三角形の性質
三角形の性質には、辺の長さや内角と外角を利用したものがあります。中学数学では、等積変形、合同と相似の証明、三平方の定理などで応用します。
問題
下の図のように、∠ＢＡＣ＝42°、ＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形があり、辺ＡＣ上にＡＤ＝ＢＤとなる点Ｄをとる。このとき、∠ｘの大きさを求めなさい。
△ＡＢＣの底角は等しいから
∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ
頂角∠ＢＡＣ＝42°だから
∠ＡＢＣ＝（180°－42°）÷２＝69°
△ＤＡＢの底角は等しいから
∠ＤＢＡ＝∠ＤＡＢ＝42°
よって、
ｘ＝∠ＡＢＣ－∠ＤＢＡ
＝69°－42°
＝27°
問題
下の図で、四角形ＡＢＣＤはひし形、四角形ＡＥＦＤは正方形である。∠ＡＢＣ＝48°のとき、∠ＣＦＥの大きさは何度か、求めなさい。
ひし形の対角は等しいから
∠ＡＤＣ＝∠ＡＢＣ＝48°
∠ＣＤＦ＝∠ＡＤＦ－∠ＡＤＣ
＝90°－48°＝42°
ひし形の４辺はすべて等しいから
ＡＤ＝ＤＣ
正方形の４辺はすべて等しいから
ＡＤ＝ＤＦ
ＤＣ＝ＤＦだから
△ＤＣＦは二等辺三角形である
底角は等しいから
∠ＤＣＦ＝∠ＤＦＣ
∠ＣＤＦ＝42°だから
∠ＤＦＣ＝（180°－42°）÷２＝69°
よって、
∠ＣＦＥ＝∠ＤＦＥ－∠ＤＦＣ
＝90°－69°
＝21°
問題
下の図で、△ＡＢＣは正三角形、四角形ＡＣＤＥは正方形、Ｆは線分ＡＣとＥＢとの交点である。このとき、∠ＥＦＣの大きさを求めなさい。
ＡＢ＝ＡＣ、ＡＥ＝ＡＣより
ＡＢ＝ＡＥ
よって、△ＡＢＥは二等辺三角形
△ＡＢＣは正三角形だから
∠ＢＡＣ＝60°
四角形ＡＣＤＥは正方形だから
∠ＥＡＣ＝90°
よって、
∠ＢＡＥ＝60°＋90°＝150°
∠ＡＢＥ＝（180°－150°）÷２＝15°
よって、
∠ＦＢＣ＝60°－15°＝45°
△ＦＢＣで内角と外角の関係より
∠ＥＦＣ＝∠ＦＢＣ＋∠ＦＣＢ
∠ＦＣＢ＝60°だから
∠ＥＦＣ＝45°＋60°＝105°
問題
下の図の△ＡＢＣはＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形である。辺ＡＢ上に点Ｄを、辺ＡＣ上に点Ｅを、ＢＤ＝ＣＥとなるようにとる。このとき、あとの問いに答えなさい。
1）△ＤＢＣと△ＥＣＢが合同になることを証明しなさい。
2）線分ＢＥ、ＣＤの交点をＦとし、点Ａと点Ｆを線分で結ぶ。ＡＤ：ＤＢ＝７：５のとき、次のア、イに答えなさい。
ア
△ＡＤＦの面積が14cm²のとき、△ＤＢＦの面積を求めなさい。
イ
ＢＦ：ＦＥを求め、最も簡単な整数の比で表しなさい。
1）
〔証明〕
△ＤＢＣと△ＥＣＢにおいて
仮定より
ＢＤ＝ＣＥ ①
共通な辺だから
ＢＣ＝ＣＢ ②
二等辺三角形の底角は等しいから
∠ＤＢＣ＝∠ＥＣＢ ③
①、②、③より
２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ＤＢＣ≡△ＥＣＢ
2）ア
△ＡＤＦと△ＤＢＦは高さが同じだから
底辺比が面積比になる
ＡＤ：ＤＢ＝７：５より
△ＡＤＦ：△ＤＢＦ＝７：５
ＡＤＦ＝14だから
14：△ＤＢＦ＝７：５
△ＤＢＦ＝10
よって、10cm²
2）イ
△ＤＢＣ≡△ＥＣＢより
ＤＢ＝ＥＣ ①
∠ＢＤＣ＝∠ＣＥＢ ②
∠ＤＣＢ＝∠ＥＢＣ
△ＤＢＦと△ＥＣＦにおいて
∠ＤＢＦ＝∠ＡＢＣ－∠ＥＢＣ
∠ＥＣＦ＝∠ＡＣＢ－∠ＤＣＢ
∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ、∠ＤＣＢ＝∠ＥＢＣだから
∠ＤＢＦ＝∠ＥＣＦ ③
①、②、③より
１組の辺とその両端の角が等しいので
△ＤＢＦ≡△ＥＣＦ
よって、
ＤＦ＝ＥＦ ④
△ＡＤＦと△ＡＥＦにおいて
ＡＢ＝ＡＣ、ＤＢ＝ＥＣより
ＡＤ＝ＡＥ ⑤
共通な辺だから、ＡＦ＝ＡＦ ➅
④、⑤、➅より
３組の辺がそれぞれ等しいので
△ＡＤＦ≡△ＡＥＦ
よって、
△ＡＥＦ＝△ＡＤＦ＝14cm²
△ＡＤＦ＝14、△ＤＢＦ＝10より
△ＡＢＦ＝14＋10＝24cm²
△ＡＢＦと△ＡＥＦは高さが同じだから
面積比が底辺比になる
△ＡＢＦ：△ＡＥＦ＝24：14＝12：７
よって、
ＢＥ：ＦＥ＝12：７
問題
先生から、△ＡＢＣの内側にあって３辺に接する円Ｏを作図してみましょうという課題が出された。図１は、ミユさんのノートの一部である。次の1）、2）に答えなさい。
1）図１でミユさんの考え方には間違っているところがある。□の部分を正しく書き換えなさい。
2）先生から、作図した図を使って問題を作成してくださいと指示された。図２は生徒が作成した問題の一部である。作成した【問題】について話している先生と生徒のやりとりを読んで、次のア～エに答えなさい。
先生
皆さんは、自分の作成した【問題】をどのように解くことを想定していますか。
ミユ
円の半径をｒcmとすると、△ＡＢＯ、△ＢＣＯ、△ＣＡＯの面積は、それぞれｒを使って表せます。この和が△ＡＢＣの面積になることから、ｒを求めることができます。
ケン
３辺の長さの和は２ｘ＋２ｙ＋２ｚ＝２（ｘ＋ｙ＋ｚ）（cm）だから、
ｘ＋ｙ＋ｚ＝□・・①と分かります。
また、辺ＢＣの長さからｙ＋ｚ＝９・・②なので、①－②でｘの値が求められます。
サキ
∠ＯＡＢ＝ａ°、∠ＯＢＣ＝ｂ°、∠ＯＣＡ＝ｃ°として、ケンさんの問題と同じように、ａ＋ｂ＋ｃの値とａ＋ｃの値から、ｂの値を求めます。答えはｂ°の２倍です。
ア
ミユさんの【問題】で、△ＡＢＯ＋△ＢＣＯ＋△ＣＡＯを、ｒを使って表しなさい。
イ
ミユさんの【問題】を解きなさい。
ウ
□にあてはまる数を書きなさい。
エ
サキさんの【問題】を解きなさい。
1）
角の二等分線
2）ア
円の接線の性質より
半径の線と接線は垂直になる
よって、
半径ｒはそれぞれの三角形の高さになる
△ＡＢＯの底辺はＡＢ＝８cm
（1/2）×８×ｒ＝４ｒcm²
△ＢＣＯの底辺はＢＣ＝10cm
（1/2）×10×ｒ＝５ｒcm²
△ＣＡＯの底辺はＣＡ＝６cm
（1/2）×６×ｒ＝３ｒcm²
よって、
△ＡＢＯ＋△ＢＣＯ＋△ＣＡＯ
＝４ｒ＋５ｒ＋３ｒ
＝12ｒ
2）イ
△ＡＢＣは∠Ａ＝90°だから
△ＡＢＣ＝（1/2）×６×８＝24cm²
1）より
12ｒ＝24 ｒ＝２
よって、２cm
3）ウ
周の長さは
８＋９＋７＝24cm
３辺の長さの和は２（ｘ＋ｙ＋ｚ）（cm）より
２（ｘ＋ｙ＋ｚ）＝24
両辺を２で割って
ｘ＋ｙ＋ｚ＝12
3）エ
中心Ｏと三角形の３つの頂点を結ぶ線は、それぞれ３つの角の二等分線だから
∠ＣＡＢ＝２ａ°
∠ＡＢＣ＝２ｂ°
∠ＢＣＡ＝２ｃ°
三角形の内角の和は180°だから
２ａ＋２ｂ＋２ｃ＝180
ａ＋ｂ＋ｃ＝90° ③
∠ＣＯＡ＝360°－125°－120°＝115°
△ＯＡＣにおいて
∠ＯＡＣ＝ａ°、∠ＯＣＡ＝ｃ°だから
ａ＋ｃ＋115＝180°
ａ＋ｃ＝65° ④
③に代入して
ｂ＋65°＝90° ｂ＝25°
∠ＡＢＣ＝２ｂ°だから
２×25°＝50°
2026年・青森県立高校入試
1）
〔証明〕
△ＢＦＥと△ＤＦＣにおいて
共通な角だから
∠ＢＦＥ＝∠ＤＦＣ ①
ＢＥ//ＤＣより、同位角は等しいから
∠ＢＥＦ＝∠ＤＣＦ ②
①、②より
２組の角がそれぞれ等しいので
△ＢＦＥ∽△ＤＦＣ
1）イ
△ＢＦＥ∽△ＤＦＣより
ＢＥ：ＤＣ＝ＦＢ：ＦＤ
ＦＤの比はＦＢ＋ＢＤ＝８、
ＤＣ＝ＡＢ＝６cmだから
ＢＥ：６＝１：８
ＢＥ：３＝１：４
ＢＥ＝3/4cm
2025年・青森県立高校入試
１）ア
〔証明〕
△ＡＦＥと△ＤＥＢにおいて
仮定より
∠ＦＡＥ＝∠ＥＤＢ＝90° ①
ＡＥ//ＢＤより、錯角は等しいから
∠ＡＥＦ＝∠ＤＢＥ ②
①、②より
２組の角がそれぞれ等しいので
△ＡＦＥ∽△ＤＥＢ
１）イ（ア）
ＡＣ＝６cmより、ＡＥ＝ＤＥ＝６cm
△ＡＦＥ∽△ＤＥＢより
対応する辺の比は等しいから
ＡＥ：ＤＢ＝ＡＦ：ＤＥ
６：９＝ＡＦ：６
２：３＝ＡＦ：６
ＡＦ＝４cm
１）イ（イ）
∠ＢＥＧ＝∠ＧＢＥだから、△ＧＢＥは二等辺三角形になる。
求めるＣＧの長さをｘcmとする。
ＢＣ
＝ＢＤ－ＣＤ
＝９－６＝3cm
ＢＧ
＝ＢＣ＋ＣＧ＝（３＋ｘ）cm
△ＥＧＤで、
ＥＧ＝ＢＧ＝（３＋ｘ）cm
ＧＤ
＝ＣＤーＣＧ
＝（６－ｘ）cm
三平方の定理より、
ＥＧ²＝ＧＤ²＋ＤＥ²
（３＋ｘ）²＝（６－ｘ）²＋６²
９＋６ｘ＋ｘ²＝36ー12ｘ＋ｘ²＋36
18ｘ＝63
ｘ＝7/2cm
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2026.10.16 三角形の性質