三角形の合同高校受験対策②

たむかい学習教室
9月23日
読了時間: 7分

三角形の合同高校受験対策②

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

本県の公立高入試では、毎年「図形の証明」が出題されます。昨年度は、数年ぶりに穴埋め式から記述式の出題になりました。今後も、証明をいちからすべて書く形の出題が予想されるため、早めの対策が必要になります。

図形の証明問題では、証明を書き始める前の手順や、図形に関する用語を覚えておくことなど、問題にあたる上でいくつか大切なポイントがあります。また、いろいろな問題の演習を通して、図形のとらえ方や証明の書き方を身につけていくことができます。

問題

下の図のような、２つの正三角形ＡＢＣとＤＣＥがある。３点Ｂ、Ｃ、Ｅは一直線上の点であり、点ＡとＤ、点ＡとＥ、点ＢとＤをそれぞれ結ぶとき、あとの問いに答えなさい。

1）△ＡＣＥと△ＢＣＤが合同になることを証明しなさい。

2）∠ＡＥＤ＝15°のとき、∠ＡＢＤの大きさを求めなさい。

3）ＢＣ＝８cm、ＣＥ＝６cmのとき、△ＡＣＥの面積は△ＤＣＥの面積の何倍か、求めなさい。

証明を書き始める前に

△ＡＣＥと△ＢＣＤ

Step1

「正三角形」３辺がすべて等しい

👉ＡＣ＝ＢＣ、ＣＥ＝ＣＤ

　　　　　　👇

　２組の辺が等しいから

　合同条件は、

　３組の辺が等しい　

　または

　２組の辺とその間の角が等しい

　のどちらかになる

Step2

下図の通り

○の角度は互いに60°

∠ＡＣＥと∠ＢＣＤでは

☆の角度が互いに共通

👉○＋☆＝∠ＡＣＥ＝∠ＢＣＤ

以上から、

２組の辺とその間の角が等しい三角形どうしになる

1）

〔証明〕

△ＡＣＥと△ＢＣＤにおいて

△ＡＢＣと△ＤＣＥは正三角形だから

ＡＣ＝ＢＣ　①

ＣＥ＝ＣＤ　②

∠ＡＣＥ＝∠ＤＣＥ＋∠ＡＣＤ

　　　　＝60°＋∠ＡＣＤ　③

∠ＢＣＤ＝∠ＡＣＢ＋∠ＡＣＤ

　　　　＝60°＋∠ＡＣＤ　④

③、④より

∠ＡＣＥ＝∠ＢＣＤ　⑤

①、②、⑤より

２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので

△ＡＣＥ≡△ＢＣＤ

2）∠ＡＥＤ＝15°のとき、∠ＡＢＤの大きさを求めなさい。

2）

証明問題のあとは、前問の合同な三角形を利用して解く出題になる。

△ＡＣＥ≡△ＢＣＤ

　　　　👇

３辺が等しい

ＡＣ＝ＢＣ、ＣＥ＝ＣＤ、ＡＥ＝ＢＤ

３つの角が等しい

∠ＡＣＥ＝∠ＢＣＤ、∠ＣＥＡ＝∠ＣＤＢ、∠ＡＥＣ＝∠ＢＤＣ

∠ＡＥＣ

＝∠ＣＥＤ－∠ＡＥＤ

＝60°－15°

＝45°

よって、∠ＢＤＣ＝45°

∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ＝60°だから

∠ＡＣＤ＝60°

よって、

∠ＢＣＤ

＝60°＋60°＝120°

△ＢＣＤで、

∠ＣＢＤ

＝180°－（45°＋120°）

＝15°

∠ＡＢＣ＝60°だから

∠ＡＢＤ

＝60°－15°

＝45°

3）ＢＣ＝８cm、ＣＥ＝６cmのとき、△ＡＣＥの面積は△ＤＣＥの面積の何倍か、求めなさい。

3）

△ＢＣＤと△ＤＣＥで見たとき

互いの高さは等しいから、

底辺比が三角形の面積比になる。

ＢＣ：ＣＥ＝８：６だから

△ＢＣＤ：△ＤＣＥ＝４：３

△ＢＣＤ＝△ＡＣＥだから

△ＡＣＥ：△ＤＣＥ＝４：３

３△ＡＣＥ＝４△ＤＣＥ

△ＡＣＥ＝4/3△ＤＣＥ

よって、4/3倍

問題

下の図の四角形ＡＢＣＤは平行四辺形であり、対角線ＡＣ、ＢＤの交点をＯとする。線分ＢＯ上に点Ｅ、線分ＤＯ上に点Ｆを、ＡＥ//ＦＣとなるようにとり、２点Ｃ、Ｅを線分で結ぶ。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）△ＡＥＯと△ＣＦＯが合同になることを証明しなさい。

2）ＡＥ＝ＢＥ＝ＣＥ、∠ＢＣＦ＝108°であるとき、∠ＥＢＣの大きさを求めなさい。

1）

平行四辺形の情報があるとき

👉平行四辺形の性質を利用する

　対辺（向かい合う辺）が等しい

　対角（向かい合う角）が等しい

　対角線がそれぞれの中点で交わる

平行（//）の情報があるとき

👉錯角、同位角を利用する

〔証明〕

△ＡＥＯと△ＣＦＯにおいて

平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるから

ＡＯ＝ＣＯ　①

対頂角は等しいから

∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＦ　②

ＡＥ//ＦＣで、平行線の錯角は等しいから

∠ＯＡＥ＝∠ＯＣＦ　③

①、②、③より

１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので

△ＡＥＯ≡△ＣＦＯ

2）ＡＥ＝ＢＥ＝ＣＥ、∠ＢＣＦ＝108°であるとき、∠ＥＢＣの大きさを求めなさい。

2）

∠ＥＢＣ＝ｘとする

△ＥＢＣは、

ＢＥ＝ＣＥの二等辺三角形で

底角が等しいから

∠ＥＢＣ＝∠ＥＣＢ＝ｘ

△ＥＢＣの内角と外角の関係より

∠ＥＢＣ＋∠ＥＣＢ＝∠ＣＥＦ

すなわち、ｘ＋ｘ＝２ｘ

△ＡＥＯ≡△ＣＦＯより

ＡＥ＝ＣＦ

ＡＥ＝ＣＥだから

ＣＦ＝ＣＥ

△ＣＥＦは、

ＣＦ＝ＣＥの二等辺三角形で

底角が等しいから

∠ＣＥＦ＝∠ＣＦＥ＝２ｘ

△ＣＥＦにおいて

∠ＥＣＦ

＝180－（∠ＣＥＦ＋∠ＣＦＥ）

＝180－４ｘ

∠ＢＣＥ＋∠ＥＣＦ＝108より

ｘ＋（180－４ｘ）＝108

ｘ＝24

よって、

∠ＥＢＣ＝24°

👉三角形の合同

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