- たむかい学習教室
- 6 日前
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三角形の角度 高校入試
当塾では「夏期講習」を実施しており、多くの塾生が受講しています。
この夏から受験生は入試対策を進めています。高校入試数学の三角形の角度を求める出題では、三角形の内角と外角の関係、平行線の錯角や同位角を利用します。以下では、これらの見方を養う対策問題を掲載しています。
問題
次の図の∠ｘの大きさを求めなさい。
下図
△ＡＤＥにおいて
∠ＡＥＤ＝180°－60°－84°＝36°
∠ＡＥＢ＝36°＋48°＝84°
∠ＡＥＢは△ＢＣＥの外角だから
ｘ＋60°＝84°
ｘ＝24°
問題
次の図の∠ｘ、∠ｙの大きさを求めなさい。
1）
下図
△ＡＢＣにおいて
ｙ＝180°－85°－36°＝59°
△ＡＢＤの外角∠ＡＤＣ＝102°だから
ｘ＋ｙ＝102°
ｙ＝59°より
ｘ＋59°＝102°
ｘ＝43°
よって、
ｘ＝43°、ｙ＝59°
2）
下図
△ＡＤＣの外角∠ＡＤＢ＝ｘ°だから
ｘ＝30°＋50°＝80°
△ＢＤＥの外角ＡＥＢ＝ｙ°だから
ｙ＝ｘ＋15°
ｘ＝80°より
ｙ＝80°＋15°＝95°
よって、
ｘ＝80°、ｙ＝95°
問題
次の図の∠ｘの大きさを求めなさい。
1）
下図
向かい合う三角形はともに外角が等しい
△ＡＢＣの外角
∠ＡＣＤ＝60°＋35°＝95°
△ＤＣＥの外角
∠ＡＣＤ＝ｘ＋45°
ｘ＋45°＝95°
ｘ＝50°
👉チョウチョ型
両端の角の和どうしが等しい
ｘ＋45°＝60°＋35°
2）
下図
辺ＢＤの延長線とＡＣの交点をＥとする
△ＣＤＥの外角∠ＣＤＢ＝118°だから
∠ＣＥＤ＋41°＝118°
∠ＣＥＤ＝77°
∠ＣＥＤは△ＡＢＥの外角だから
ｘ＋25°＝77°
ｘ＝52°
👉ブーメラン型
３つの内角の和が外側の角の大きさになる
ｘ＋25°＋41°＝118°
問題
次の図の∠ｘの大きさを求めなさい。
1）
多角形の外角の和が360°を利用する
下図
∠Ｃの外角∠ＢＣＦ＝180°－130°＝50°
∠Ｂの外角∠ＣＢＦ
360°－（50°＋70°＋76°＋80°）
＝360°－276°
＝84°
ｘ＝180°－∠ＣＢＦ
＝180°－84°
＝96°
2）
下図
左側の五角形の∠Ｂを求める
五角形の内角の和
180°×（５－２）＝540°
∠Ｂ＝540°－（115°＋113°＋108°＋132°）
＝540°－468°
＝72°
四角形ＡＢＣＤの∠Ｂ、∠Ａ、∠Ｄの外角は
72°、138°、45°だから
∠Ｃの外角は
360°－（72°＋138°＋45°）
＝360°－255°
＝105°
内角がｘだから
ｘ＝180°－105°＝75°
3）
下図
辺ＣＥの延長線とＡＤの交点をＦとする
△ＤＥＦの外角∠ＤＥＣ＝102°だから
∠ＤＦＥ＝102°－41°＝61°
∠ＡＦＥ＝180°－61°＝119°
四角形ＡＢＣＦの内角の和360°より
ｘ＝360°－（119°＋107°＋86°）
＝360°－312°
＝48°
※別解
線分ＣＤをひく
∠ＥＣＤ＋∠ＥＤＣ
＝180°－102°＝78°
四角形ＡＢＣＤの内角の和360°より
78°＋41°＋ｘ＋107°＋86°＝360°
ｘ＝360°－312°＝48°
4）
下図
∠ＣＦＤ＝ｘ＋25°＋31°
＝ｘ＋56° 👈ブーメラン型
対頂角は等しいから
∠ＢＦＥ＝ｘ＋56°
△ＢＥＦの内角の和180°より
ｘ＋56°＋41°＋48°＝180°
ｘ＝180°－145°＝35°
👉スター型
５つの頂点の角の和は180°になる
ｘ＋41°＋25°＋48°＋31°＝180°
問題
次のような正多角形は、正何角形であるか答えなさい。
1）１つの内角の大きさが160°である正多角形
2）１つの内角の大きさが、その外角の大きさの５倍である正多角形
3）１つの内角の大きさが、その外角の大きさより90°大きい正多角形
1）
１つの内角が160°だから
外角は、180°－160°＝20°
正多角形の外角の和は360°だから
360°÷20°＝18
よって、正十八角形
※別解
180（ｎ－２）/ｎ＝160
両辺×ｎ
180（ｎ－２）＝160ｎ
両辺÷20
９（ｎ－２）＝８ｎ
９ｎ－18＝８ｎ
ｎ＝18
よって、正十八角形
2）
外角をｘ°とすると、内角は５ｘ°
あわせて180°だから
ｘ＋５ｘ＝180°
６ｘ＝180° ｘ＝30°
正多角形の外角の和は360°だから
360°÷30°＝12
よって、正十二角形
※別解
外角をｘ°とすると、内角は５ｘ°
あわせて180°だから
ｘ＋５ｘ＝180°
６ｘ＝180° ｘ＝30°
よって、内角は150°
180（ｎ－２）/ｎ＝150
180（ｎ－２）＝150ｎ
両辺÷30
６ｎ－12＝５ｎ
ｎ＝12
よって、正十二角形
3）
外角をｘ°、内角はｘ°＋90°
あわせて180°だから
ｘ＋ｘ＋90°＝180°
２ｘ＝90° ｘ＝45°
正多角形の外角の和は360°だから
360°÷45°＝８
よって、正八角形
※別解
外角をｘ°、内角はｘ°＋90°
あわせて180°だから
ｘ＋ｘ＋90°＝180°
２ｘ＝90° ｘ＝45°
よって、内角は135°
180（ｎ－２）/ｎ＝135
180（ｎ－２）＝135ｎ
両辺÷45
４ｎ－８＝３ｎ
ｎ＝８
よって、正八角形
問題
次の図でℓ//mのとき、∠ｘの大きさを求めなさい。
1）
下図
ℓ、mに平行な線分ＣＤをひく
平行線の内側の隣り合う角の和は180°だから
59°＋∠ＡＤＣ＝180°
∠ＡＤＣ＝121°
錯角だから ∠ＢＤＣ＝125°
よって、
ｘ＝∠ＡＤＣ＋∠ＢＤＣ
＝121°＋125°
＝246°
2）
下図
ℓ、mに平行な線分ＣＥをひく
錯角だから ∠ＡＤＣ＝ｘ°
平行線の内側の隣り合う角の和は180°だから
∠ＢＤＣ＝180°－141°＝39°
∠ＡＤＣ＋∠ＢＤＣ＝∠ＡＤＢ
ｘ＋39°＝135°
ｘ＝96°
3）
下図
ℓ、mに平行な直線ＣＤ、ＥＦをひく
錯角だから ∠ＢＦＥ＝45°
∠ＣＦＥ＝80°－45°＝35°
錯角だから ∠ＤＣＦ＝35°
錯角だから ∠ＡＣＤ＝20°
ｘ＝∠ＤＣＦ＋∠ＡＣＤ
＝35°＋20°
＝55°
4）
下図
ℓ、mに平行な直線ＢＣ、ＤＥをひく
平行線の内側の隣り合う角の和は180°だから
∠ＤＥＦ＝180°－115°＝65°
∠ＢＥＤ＝78°－65°＝13°
錯角だから ∠ＣＢＥ＝13°
平行線の内側の隣り合う角の和は180°だから
∠ＡＢＣ＝180°－96°＝84°
ｘ＝∠ＣＢＥ＋∠ＡＢＣ
＝13°＋84°
＝97°
問題
次の図でℓ//mのとき、∠ｘの大きさを求めなさい。
1）
下図
線分ＢＦの延長線とℓとの交点をＣとする
錯角だから ∠ＤＣＢ＝39°
△ＣＤＥの外角は127°だから
∠ＣＥＤ＝127°－39°＝88°
△ＥＦＧの外角は88°だから
ｘ＋38°＝88°
ｘ＝50°
2）
下図
平行線の同位角だから
∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＥ＝45°
∠ＣＢＦ＝45°＋37°＝82°
△ＢＦＧの外角が∠ＣＢＦ＝82°だから
ｘ＋34°＝82°
ｘ＝48°
3）
下図
ℓ、mに平行な直線ＤＥをひく
△ＡＢＣの外角は110°だから
∠ＡＣＢ＝110°－47°＝63°
平行線の同位角だから
∠ＣＥＤ＝∠ＡＣＢ＝63°
錯角だから ∠ＤＥＦ＝25°
ｘ＝∠ＣＥＤ＋∠ＤＥＦ
＝63°＋25°
＝88°
問題
下の図の五角形ＡＢＣＤＥは正五角形である。ℓ//mのとき、∠ｘの大きさを求めなさい。
下図
正五角形だから１つの内角は
180（５－２）÷５＝108°
∠ＣＢＦ＝108°－10°＝98°
平行線の内側の隣り合う角の和は180°だから
∠ＧＣＢ＝180°－98°＝82°
∠ＤＣＧ＝108°－82°＝26°
錯角だから ∠ＣＤＨ＝26°
∠ＣＤＨ＝ｘ＝26°
問題
下の図のように、長方形の紙ＡＢＣＤを、∠ＥＦＣ＝125°となる線分ＥＦを折り目として折り返す。点Ｃ、Ｄが移動した点をそれぞれＣ’、Ｄ’とし、線分ＢＦと線分Ｄ’Ｅの交点をＧとするとき、∠ＢＧＤ’の大きさを求めなさい。
台形ＣＤＥＦと台形Ｃ’Ｄ’ＥＦは合同だから
∠Ｄ’ＥＦ＝∠ＤＥＦ
平行線の内側の隣り合う角の和は180°だから
∠ＤＥＦ＝180°－125°＝55°
よって、
∠Ｄ’ＥＦ＝55°
∠ＡＥＧ＝180°－55°－55°＝70°
同位角は等しいから
∠ＢＧＤ’＝70°
※別解
台形ＣＤＥＦと台形Ｃ’Ｄ’ＥＦは合同だから
∠Ｄ’ＥＦ＝∠ＤＥＦ
平行線の内側の隣り合う角の和は180°だから
∠ＤＥＦ＝180°－125°＝55°
よって、
∠Ｄ’ＥＦ＝55°
△ＥＦＧの外角∠ＣＦＥ＝125°だから
∠ＥＧＦ＝125°－55°＝70°
対頂角は等しいから
∠ＢＧＤ’＝70°
問題
下の図において、∠ｘの大きさを求めなさい。ただし、∠ＡＣＤ＝∠ＤＣＢ、∠ＡＢＤ＝∠ＤＢＥとする。
△ＡＢＣで内角と外角の関係より
●＋●＋70°＝〇＋〇
●＋35°＝〇
●＝〇－35°
△ＤＣＢで内角と外角の関係より
ｘ＋●＝〇
ｘ＋〇－35°＝〇
よって、ｘ＝35°
2025年・青森県立高校入試
6）∠ｘの大きさ
下図の通り、半直線ＢＦをひく
ＢＤ＝ＢＥ、ＦＤ⊥ＡＢ、ＦＥ⊥ＢＣより
半直線ＢＦは、辺ＡＣの垂直二等分線
よって、△ＦＡＣは二等辺三角形
△ＦＣＥの内角と外角の関係より
∠ＣＦＥ＝∠ＢＥＦ－∠ＥＣＦ
∠ＣＦＥ＝90°ー44°＝46°
△ＦＡＣの内角と外角の関係より
∠ＦＡＣ＋∠ＦＣＡ＝∠ＣＦＥ
ｘ＋ｘ＝46°
ｘ＝23°
2026年・青森県立高校入試
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塾生の声
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分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。
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入試で大幅アップ！
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英語と数学は
これからもこの塾で！
苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。
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入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。
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中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。
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