三角形の角度

たむかい学習教室
2025年12月2日
読了時間: 7分

三角形の角度

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

三角形の角度を求める問題では、三角形の外角を利用します。180度から内角を引くという考え方よりも、外角を隣り合わない内角どうしで足して求めるという考え方を利用します。180度から引くという手順が省けるため効率よく計算できるほか、不明な角が複数ある問題に役立ちます。

問題

次の図で、∠ｘの大きさを求めなさい。

1）　2）

1）

三角形の外角と内角の関係より

ｘ＋56°＝120°

ｘ＝64°

2）

２つの三角形の外角が同じだから

ｘ＋32°＝40°＋45°

ｘ＝53°

3）　4）

3）

対頂角ｘと52°の和が外角の118°

ｘ＋52°＝118°

ｘ＝66°

4）

底角の片側の角度を求める

180°－122°＝58°

三角形の外角と内角の関係より

ｘ＋58°＝105°

ｘ＝47°

5）　6）

5）

右側の三角形の外角は、

43°＋68°＝111°

左側の三角形の内角より

ｘ＋40°＋111°＝180°

ｘ＝29°

6）

下図より、

△ＡＢＣの内角と外角の関係より

∠ＡＣＤ＝35°＋46°＝81°

△ＥＣＤの内角と外角の関係より

ｘ＋∠ＡＣＤ＝∠ＡＥＤ

ｘ＋81°＝132°

ｘ＝51°

👉ブーメラン型の図形

∠ＡＥＤは、Ａ、Ｂ、Ｄの３つの頂点の和

問題

次の図で、ℓ//mのとき、∠ｘの大きさを求めなさい。

1）　2）

1）

ℓとmの同位角は等しい

ｘ＋40°＋75°＝180°

ｘ＝65°

2）

平行線の内側の隣り合う角の和は180°

40°と隣り合う角は、

180°－40°＝140°

対頂角も140°だから

三角形の内角と外角の関係より

ｘ＝140°＋15°

ｘ＝155°

3）　4）

3）

53°の錯角と、

直線mをはさむ105°の反対側の角の和

180°－105°＝75°

ｘ＝53°＋75°

ｘ＝128°

4）

下図より、

ℓとmに平行で、点Ａを通る直線をひく。

錯角の関係から

△ＢＣＤの外角は、55°

よって、

ｘ＋22°＝55°

ｘ＝33°

問題

次の図で、∠ｘの大きさを求めなさい。ただし、ℓ//mとする。

1）　2）

1）

上側の三角形の外角を求める

76°＋52°＝128°

三角形の内角と外角の関係より

（180°－ｘ）＋25°＝128°

ｘ＝77°

2）

ｘ＋75°＋28°＝120°

ｘ＝17°

※別解

180°－75°＝105°

105°－（ｘ＋28°）＋120°＝180°

ｘ＝17°

∠〇と∠□の和は、

180°から、75°と28°とｘ°をひいた角度

3）　4）

3）

左側の三角形の外角は、

41°＋33°＝74°

同位角は62°だから

下側の三角形の内角の和より

ｘ＋74°＋62°＝180°

ｘ＝44°

4）

下図より、

40°＋15°＝55°

平行線の内側の隣り合う角の和は180°だから

180°－120°＝60°

よって、

ｘ＝55°＋60°

ｘ＝115°

5）　6）

5）

下図より、

ℓとmに平行で、点Ａを通る直線をひく。

錯角の関係から

∠Ａの上側は、55°

隣り合う角は、180°－55°＝125°

△ＣＢＤの外角になるから

ｘ＋94°＝125°

ｘ＝31°

6）

下図より、

ℓとmに平行で、点ＡとＢを通る直線をひく。

130°の隣り合う角は、50°

錯角の関係から

∠Ａの下側は、80°－50°＝30°

∠Ｂの下側は、100°－30°＝70°

よって、

ｘ＝70°

問題

次の図で、∠ｘの大きさを求めなさい。

1）　2）

1）

下図より、ＤとＥを結ぶ直線をひく。

∠ＣＡＤ＝∠ＡＢＣ＋∠ＣＢＡ

＝50°＋30°

＝80°

∠ＡＤＥ＋∠ＡＥＤ＝∠ＣＡＤだから

∠ＡＤＥ＋∠ＡＥＤ＝80°

五角形の内角の和は540°だから

80°＋70°＋66°＋110°＋114°＋ｘ＝540°

ｘ＝100°

2）

ｘ＋30°＋58°＋45°＋23°＝180°

ｘ＝24°

👉スター型の図形

５つの頂点の和は、180°

問題

下の図で、同じ印の角の大きさは等しいものとする。このとき、∠ｘの大きさを求めなさい。

●＋〇＝180°－126°

　　　＝54°

ｘ＝180°－２×（●＋〇）

　＝180°－２×54°

　＝72°

多角形の角度

次の問いに答えなさい。

1）正十二角形の内角の和を求めなさい。

2）正十角形の１つの内角の大きさを求めなさい。

3）１つの外角の大きさが24°である正多角形は、正何角形であるか求めなさい。

1）

ｎ角形の内角の和は、

180°×（ｎ－２）より

180°×（12－２）＝1800°

よって、1800°

2）

正十角形の内角の和は、

180°×（10－２）＝1440°

正多角形の内角はすべて同じだから

1440°÷10＝144°

よって、144°

3）

多角形の外角の和は360°だから

角（頂点）の数は、

360°÷24°＝15

よって、正十五角形

4）内角の和が1620°である多角形は何角形か、求めなさい。

5）正ｎ角形の１つの外角が15°であるとき、ｎの値を求めなさい。

4）

180（ｎ－２）＝1620

両辺÷180

ｎ－２＝９

ｎ＝11

よって、十一角形

5）

ｎ＝360°÷15°＝24

よって、ｎ＝24

6）下の図で、∠ｘの大きさを求めなさい。

∠ｘの外角をｙとする

110°の外角は70°

五角形の内角の和は540°だから

ｙ＋70°＋90°＋85°＋65°＝540°

ｙ＝50°

ｘ＝180°－ｙだから

ｘ＝180°－50°

よって、

ｘ＝130°

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今年度塾生35名（2025年11月現在）

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苦手意識から「自信」へ

（中学３年）

　今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。

３年間の積み重ねで受験合格

（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

苦手の克服が高得点に

（高校１年）

　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。

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