三平方の定理高校入試対策8

たむかい学習教室
1月13日
読了時間: 7分

三平方の定理高校入試対策8

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

三平方の定理では、高校入試に向けて、基本公式と直角三角形（有名角）の辺の比を押さえておく必要があります。また、直角三角形の斜辺は、90°に向かい合う辺になります。

基本問題

問題

次の直角三角形で、ｘの値を求めなさい。

1）

三平方の定理より

ＡＢ²＝ＡＣ²＋ＣＢ²

ＡＢ²＝１²＋３²＝10

ＡＢ＞０より

ＡＢ＝√10

よって、ｘ＝√10

2）

ＡＢ²＝ＢＣ²－ＡＣ²

ＡＢ²＝６²－５²＝11

ＡＢ＞０より

ＡＢ＝√11

よって、ｘ＝√11

3）

ＡＢ²＝２²＋５²＝29

ＡＢ＞０より

ＡＢ＝√29

よって、ｘ＝√29

4）

ＡＢ²＝７²－４²＝33

ＡＢ＞０より

ＡＢ＝√33

よって、ｘ＝√33

問題

次の直角二等辺三角形で、ｘの値を求めなさい。

1）

直角二等辺三角形の辺の比より

ＡＢ：ＢＣ＝√２：１

ｘ：４＝√２：１

ｘ＝４√２

2）

ｘ：５＝√２：１

ｘ＝５√２

問題

次の直角三角形で、ｘの値を求めなさい。

1）

直角三角形の辺の比より

ＢＣ：ＡＣ＝√３：２

ｘ：10＝√３：２

ｘ：５＝√３：１

ｘ＝５√３

2）

ｘ：12＝√３：２

ｘ：６＝√３：１

ｘ＝６√３

問題

下の図のように、ＡＢ＝２cm、ＢＣ＝３cmの長方形ＡＢＣＤがある。この長方形の対角線ＢＤの長さを求めなさい。

△ＢＣＤにおいて

三平方の定理より

ＢＤ²＝ＢＣ²＋ＣＤ²

ＣＤ＝ＡＢ＝２cmだから

ＢＤ²＝３²＋２²＝13

ＢＤ＞０より

ＢＤ＝√13cm

問題

下の図の２点Ａ（１，２）、Ｂ（７，５）間の距離を求めなさい。

点Ａを通りｘ軸に平行な直線と、

点Ｂを通りｙ軸に平行な直線との交点をＣとする。

△ＡＢＣにおいて

∠ＡＣＢ＝90°だから

三平方の定理より

ＡＢ²＝ＡＣ²＋ＢＣ²

ＡＣ＝７－１＝６

ＢＣ＝５－２＝３だから

ＡＢ²＝６²＋３²＝45

ＡＢ＞０より

ＡＢ＝３√５

問題

下の図のような、∠ＢＡＣが鋭角で、ＡＢ＝ＡＣ＝６cmの二等辺三角形ＡＢＣがある。頂点Ｂから辺ＡＣに垂線ＢＤをひくと、ＡＤ＝２cmになった。このとき、辺ＢＣの長さを求めなさい。

△ＡＢＤにおいて

三平方の定理より

ＢＤ²＝ＡＢ²－ＡＤ²

ＢＤ²＝６²－２²＝32

△ＢＣＤにおいて

∠ＢＤＣ＝90°だから

三平方の定理より

ＢＣ²＝ＢＤ²＋ＣＤ²

ＣＤ＝６－２＝４cmだから

ＢＣ²＝32＋４²＝48

ＢＣ＞０より

ＢＣ＝４√３cm

問題

下の図のように、線分ＡＢを直径とする半円があり、ＡＢ＝５cmとする。弧ＡＢ上に点Ｃを、ＢＣ＝２cmとなるようにとる。このとき、線分ＡＣの長さを求めなさい。

直径ＡＢに対する円周角だから

∠Ｃ＝90°

三平方の定理より

ＡＣ²＝ＡＢ²－ＢＣ²

ＡＣ²＝５²－２²＝21

ＡＣ＞０より

ＡＣ＝√21cm

問題

下の図のように、直角三角形ＡＢＣと中心角が90°のおうぎ形ＢＤＣを合わせた図形がある。ＡＢ＝８cm、ＡＣ＝10cmのとき、この図形を、直線ＡＤを軸として１回転させてできる立体の体積を求めなさい。ただし、円周率はπとする。

△ＡＢＣから円錐、

おうぎ形ＢＤＣから半球ができる。

円錐と半球を合わせた体積を求める。

△ＡＢＣにおいて、三平方の定理より

ＢＣ²＝ＡＣ²－ＡＢ²

ＢＣ²＝10²－８²＝36

ＢＣ＝６cm（ＢＣ＞０）

円錐の底面の半径は６cm、

高さＡＢ＝８cmだから

円錐の体積は、

（1/3）×π×６²×８＝96π cm³

半球の半径は６cmだから

半球の体積は、

（4/3）×π×６³×（1/2）＝144π cm³

よって、求める体積は、

96π＋144π＝240π cm³

問題

下の図のように、線分ＡＢを直径とする円Ｏの円周上に、点Ｃをとる。円Ｏと、ＣＯの延長との交点をＤとし、点Ｃを通る円Ｏの接線と∠ＢＯＣの二等分線との交点をＥとする。ＯＢ＝４cm、∠ＢＯＤ＝120°のとき、線分ＣＥの長さを求めなさい。

∠ＢＯＤ＝120°より

∠ＢＯＣ＝180°－120°＝60°

ＯＥは∠ＢＯＣの二等分線だから

∠ＥＯＣ＝60°÷２＝30°

円の接線の性質より

∠ＯＣＥ＝90°

△ＯＥＣにおいて

直角三角形の辺の比より

ＯＣ：ＣＥ＝√３：１

ＯＣ＝ＯＢ＝４cmだから

４：ＣＥ＝√３：１

√３ＣＥ＝４

ＣＥ＝４√３／３cm

★平方数（２乗の数）

　11²＝121　12²＝144　13²＝169

　14²＝196　15²＝225　16²＝256

　17²＝289　18²＝324　19²＝361

　21²＝441　25²＝625

★ピタゴラス数

　直角三角形の辺

　３cm、４cm、５cm

　３²＋４²＝５²

　６cm、８cm、10cmや９cm、12cm、15cmなどの倍数も成り立つ。

　５cm、12cm、13cm

　５²＋12²＝13²

　８cm、15cm、17cm

　８²＋15²＝17²

★有名角

　30°、60°、90°　直角三角形

　辺の比　１：２：√３

　45°、45°、90°　直角二等辺

　辺の比　１：１：√２

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ご入塾までの流れ

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塾生の声

苦手意識から「自信」へ

（中学３年）

　今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。

３年間の積み重ねで受験合格

（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

苦手の克服が高得点に

（高校１年）

　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。

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