求める式を、ｙ＝ａｘ＋ｂとする。

切片ｂの値は10だから

ｙ＝ａｘ＋10

（15，70）を通るから

70＝ａ×15＋10

15ａ＝60

ａ＝４

よって、求める式は、

ｙ＝４ｘ＋10

※別解

（０，10）（15，70）を通るから

ｘの増加量　15－０＝15

ｙの増加量　70－10＝60

変化の割合は、60／15＝４

切片の値をｂとする

ｙ＝４ｘ＋ｂ

（15，70）を通るから

70＝４×15＋ｂ

ｂ＝10

よって、求める式は、

ｙ＝４ｘ＋10

2）

ｙ＝50のときだから

50＝４ｘ＋10

４ｘ＝40

ｘ＝10

よって、10分後

問題

下の図のような台形ＡＢＣＤがある。点Ｐは辺ＢＣ上をＢからＣまで動く。ＢＰ＝ｘcmのときの台形ＡＰＣＤの面積をｙcm²とする。あとの問いに答えなさい。

1）ｙをｘの式で表し、ｘの変域も求めなさい。

2）ＡＰが台形ＡＢＣＤの面積を２等分するとき、ｘの値を求めなさい。

1）

ＢＰ＝ｘcmだから

ＰＣ＝（６－ｘ）cm

ｙ＝（ＡＤ＋ＰＣ）×ＡＢ×（1/2）

　＝（２＋６－ｘ）×４×（1/2）

　＝－２ｘ＋16

点ＰがＢにあるときは、ｘ＝０

Ｃにあるときは、ｘ＝６だから

ｘの変域は、０≦ｘ≦６

よって、

求める式　ｙ＝－２ｘ＋16

ｘの変域　０≦ｘ≦６

2）

△ＡＢＰと台形ＡＰＣＤの面積が等しくなるときである

△ＡＢＰの式は、

ｙ＝（1/2）×ＢＰ×ＡＢ

　＝（1/2）×ｘ×４

　＝２ｘ

ｙが等しくなるときだから

２ｘ＝－２ｘ＋16

４ｘ＝16

ｘ＝４

よって、ｘ＝４

問題

ある日、兄と弟が家を出て同じ駅に行った。兄は、９時の少し前に家を出て、毎分50mの速さで歩いて駅に向かった。弟は、９時の少しあとに家を出て、毎分200mの速さで自転車で駅に向かった。下のグラフは、９時ｘ分のときの家からの道のりをｙmとして、ｘとｙの関係を表したものである。弟が兄を追いこすのは９時何分か、求めなさい。

グラフの交点のｘの値になる

兄のグラフの式

速さは変化の割合（傾き）だから

ｙ＝50ｘ＋100　①

弟のグラフの式

切片の値をｂとする

ｙ＝200ｘ＋ｂ

（４，０）を通るから

０＝200×４＋ｂ

ｂ＝－800

よって、ｙ＝200ｘ－800　②

①＝②より

50ｘ＋100＝200ｘ－800

ｘ＋２＝４ｘ－16

ｘ＝６

よって、求める時刻は、

９時６分

問題

図１のような直方体を２つ組み合わせたような水そうに、一定の割合で水を入れていった。図２は、水を入れ始めてからｘ分後の水そうの底からの水面の高さをｙcmとして、ｘとｙの関係をグラフに表したものである。あとの問いに答えなさい。

1）１分間に何Ｌの割合で水を入れたか、求めなさい。

2）４≦ｘ≦14のときについて、ｙをｘの式で表しなさい。

3）水面の高さが５cm、40cmになるのは、それぞれ水を入れ始めてから何分後か、求めなさい。

1）

４分で20cmの高さになるから、

１分で５cm上昇する（20÷４）。

５cm上昇した分の体積は、

80×80×５＝32000cm³

1000cm³＝１Ｌだから

求める体積は、32Ｌ

2）

（４，20）（14，60）を通る直線

ｘの増加量　14－４＝10

ｙの増加量　60－20＝40

変化の割合　40／10＝４

切片の値をｂとする

ｙ＝４ｘ＋ｂ

（４，20）を通るから

20＝４×４＋ｂ

ｂ＝４

よって、求める式は、

ｙ＝４ｘ＋４

3）

０≦ｙ≦20のとき

直線の式は、ｙ＝５ｘ

ｙ＝５のときだから

５＝５ｘ

ｘ＝１

20≦ｙ≦60のとき

直線の式は、ｙ＝４ｘ＋４

ｙ＝40のときだから

40＝４ｘ＋４

10＝ｘ＋１

ｘ＝９

よって、

高さ５cm　１分後

高さ40cm　９分後

問題

兄と弟が同時に家を出発し、600m離れた丘の上の公園まで行った。兄は、15分後に公園に着き、５分休んでからひき返し、10分で家に帰った。弟は、毎分20mの速さで公園まで行った。下のグラフは、家を出発してからｘ分後の家からの道のりをｙmとして、兄と弟についてそれぞれｘとｙの関係をグラフに表したものである。あとの問いに答えなさい。

1）兄のグラフについて、20≦ｘ≦30のときのｙをｘの式で表しなさい。

2）公園から帰る兄と公園に向かう弟がすれ違ったのは、家から何mの地点か、求めなさい。

1）

（20，600）（30，０）を通る直線

ｘの増加量　30－20＝10

ｙの増加量　０－600＝－600

変化の割合　－600／10＝－60

切片の値をｂとする

ｙ＝－60ｘ＋ｂ

（30，０）を通るから

０＝－60×30＋ｂ

ｂ＝1800

よって、求める式は、

ｙ＝－60ｘ＋1800

2）

20≦ｘ≦30のときで、

グラフの交点のｙの値を求める。

弟の直線の式は、ｙ＝20ｘ

👉速さが変化の割合、切片は０

よって、

20ｘ＝－60ｘ＋1800

ｘ＝－３ｘ＋90

４ｘ＝90

ｘ＝45/2

ｙ＝20ｘに代入

ｙ＝20×（45/2）＝450

よって、

家から450mの地点

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（中学３年）

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