三平方の定理空間図形の対角線

たむかい学習教室
2月8日
読了時間: 7分

三平方の定理空間図形の対角線

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

三平方の定理では、空間図形の対角線の長さを求める問題があります。直方体は、基本的に２つの直角三角形を見て求めます。直方体の対角線は、√（縦²＋横²＋高さ²）で求めることもできます。

問題

次の図の直方体や立方体で、ｘの値を求めなさい。（4）の対角線はＤＦ＝13cmである。

1）

△ＦＧＨにおいて

ＦＨ²＝ＦＧ²＋ＧＨ²

ＦＨ²＝３²＋６²＝45

△ＢＦＨにおいて

ＢＨ²＝ＢＦ²＋ＦＨ²

ＢＦ＝ＤＨ＝６cmだから

ｘ²＝６²＋45

ｘ²＝81

ｘ＝９（ｘ＞０）

※別解

直方体（立方体）の対角線は、

√（縦²＋横²＋高さ²）　で求められる。

ｘ＝√（６²＋３²＋６²）

　＝√（36＋９＋36）

　＝√81＝９

2）

△ＦＧＨにおいて

ＦＨ²＝ＦＧ²＋ＧＨ²

ＦＨ²＝５²＋４²＝41

△ＢＦＨにおいて

ＢＨ²＝ＢＦ²＋ＦＨ²

ｘ²＝３²＋41＝50

ｘ＝５√２（ｘ＞０）

※

√（縦²＋横²＋高さ²）

ｘ＝√（４²＋５²＋３²）

　＝√（16＋25＋９）

　＝√50＝５√２

3）

△ＦＧＨにおいて

ＦＨ²＝ＦＧ²＋ＧＨ²

ＦＨ²＝３²＋３²＝18

△ＢＦＨにおいて

ＢＨ²＝ＢＦ²＋ＦＨ²

ｘ²＝３²＋18＝27

ｘ＝３√３（ｘ＞０）

※

√（縦²＋横²＋高さ²）

ｘ＝√（３²＋３²＋３²）

　＝√（９×３）

　＝３√３

4）

△ＦＧＨにおいて

ＦＨ²＝ＦＧ²＋ＧＨ²

ＦＨ²＝９²＋２²＝85

△ＤＦＨにおいて

ＤＨ²＝ＤＦ²－ＦＨ²

ｘ²＝13²－85＝84

ｘ＝２√21（ｘ＞０）

※

√（縦²＋横²＋高さ²）＝13

√（２²＋９²＋ｘ²）＝13

√（85＋ｘ²）＝13

両辺２乗

85＋ｘ²＝169

ｘ²＝84

ｘ＝2√21（ｘ＞０）

問題

１辺が４cmの立方体の対角線の長さを求めなさい。

底面の正方形の対角線をｘcmとする

直角二等辺三角形の辺の比より

ｘ：４＝√２：１

ｘ＝４√２cm

立方体の対角線をｙcmとすると

ｙ²＝４²＋（４√２）²＝48

ｙ＝４√３cm（ｙ＞０）

よって、４√３cm

※別解

立方体（直方体）の対角線は、

√（縦²＋横²＋高さ²）　で求められる。

√（４²＋４²＋４²）

＝√48＝４√３cm

問題

縦５cm、横６cm、高さ４cmの直方体の対角線の長さを求めなさい。

底面の長方形の対角線をｘcmとする

三平方の定理より

ｘ²＝５²＋６²＝61

直方体の対角線をｙcmとすると

ｙ²＝４²＋61＝77

ｙ＝√77（ｙ＞０）

よって、√77cm

√（縦²＋横²＋高さ²）

＝√（５²＋６²＋４²）

＝√（25＋36＋16）

＝√77cm

ひもの最短距離

問題

下の図の直方体の表面に、頂点ＡからＧまでひもをかける。ひもの長さがもっとも短くなるのは、ひもが辺ＢＣ、ＢＦ、ＤＣのうち、どの辺と交わるときか、答えなさい。

辺ＢＣを通るとき

長方形ＡＦＧＤの対角線ＡＧになる

△ＡＦＧで∠ＡＦＧ＝90°だから

三平方の定理より

ＡＧ²＝ＡＦ²＋ＦＧ²

ＡＦ＝ＡＢ＋ＢＦ＝12cm

ＡＧ²＝12²＋４²＝160　①

辺ＢＦを通るとき

長方形ＡＥＧＣの対角線ＡＧになる

△ＡＣＧで∠ＡＣＧ＝90°だから

三平方の定理より

ＡＧ²＝ＡＣ²＋ＣＧ²

ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＣ＝11cm

ＣＧ＝ＡＥ＝５cm

ＡＧ²＝11²＋５²＝146　②

辺ＤＣを通るとき

長方形ＡＢＧＨの対角線ＡＧになる

△ＡＢＧで∠ＡＢＧ＝90°だから

三平方の定理より

ＡＧ²＝ＡＢ²＋ＢＧ²

ＢＧ＝ＢＣ＋ＣＧ＝９cm

ＡＧ²＝７²＋９²＝130　③

よって、

③＜②＜①より、辺ＤＣを通るとき

2021年青森県立高校入試

問題

下の図は、１辺の長さが６cmの立方体である。辺ＦＧの中点をＰとするとき、あとの問いに答えなさい。

1）辺ＥＦ上にＱＦ＝４cmとなる点Ｑをとるとき、三角錐ＢＱＦＰの体積を求めなさい。

2）辺ＡＥの中点をＲとするとき、点Ｒから辺ＥＦを通って点Ｐまで糸をかける。この糸の長さが最も短くなるときの、糸の長さを求めなさい。

1）

△ＱＦＰと辺ＢＦは垂直だから

錐の底面が△ＱＦＰ、高さがＢＦになる。

∠ＱＦＰ＝90°、

ＰＦ＝（1/2）ＦＧ＝３cmだから

△ＱＦＰ

＝（1/2）×４×３＝６cm²

ＢＦ＝６cmより

三角錐の体積は、

（1/3）×６×６＝12cm³

2）

下図の通り、展開図にすると

面ＡＥＦＢと面ＥＨＧＦを通る直線ＲＰになる。

点ＰからＥＨへの垂線をＰＩとすると、

ＰＩ＝６cm

ＥＦ//ＩＰより

ＥＩ＝（1/2）ＥＨ＝３cm

また、

ＲＥ＝（1/2）ＡＥ＝３cm

よって、

ＲＩ＝ＥＩ＋ＲＥ＝６cm

△ＲＰＩにおいて

∠ＲＩＰ＝90°、ＰＩ＝ＲＩだから

直角二等辺三角形の辺の比より

ＲＰ：ＰＩ＝√２：１

ＲＰ：６＝√２：１

ＲＰ＝６√２cm

よって、６√２cm

問題

図１の円柱形の容器（底面の半径が３cm、高さが15cm）を満水にしたあと、容器を45°傾けたとき、図２のようになった。図２の容器に残っている水の体積を求めなさい。

底面と高さは垂直の関係だから

空の部分の断面は、二等辺三角形である。

また、

空の部分の立体を２つ合わせると円柱になる

この円柱をＰとする

底面の直径は６cmだから、円柱の高さも６cm

円柱Ｐの体積は、

π×３²×６＝54π cm³

空の部分の立体の体積はＰの1/2だから

54π×（1/2）＝27π cm³　①

図１の水の体積は、

π×３²×15＝135π cm³　②

求める体積は、②－①より

135π－27π＝108π cm³

★平方数（２乗の数）

　11²＝121　12²＝144　13²＝169

　14²＝196　15²＝225　16²＝256

　17²＝289　18²＝324　19²＝361

　21²＝441　25²＝625

★ピタゴラス数

　直角三角形の辺

　３cm、４cm、５cm

　３²＋４²＝５²

　６cm、８cm、10cmや９cm、12cm、15cmなどの倍数も成り立つ。

　５cm、12cm、13cm

　５²＋12²＝13²

　８cm、15cm、17cm

　８²＋15²＝17²

★有名角

　30°、60°、90°　直角三角形

　辺の比　１：２：√３

　45°、45°、90°　直角二等辺

　辺の比　１：１：√２

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