三平方の定理空間図形

たむかい学習教室
2 日前
読了時間: 7分

三平方の定理空間図形

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

三平方の定理では、空間図形を利用した問題があります。直角三角形をもとに立体の対角線や高さ、立体の周りにかける糸の長さなどを求めます。補助線の引き方は、いろいろな問題の演習を通してつかむようにします。

問題

底面の半径が４cm、母線の長さが５cmの円錐について、あとの問いに答えなさい。

1）高さを求めなさい。

2）体積を求めなさい。

1）

高さをｘcmとする

三平方の定理より

ｘ²＝５²－４²

ｘ²＝９

ｘ＝３（ｘ＞０）

よって、３cm

2）

円錐の体積の公式より

（1/3）×π×４²×３

＝16π

よって、16π cm³

問題

下の図のような直方体の対角線の長さを求めなさい。

底面の対角線の長さをｘcmとする

ｘ²＝４²＋５²

ｘ²＝41

直方体の対角線の長さをｙcmとする

ｙ²＝２²＋41

ｙ²＝45

ｙ＝３√５（ｙ＞０）

よって、３√５cm

問題

下の図は、直方体に、頂点Ａから辺ＢＦを通って、頂点Ｇまで糸をかけたようすを示している。かけた糸の長さがもっとも短くなるときの糸の長さを求めなさい。

点ＡからＢＦを通るから

面ＡＥＦＢとＢＦＧＣを通る直線で、

直角三角形ＡＧＥの斜辺ＡＧの長さになる。

△ＡＧＥにおいて

ＡＥ＝６cm

ＥＧ＝ＥＦ＋ＦＧ＝４＋３＝７cm

三平方の定理より

ＡＧ²＝ＡＥ²＋ＥＧ²

ＡＧ²＝６²＋７²

ＡＧ²＝85

ＡＧ＝√85（ＡＧ＞０）

よって、√85cm

問題

図１のように、地中に半分以上埋まっている丸太がある。図２のように、この丸太の切り口は円であり、地上に出ている部分を測ると、高さが９cm、弦の長さが42cmだった。この丸太の切り口の半径を求めなさい。ただし、丸太の切り口は地面と垂直であるものとする。

下図の通り

円の半径をｘcmとする

△ＯＡＢは二等辺三角形だから

ＡＭ＝（1/2）ＡＢ＝21cm

∠ＯＭＡ＝90°

半径をｘcmとするから

ＯＭ＝（ｘ－９）cm

△ＡＯＭにおいて

三平方の定理より

ＡＯ²＝ＡＭ²＋ＯＭ²

ｘ²＝21²＋（ｘ－９）²

ｘ²＝441＋ｘ²－18ｘ＋81

18ｘ＝522

ｘ＝29

よって、29cm

問題

下の図の立体は、１辺が６cmの立方体で、Ｍ、Ｎはそれぞれ辺ＢＦ、ＤＨの中点である。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）線分ＢＮの長さを求めなさい。

2）４点Ａ、M、G、Nを頂点とする四角形の周の長さと面積を求めなさい。

1）

ＭＮは１辺６cmの正方形の対角線になる。

直角二等辺三角形の辺の比より

ＭＮ：６＝√２：１

ＭＮ＝６√２cm

ＭはＢＦの中点だから

ＢＭ＝６÷２＝３cm

ＭＮは底面と平行だから

∠ＢＭＮ＝90°

△ＢＮＭにおいて

三平方の定理より

ＢＮ²＝ＢＭ²＋ＭＮ²

ＢＮ²＝３²＋（６√２）²

ＢＮ²＝81

ＢＮ＝９（ＢＮ＞０）

よって、９cm

2）

ＡとＧは、ＢＦとＤＨの中点をつなぐから

ＡＭ＝ＭＧ＝ＧＮ＝ＮＡ

△ＭＧＦにおいて

三平方の定理より

ＭＧ²＝ＭＦ²＋ＦＧ²

ＭＦ＝３cm、ＦＧ＝６cmだから

ＭＧ²＝３²＋６²

ＭＧ²＝45

ＭＧ＝３√５cm（ＭＧ＞０）

よって、周の長さは、

３√５×４＝12√５cm

∠ＭＧＦと∠ＮＧＨは45°より小さい角だから

∠ＭＧＮは、90°より大きい鈍角になる。

よって、

四角形ＡＭＢＮは、ひし形である。

ひし形の対角線ＭＮは、

1）より、６√２cm

点ＭからＡＧへの垂線をＭＩとする

△ＭＧＩにおいて

三平方の定理より

ＧＩ²＝ＧＭ²－ＭＩ²

ＧＭ＝３√５cm、

ＭＩ＝（1/2）ＭＮ＝３√２cmだから

ＧＩ²＝（３√５）²－（３√２）²＝27

ＧＩ＝３√３cm（ＧＩ＞０）

ひし形の対角線ＡＧは、

２ＧＩ＝２×３√３＝６√３cm

ひし形の面積は、

（６√２）×（６√３）×（1/2）

＝18√６cm²

よって、

求める面積は、18√６cm²

問題

下の図のように、円錐上の点Ａから円錐の側面にそって、１周するようにひもをかける。このひもがもっとも短くなるときの長さを求めなさい。

下図の通り、線分ＡＡの長さになる。

ＡＡに垂線ＯＨをひく

おうぎ形の中心角は

360°×（3/9）＝120°　※

ＯＨは中心角の二等分線だから

∠ＡＯＨ＝60°

∠ＯＡＨ＝30°

直角三角形の辺の比より

ＡＨ：ＯＡ＝√３：２

ＡＨ：９＝√３：２

ＡＨ＝９√３/２cm

ＡＡ＝２ＡＨだから

２×（９√３/２）＝９√３cm

※

おうぎ形の中心角

360°×（底面の半径/母線の長さ）

★平方数（２乗の数）

　11²＝121　12²＝144　13²＝169

　14²＝196　15²＝225　16²＝256

　17²＝289　18²＝324　19²＝361

　21²＝441　25²＝625

★ピタゴラス数

　直角三角形の辺

　３cm、４cm、５cm

　３²＋４²＝５²

　６cm、８cm、10cmや９cm、12cm、15cmなどの倍数も成り立つ。

　５cm、12cm、13cm

　５²＋12²＝13²

　８cm、15cm、17cm

　８²＋15²＝17²

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