三平方の定理辺の長さ②

たむかい学習教室
22 時間前
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三平方の定理辺の長さ②

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

三平方の定理では、直角をはさむ２辺それぞれの２乗の和が、斜辺を２乗した数になります。また、30°、60°、90°と45°、45°、90°の直角三角形では、三角比を利用して辺の長さを求めます。

問題

縦が４cm、横が６cmの長方形の対角線の長さを求めなさい。

ＡＣに対角線を引く

∠Ｂ＝90°だから

ＡＣ²＝ＡＢ²＋ＢＣ²

ＡＣ²＝４²＋６²

ＡＣ²＝52

ＡＣ＝２√13（ＡＣ＞０）

よって、２√13cm

問題

下の図の二等辺三角形ＡＢＣの高さＡＨと、面積をそれぞれ求めなさい。

∠ＡＨＢ＝∠ＡＨＣ＝90°

ＡＢ＝ＡＣ、ＡＨ＝ＡＨより

△ＡＢＨ≡△ＡＣＨ

よって、

ＢＨ＝ＣＨ＝２cm

△ＡＢＨにおいて

ＡＨ²＝ＡＢ²－ＢＨ²

ＡＨ²＝３²－２²

ＡＨ²＝５

ＡＨ＝√５（ＡＨ＞０）

よって、

ＡＨ＝√５cm

△ＡＢＣの面積は、

（1/2）×ＢＣ×ＡＨ

＝（1/2）×４×√５

＝２√５

よって、

△ＡＢＣ＝２√５cm²

問題

次の図で、ｘの値を求めなさい。

1）

△ＡＢＨにおいて

ＡＨ²＝ＡＢ²－ＢＨ²

ＡＨ²＝８²－３²

ＡＨ²＝55　※

△ＡＣＨにおいて

ＣＨ²＋ＡＨ²＝ＡＣ²

ｘ²＋55＝10²

ｘ²＝100－55

ｘ²＝45

ｘ＝３√５（ｘ＞０）

※

２乗の数で代入することになる

2）

ＢＣに垂直となるＤＨを引く

ＤＨ＝ＡＢ＝５cm

△ＤＣＨにおいて

ＤＣ²＝ＤＨ²＋ＣＨ²

ＤＨ＝ＡＢ＝５cm、

ＣＨ＝ＢＣ－ＡＤ＝３cmだから

ｘ²＝５²＋３²

ｘ²＝34

ｘ＝√34（ｘ＞０）

3）

△ＡＣＤにおいて

直角二等辺三角形の辺の比より

ＡＤ：ＡＣ＝１：√２

３：ＡＣ＝１：√２

ＡＣ＝３√２

△ＡＢＣにおいて

直角三角形の辺の比より

ＡＢ：ＡＣ＝２：√３

ｘ：３√２＝２：√３

√３ｘ＝６√２

ｘ＝６√２／√３

　＝６√６／３

　＝２√６

4）

ＢＣに垂直となるＡＨを引く

ＡＢ＝ＡＣ、ＡＨ⊥ＢＣだから

∠ＢＡＨ＝∠ＣＡＨ＝60°

よって、

∠ＡＢＨ＝30°

△ＡＢＨにおいて

直角三角形の辺の比より

ＡＢ：ＢＨ＝２：√３

10：ｘ/２＝２：√３

ｘ＝10√３cm

問題

１辺が６cmの正六角形の面積を求めなさい。

対角線ＡＤとＦＣの交点をＧとし、

ＣＤに垂直となるＧＨを引く。

∠ＢＣＤ

＝180×（６－２）÷６＝120°

ＦＣは正六角形の面積を２等分するから

∠ＢＣＤ÷２＝∠ＧＣＤ＝60°

∠ＧＨＣ＝90°だから

∠ＣＧＨ＝30°

また、

ＣＨ＝ＣＤ÷２＝３cm

△ＧＣＨにおいて

直角三角形の辺の比より

ＧＨ：ＣＨ＝√３：１

ＧＨ：３＝√３：１

ＧＨ＝３√３cm

△ＧＣＨの面積は、

（1/2）×ＣＤ×ＧＨ

＝（1/2）×６×３√３

＝９√３cm²

正六角形の中に、△ＧＣＨと合同な三角形が６つできるから

求める面積は、

９√３×６＝54√３cm²

立体への応用（入試問題）

問題

下の図において、この立体は、１辺の長さが10cmの立方体である。また、辺ＥＦ上に点Ｐがあり、線分ＦＰの長さをｔcmとする。ただし、０＜ｔ＜10とする。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）線分ＤＰの長さが６√６cmとなるとき、ｔの値を求めなさい。

2）ｔ＝２のとき、ひもを点Ｄから立方体の表面にそって点Ｐまでゆるまないようにかける。このひもの長さが最も短くなるときの長さを求めなさい。

1）

正方形ＡＥＨＤに対角線ＤＥを引く

正方形の面と線分ＥＰは垂直の関係だから

△ＤＰＥにおいて

∠ＤＥＰ＝90°

三平方の定理より

ＥＰ²＝ＤＰ²－ＤＥ²

△ＡＥＤにおいて

直角二等辺三角形の辺の比より

ＤＥ：ＡＥ＝√２：１

ＤＥ：10＝√２：１

ＤＥ＝10√２cm

ＥＰ＝（10－ｔ）だから

（10－ｔ）²＝（６√６）²－（10√２）²

100－20ｔ＋ｔ²＝216－200

ｔ²－20ｔ＋84＝０

（ｔ－６）（ｔ－14）＝０

ｔ＝６，14

０＜ｔ＜10より

ｔ＝６

2）

面ＡＥＨＤとＥＦＧＨにおいて

直角三角形ＤＰＡの斜辺ＤＰの長さになる。

ＡＤ＝10cm

ＡＰ＝ＡＥ＋ＥＰ＝10＋８＝18cm

三平方の定理より

ＤＰ²＝ＡＤ²＋ＡＰ²

ＤＰ²＝10²＋18²

ＤＰ²＝424

ＤＰ＝２√106（ＤＰ＞０）

よって、２√106cm

※参考

面ＡＢＣＤとＥＦＢＡで求める場合

直角三角形ＤＰＥの斜辺ＤＰ

ＤＥ＝ＤＡ＋ＡＥ＝20cm

ＥＰ＝ＥＦ－ｔ＝８cm

三平方の定理より

ＤＰ²＝ＤＥ²＋ＥＰ²

ＤＰ²＝20²＋８²

ＤＰ²＝464（ＤＰ＝４√29）

この場合、最短にならないため、問題に合わない。

👉辺ＥＨを通すとき（下面から）と、辺ＡＢを通すとき（上面から）で斜辺の長さが変わる。

★平方数（２乗の数）

　11²＝121　12²＝144　13²＝169

　14²＝196　15²＝225　16²＝256

　17²＝289　18²＝324　19²＝361

　21²＝441　25²＝625

★ピタゴラス数

　直角三角形の辺

　３cm、４cm、５cm

　３²＋４²＝５²

　６cm、８cm、10cmや９cm、12cm、15cmなどの倍数も成り立つ。

　５cm、12cm、13cm

　５²＋12²＝13²

　８cm、15cm、17cm

　８²＋15²＝17²

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