- たむかい学習教室
- 11 時間前
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三角形の応用問題
当塾では、小学生、中高生が算数、数学を学習しています。それぞれの学年には、三角形の応用学習があります。小学算数で三角定規を使い始めてから、中学数学での三平方の定理、高校数学での三角関数に至るまで、図形の学習は続いていきます。
問題
下の図は、長方形ＡＢＣＤを頂点Ａが辺ＢＣに重なるように折り返したものである。このとき、∠ｘの大きさを求めなさい。
ＡＢ上の点をＥ、ＢＣ上の点をＦとする
△ＡＤＥ≡△ＦＤＥだから
∠ＡＤＥ＝∠ＦＤＥ＝20°
よって、∠ＡＤＦ＝40°
平行線の錯角だから
∠ＣＦＤ＝∠ＡＤＦ＝40°
また、
∠ＤＡＥ＝∠ＤＦＥ＝90°
よって、
∠ｘ＝180°－90°－40°＝50°
※別解
∠ＡＥＤ＝180°－90°－20°＝70°
∠ＡＥＦ＝70°×２＝140°
△ＥＦＢで三角形の内角と外角の関係より
∠ｘ＋∠Ｂ＝140°
∠ｘ＋90°＝140° ∠ｘ＝50°
問題
下の図で、四角形ＡＢＣＤは平行四辺形で、ＡＣ//ＥＦとなるように点Ｅ、Ｆを辺ＡＤ、ＣＤ上にとる。このとき、△ＡＢＥと面積の等しい三角形をすべて答えなさい。
△ＡＢＥと△ＡＣＥの底辺をＡＥとする
ＡＥ//ＢＣより
２つの三角形の高さが等しいから
△ＡＢＥ＝△ＡＣＥ
△ＡＣＥと△ＡＣＦの底辺をＡＣとする
ＡＣ//ＥＦより
△ＡＣＥ＝△ＡＢＥ＝△ＡＣＦ
△ＡＣＦと△ＢＣＦの底辺をＣＦとする
ＡＢ//ＦＣより
△ＡＣＦ＝△ＡＢＥ＝△ＢＣＦ
よって、
△ＡＣＥ、△ＡＣＦ、△ＢＣＦ
問題
下の図で、直線ℓの式はｙ＝（1/3）ｘ－１、直線mの式はｙ＝－３ｘ＋４である。直線ℓ、m上にｙ座標が－２である点Ａ、Ｂをとる。また、直線ℓとｘ軸との交点をＣ、直線mとｙ軸との交点をＤとする。あとの問いに答えなさい。
1）直線ＡＤの式を求めなさい。
2）直線ℓ、mの交点をＥとするとき、△ＡＢＥと△ＤＥＣの面積が等しいことを説明しなさい。
1）
点Ａは、ｙ＝－２
ｙ＝（1/3）ｘ－１上にあるから
－２＝（1/3）ｘ－１
ｘ＝－３
よって、Ａ（－３，－２）
点Ｄは、
直線mの切片だから、（０，４）
求める直線ＡＤの傾きをａとすると
ｙ＝ａｘ＋４
Ａ（－３，－２）を通るから
－２＝ａ×（－３）＋４
ａ＝２
よって、ｙ＝２ｘ＋４
2）
点Ｂは、ｙ＝－２
ｙ＝－３ｘ＋４上にあるから
－２＝－３ｘ＋４
ｘ＝２
よって、Ｂ（２，－２）
点Ｃは、ｙ＝０
ｙ＝（1/3）ｘ－１上にあるから
０＝（1/3）ｘ－１
ｘ＝３
よって、Ｃ（３，０）
直線ＢＣの傾きは、
ｘの増加量 ３－２＝１
ｙの増加量 ０－（－２）＝２
２÷１＝２
直線ＡＤと傾きが同じだから、ＡＤ//ＢＣ
△ＡＢＤと△ＡＣＤでＡＤを底辺とすると
△ＡＢＤ＝△ＡＣＤ ①
また、
△ＡＢＥ＝△ＡＢＤ－△ＡＥＤ ②
△ＤＥＣ＝△ＡＣＤ－△ＡＥＤ ③
①、②、③より
△ＡＢＥ＝△ＤＥＣ
問題
下の図のように、∠Ａ＝90°の直角三角形ＡＢＣにおいて、斜辺ＢＣ上にＡＤ＝ＢＤとなる点Ｄをとる。このとき、△ＡＤＣはＡＤ＝ＣＤの二等辺三角形であることを証明しなさい。
〔証明〕
ＡＤ＝ＢＤより
二等辺三角形ＡＢＤの底角は等しいから
∠ＤＡＢ＝∠ＤＢＡ ①
また、
∠ＤＣＡ＝180°－∠ＢＡＣ－∠ＤＢＡ
＝90°－∠ＤＢＡ ②
∠ＤＡＣ＝∠ＢＡＣ－∠ＤＡＢ
＝90°－∠ＤＡＢ ③
①、②、③より
△ＡＤＣの２つの角が等しいから
△ＡＤＣは二等辺三角形である
2026 青森県立高校入試
1）ア
〔証明〕
△ＢＦＥと△ＤＦＣにおいて
共通な角だから
∠ＢＦＥ＝∠ＤＦＣ ①
ＢＥ//ＤＣより、同位角は等しいから
∠ＢＥＦ＝∠ＤＣＦ ②
①、②より
２組の角がそれぞれ等しいので
△ＢＦＥ∽△ＤＦＣ
1）イ
△ＢＦＥ∽△ＤＦＣより
ＢＥ：ＤＣ＝ＦＢ：ＦＤ
ＦＤの比はＦＢ＋ＢＤ＝８、
ＤＣ＝ＡＢ＝６cmだから
ＢＥ：６＝１：８
ＢＥ：３＝１：４
ＢＥ＝3/4cm
2）ア
面ＡＢＣ⊥ＢＦだから
底面ＡＢＣ、高さＢＦの三角錐
底面は∠ＡＢＣ＝90°の直角三角形
よって、
（1/3）×（1/2）×20×10×５
＝500/3 cm³
2）イ
Ｍは長方形の対角線の交点だから
ＤＭ＝（1/2）ＤＢ
△ＤＢＣで∠ＤＣＢ＝90°だから
三平方の定理より
ＤＢ²＝ＤＣ²＋ＣＢ²
ＤＣ＝ＡＢ＝10cmだから
ＤＢ²＝10²＋20²＝500
ＤＢ＝10√5cm（ＤＢ＞０）
よって、
ＤＭ＝（1/2）×10√5＝５√５cm
2）ウ
ＭからＦＨへの垂線をＭＰとする
△ＦＭＰで三平方の定理より
ＦＭ²＝ＦＰ²＋ＭＰ²
ＦＰ＝ＤＭ＝５√５cm、
ＭＰ＝ＤＨ＝５cmだから
ＦＭ²＝（５√５）²＋５²＝150
ＦＭ＞０より
ＦＭ＝５√６cm
高校数学（正弦定理・余弦定理）
問題
△ＡＢＣにおいて、ｂ＝２、ｃ＝√６、Ｂ＝45°のとき、残りの辺の長さと角の大きさを求めよ。
正弦定理より
２/sin45°＝√６/sinＣ
２√２＝√６/sinＣ
２√２sinＣ＝√６
sinＣ＝√３/２
よって、Ｃ＝60°、120°
ＢＣ＝ａとする
Ｃ＝60°のとき、余弦定理より
（√6）²＝２²＋ａ²－２・２・ａcos60°
６＝４＋ａ²－４ａ・（1/2）
ａ²－２ａ－２＝０
解の公式より
ａ＝１±√３
ａ＞０より、ａ＝１＋√３
Ｃ＝120°のとき、余弦定理より
（√6）²＝２²＋ａ²－２・２・ａcos120°
ａ²＋２ａ－２＝０
ａ＝－１±√３
ａ＞０より、ａ＝－１＋√３
Ｃ＝60°のとき
Ａ＝180°－45°－60°＝75°
Ｃ＝120°のとき
Ａ＝180°－45°－120°＝15°
以上から
ａ＝１＋√３、Ａ＝75°、Ｃ＝60°
ａ＝－１＋√３、Ａ＝15°、Ｃ＝120°
問題
△ＡＢＣにおいて、sinＡ/√３＝sinＢ/√７＝sinＣが成り立つとき、最も大きい内角の大きさを求めよ。
ａ＝√３ｋ、ｂ＝√７ｋ、ｃ＝ｋとする
ｂ＞ａ＞ｃだから、最大の角はＢ
余弦定理より
cosＢ
＝（k²＋3k²－7k²）/2・k・√3k
＝－３ｋ²/２√３ｋ²
＝－√３/２
よって、Ｂ＝150°
問題
△ＡＢＣにおいて、ＡＢ＝５、ＢＣ＝√39、ＣＡ＝２である。
1）∠Ａの大きさを求めよ。また、△ＡＢＣの面積を求めよ。
2）△ＡＢＣの外接円Ｏの半径を求めよ。
3）∠Ａの二等分線と円Ｏの交点のうち、Ａと異なる点をＤとする。
ⅰ）ＢＤおよびＡＤの長さをそれぞれ求めよ。
ⅱ）線分ＡＤと辺ＢＣの交点をＥとするとき、ＤＥの長さを求めよ。
1）
△ＡＢＣで余弦定理より
cosＡ
＝｛5²＋2²－(√39)²｝/2・5・2
＝－10/20
＝－1/2
よって、Ａ＝120°
Ａ＝120°より、sinＡ＝√３/２
△ＡＢＣの面積は
（1/2）・５・２・（√３/２)
＝５√３/２
よって、△ＡＢＣ＝５√３/２
2）
△ＡＢＣで正弦定理より
２Ｒ＝√39/sin120°
２Ｒ＝２√13
Ｒ＝√13
3）ⅰ）
∠ＢＡＤ＝120°÷２＝60°
△ＡＢＤで正弦定理より
ＢＤ/sin∠ＢＡＤ＝２Ｒ
ＢＤ/sin60°＝２√13
ＢＤ＝２√13sin60°
＝２√13・（√３/２)
＝√39
ＡＤ＝ｘとする
△ＡＢＤで余弦定理より
（√39）²＝5²＋ｘ²－2・5・ｘcos60°
39＝25＋ｘ²－５ｘ
ｘ²－５ｘ－14＝０
（ｘ＋２）（ｘ－７）＝０
ｘ＞０より、ｘ＝７
よって、
ＢＤ＝√39、ＡＤ＝７
3）ⅱ）
△ＡＢＥ
＝（1/2）・５・ＡＥsin60°
＝（５√３/４）ＡＥ
∠ＣＡＥ＝120°÷２＝60°
△ＡＣＥ
＝（1/2）・２・ＡＥsin60°
＝（√３/２）ＡＥ
△ＡＢＥ＋△ＡＣＥ＝△ＡＢＣ
△ＡＢＣ＝５√３/２より
（5√3/4）ＡＥ＋（√3/2）ＡＥ＝5√3/2
７√３ＡＥ＝10√３
ＡＥ＝10/7
ＤＥ＝ＡＤ－ＡＥ
＝７－（10/7）
＝39/7
よって、ＤＥ＝39/7
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八戸聖ウルスラ学院中学 八戸工大二高附属中学
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これからもこの塾で！
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