三平方の定理高校入試対策

たむかい学習教室
3 日前
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三平方の定理高校入試対策

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

中３数学では「三平方の定理」の学習に進んでいます。高校入試では、柱・錐・球の立体図形や円と組み合わせた平面図形に関する出題があり、展開図にしたり補助線を引くなど、解き進めるために必要な方法があります。

問題

底面の半径が３cm、母線の長さが８cmの円錐の体積を求めなさい。

円錐の高さをｘcmとする

三平方の定理より

ｘ²＝８²－３²

ｘ²＝55

ｘ＝√55cm（ｘ＞０）

よって、円錐の体積は、

（1/3）×π×３²×√55

＝３√55π cm³

問題

底面が１辺６cmの正方形で、他の辺が７cmの正四角錐がある。あとの問いに答えなさい。

1）この正四角錐の高さを求めなさい。

2）この正四角錐の体積を求めなさい。

1）

△ＡＢＣは、

∠Ｂ＝90°、∠ＢＡＣ＝∠ＢＣＡ＝45°だから

直角二等辺三角形の辺の比より

ＡＢ：ＡＣ＝１：√２

６cm：ＡＣ＝１：√２

ＡＣ＝６√２cm

ＡＨ＝（1/2）ＡＣだから

ＡＨ＝（1/2）×６√２＝３√２cm

△ＯＡＨにおいて、三平方の定理より

ＯＨ²＝ＯＡ²－ＡＨ²

ＯＡ＝７cmだから

ＯＨ²＝７²－（３√２）²

ＯＨ²＝31

ＯＨ＝√31（ＯＨ＞０）

よって、√31cm

2）

（1/3）×６²×√31

＝12√31 cm³

問題

下の図のような、１辺が２cmの立方体の表面に、点Ａから点Ｈまで、辺ＢＦと辺ＣＧを通るように糸をかける。糸の長さが最も短くなるときの糸の長さを求めなさい。

展開図にすると

ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤの辺と、辺ＡＥをもつ長方形の対角線ＡＨの長さになる。

ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤ＝６cm、

ＡＥ＝２cmだから

ＡＨ²＝６²＋２²

ＡＨ²＝40

ＡＨ＝2√10（ＡＨ＞０）

よって、2√10cm

問題

下の図のように、縦が４cm、横が８cmの長方形ＡＢＣＤの紙を、頂点Ｄが頂点Ｂと重なるように折るとき、ＢＦの長さを求めなさい。

ＢＦ＝ｘcmとする

ＦＣ’＝ＦＣ＝（８－ｘ）cm

ＢＣ’＝ＤＣ＝４cm

∠Ｃ＝∠Ｃ’＝90°だから

三平方の定理より

ＢＦ²＝ＢＣ’²＋ＦＣ’²

ｘ²＝４²＋（８－ｘ）²

ｘ²＝16＋64－16ｘ＋ｘ²

16ｘ＝80

ｘ＝５

よって、５cm

問題

下の図のような半径が10cmの球の形をした容器Ｏがある。この容器に水面の高さが４cmになるまで水を入れたとき、水面の円Ｏ’の半径を求めなさい。ただし、容器の厚さは考えないものとする。

下図の通り

ＯＡとＯＢは容器Ｏの半径だから10cm

ＯＯ’＝ＯＢ－Ｏ’Ｂだから

ＯＯ’＝10－４＝６cm

∠ＯＯ’Ａ＝90°だから

三平方の定理より

Ｏ’Ａ²＝ＯＡ²－ＯＯ’²

Ｏ’Ａ²＝10²－６²

Ｏ’Ａ²＝64

Ｏ’Ａ＝８（Ｏ’Ａ＞０）

よって、８cm

問題

下の図のように、ＡＢを直径とする半円Ｏと、その周上の点Ｐを通る接線がある。半円Ｏの半径を求めなさい。

下図の通り

点Ｃを通りＡＢに平行な線と、ＤＢとの交点をＥとする。

円の接線の性質より

∠ＯＡＣ＝∠ＯＢＥ＝90°

ＡＢ//ＣＥだから、

四角形ＡＢＥＣは長方形

よって、

ＣＥ＝ＡＢで、ＣＥの半分が円Ｏの半径になる。

△ＤＣＥにおいて

円の接線の性質より

ＣＰ＝ＣＡ＝４cm

ＤＰ＝ＤＢ＝９cm　※

ＣＤ＝ＣＰ＋ＤＰ＝13cm

また、

ＤＥ＝ＤＢ－ＥＢ＝５cm

同位角は等しいから、∠ＣＥＤ＝∠Ｂ＝90°

よって、

三平方の定理より

ＣＥ²＝ＣＤ²－ＤＥ²

ＣＥ²＝13²－５²

ＣＥ²＝144

ＣＥ＝12cm（ＣＥ＞０）

半径ＯＡ＝（1/2）ＣＥだから

ＯＡ＝（1/2）×12＝６

よって、６cm

※

△ＣＡＯと△ＣＰＯは合同

∠ＣＡＯ＝∠ＣＰＯ＝90°

ＣＯ＝ＣＯ（共通）

ＡＯ＝ＰＯ（円の半径）

直角三角形の斜辺と他の１辺が等しい

よって、ＣＡ＝ＣＰ

△ＤＰＯと△ＤＢＯも合同

演算を効率よく進めるポイント

★平方数（２乗の数）

　11²＝121　12²＝144　13²＝169

　14²＝196　15²＝225　16²＝256

　17²＝289　18²＝324　19²＝361

　21²＝441　25²＝625

★ピタゴラス数

　直角三角形の辺

　３cm、４cm、５cm

　３²＋４²＝５²

　６cm、８cm、10cmや９cm、12cm、15cmなどの倍数も成り立つ。

　５cm、12cm、13cm

　５²＋12²＝13²

　８cm、15cm、17cm

　８²＋15²＝17²

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今年度塾生35名（2025年11月現在）

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当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。

ご入塾までの流れ

体験学習（60分）

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塾生の声

苦手意識から「自信」へ

（中学３年）

　今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。

３年間の積み重ねで受験合格

（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

苦手の克服が高得点に

（高校１年）

　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。

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