三角形の合同④ 高校入試対策

たむかい学習教室
2025年12月31日
読了時間: 7分

更新日：1月1日

三角形の合同④ 高校入試対策

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

入試問題では「証明」の出題があり、三角形の合同または相似を利用します。昨年度の県立高入試は、数年ぶりにすべて記述で答える出題となりました。等しい辺や角は、根拠（理由）を加えることが必要になります。

問題

下の図において、ＡＣ＝ＧＥ、ＢＣ//ＤＦ、ＡＤ//ＦＧのとき、△ＡＢＣと△ＧＦＥは合同であることを証明しなさい。ただし、点Ｅは、線分ＡＧと線分ＤＦの交点とする。

〔証明〕

△ＡＢＣと△ＧＦＥにおいて

仮定より

ＡＣ＝ＧＥ　①

ＡＤ//ＦＧより

平行線の錯角は等しいから

∠ＤＡＧ＝∠ＦＧＡ

よって、

∠ＢＡＣ＝∠ＦＧＥ　②

ＢＣ//ＤＦより

同位角は等しいから

∠ＡＣＢ＝∠ＡＥＤ　③

対頂角は等しいから

∠ＧＥＦ＝∠ＡＥＤ　④

③、④より

∠ＡＣＢ＝∠ＧＥＦ　⑤

①、②、⑤より

１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので

△ＡＢＣ≡△ＧＦＥ

問題

下の図のように、ＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形ＡＢＣと、ＡＤ＝ＡＥの二等辺三角形ＡＤＥがあり、∠ＣＡＢ＝∠ＥＡＤである。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）△ＡＥＣと△ＡＤＢが合同になることを証明しなさい。

2）∠ＥＣＢ＝36°、∠ＣＢＤ＝84°のとき、∠ＣＡＢの大きさを求めなさい。

1）

〔証明〕

△ＡＥＣと△ＡＤＢにおいて

仮定より

ＡＣ＝ＡＢ　①

ＡＥ＝ＡＤ　②

また、

∠ＣＡＥ＝∠ＣＡＢ－∠ＢＡＥ

∠ＢＡＤ＝∠ＥＡＤ－∠ＢＡＥ

∠ＣＡＢ＝∠ＥＡＤより

∠ＣＡＥ＝∠ＢＡＤ　③

①、②、③より

２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので

△ＡＥＣ≡△ＡＤＢ

2）

ＡＢ＝ＡＣより

∠ＡＣＢ＝∠ＡＢＣ＝ｘ°とする

△ＡＥＣ≡△ＡＤＢより

∠ＡＣＥ＝∠ＡＢＤ

∠ＡＣＥ＝ｘ°＋36°、

∠ＡＢＤ＝84°－ｘ°だから

ｘ°＋36°＝84°－ｘ°

ｘ＝24°

∠ＡＣＢ＝∠ＡＢＣ＝24°だから

∠ＣＡＢ＝180°－24°×２＝132°

よって、132°

問題

下の図のように、平行四辺形ＡＢＣＤがある。点Ｂを通り対角線ＡＣに平行な直線と、直線ＤＣとの交点をＥとする。あとの問いに答えなさい。

1）△ＡＣＤと△ＢＥＣが合同になることを証明しなさい。

2）平行四辺形の面積は、四角形ＡＢＥＤの面積の何倍か、求めなさい。

1）

〔証明〕

△ＡＣＤと△ＢＥＣにおいて

平行四辺形の対辺は等しいから

ＡＤ＝ＢＣ　①

ＡＤ//ＢＣより

平行線の同位角は等しいから

∠ＡＤＣ＝∠ＢＣＥ　②

平行線の錯角は等しいから

∠ＤＡＣ＝∠ＡＣＢ　③

ＡＣ//ＢＥより

平行線の錯角は等しいから

∠ＣＢＥ＝∠ＡＣＢ　④

③、④より

∠ＤＡＣ＝∠ＣＢＥ　⑤

①、②、⑤より

１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので

△ＡＣＤ≡△ＢＥＣ

2）

線分ＡＣは対角線だから

△ＡＣＢ＝△ＡＣＤ

よって、

△ＡＣＢ＝△ＡＣＤ＝△ＢＥＣ

△ＡＣＢ：△ＡＣＤ：△ＢＥＣ

＝１：１：１

平行四辺形

＝△ＡＣＢ＋△ＡＣＤ

＝２

四角形ＡＢＥＤ

＝△ＡＣＢ＋△ＡＣＤ＋△ＢＥＣ

＝３

よって、

２÷３＝2/3倍

問題

下の図のように、∠ＯＢＡ＝90°の直角三角形ＯＡＢと、∠ＯＤＣ＝90°の直角三角形ＯＣＤがあり、△ＯＡＢ≡△ＯＣＤである。辺ＡＢと辺ＣＤとの交点をＥとし、点Ｏと点Ｅを結ぶ。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）△ＯＢＥと△ＯＤＥが合同になることを証明しなさい。

2）ＯＡ＝10cm、ＯＢ＝６cm、ＡＢ＝８cmのとき、次のア、イに答えなさい。

ア

△ＡＤＥと△ＯＤＥの面積の比を最も簡単な整数の比で答えなさい。

イ

△ＡＤＥの面積を求めなさい。

1）

〔証明〕

△ＯＢＥと△ＯＤＥにおいて

合同な図形の対応する辺や角は等しいから

ＯＢ＝ＯＤ　①

∠ＯＢＥ＝∠ＯＤＥ＝90°　②

共通な辺だから

ＯＥ＝ＯＥ　③

①、②、③より

直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しいので

△ＯＢＥ≡△ＯＤＥ

2）ア

△ＯＢＥ≡△ＯＤＥより

ＯＤ＝ＯＢ＝６cm

ＡＤ＝ＯＡ－ＯＤ

　　＝10－６＝４cm

△ＡＤＥと△ＯＤＥは

それぞれ高さがＥＤで等しいから

底辺比が面積比になる。

ＡＤ：ＯＤ＝４：６より

△ＡＤＥ：△ＯＤＥ＝２：３

2）イ

△ＯＡＢ

＝（1/2）×ＡＢ×ＯＢ

＝（1/2）×８×６

＝24cm²

△ＯＢＥ＝△ＯＤＥ、

△ＡＤＥ：△ＯＤＥ＝２：３より

△ＡＤＥ：△ＯＡＢ

＝２：６＝１：３

よって、

△ＡＤＥ：24cm²＝１：３

△ＡＤＥ＝８cm²

問題

下の図のように、正三角形ＡＢＣがある。辺ＢＣ上に点Ｄをとる。また、点Ｂを通り、辺ＣＡに平行な直線上の点Ｂよりも下に、ＢＥ＝ＢＤとなる点Ｅをとり、点Ｃと点Ｅを結ぶ。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）△ＡＢＤと△ＣＢＥが合同になることを証明しなさい。

2）∠ＡＤＣ＝83°のとき、次のア、イに答えなさい。

ア　∠ＢＡＤの大きさを求めなさい。

イ　∠ＤＥＣの大きさを求めなさい。

1）

〔証明〕

△ＡＢＤと△ＣＢＥにおいて

仮定より

ＢＤ＝ＢＥ　①

△ＡＢＣは正三角形だから

ＡＢ＝ＣＢ　②

∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＢ＝60°　③

ＡＣ//ＢＥより

平行線の錯角は等しいから

∠ＣＢＥ＝∠ＡＣＢ　④

③、④より

∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＥ　⑤

①、②、⑤より

２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので

△ＡＢＤ≡△ＣＢＥ

2）ア

△ＡＢＤの内角と外角の関係より

∠ＢＡＤ＋∠ＡＢＤ＝∠ＡＤＣ

∠ＡＢＤ＝60°だから

∠ＢＡＤ＋60°＝83°

よって、∠ＢＡＤ＝23°

2）イ

△ＡＢＤ≡△ＣＢＥより

∠ＡＤＢ＝∠ＣＥＢ

∠ＡＤＢ＝180°－∠ＡＤＣだから

∠ＡＤＢ＝180°－83°＝97°

よって、∠ＣＥＢ＝97°

また、

∠ＥＢＤ＝∠ＣＢＥ＝∠ＡＢＤ＝60°

ＢＥ＝ＢＤだから

△ＢＤＥは正三角形である

よって、∠ＢＥＤ＝60°

∠ＤＥＣ＝∠ＣＥＢ－∠ＢＥＤだから

∠ＤＥＣ＝97°－60°＝37°

よって、∠ＤＥＣ＝37°

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