二次方程式辺の長さ

たむかい学習教室
10月10日
読了時間: 8分

二次方程式辺の長さ

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

二次方程式の応用では、図形の面積や体積から辺の長さを求める問題があります。方程式から出る２つの解が問題に合っているかを確認することも必要で、解が√のついた無理数で出てくる場合には、近似値をもとに判断します。

辺の長さの利用

問題

横が縦より４cm長い長方形の厚紙がある。同じ材質の厚紙で３cm幅の切れ端があったので、２等分してもとの厚紙に貼り足し、ふたのない箱をつくると、厚紙が余ることなく箱をつくることができ、その容積は168cm³になった。はじめの厚紙の縦の長さを求めなさい。

厚紙の縦の長さをｘcmとすると、

横の長さは（ｘ＋４）cmになる。

切れ端の幅３cmは、折り目より上側と下側の縦の長さとそれぞれ同じだから、直方体（箱）の縦の長さは、

ｘ－３×２

＝ｘ－６（cm）

直方体の横の長さは、はじめの厚紙と同じだから、ｘ＋４（cm）

直方体の高さは、切れ端の幅と同じだから、３cm

直方体の容積が168cm³だから

３（ｘ－６）（ｘ＋４）＝168

両辺÷３

ｘ²－２ｘ－24＝56

ｘ²－２ｘ－80＝０

（ｘ－10）（ｘ＋８）＝０

ｘ＝10，－８

ｘ＞６より、ｘ＝10

よって、10cm

問題

ＡＢ＝20cm、ＢＣ＝20cm、∠Ｂ＝90°の直角二等辺三角形がある。点Ｐは、辺ＡＢ上を毎秒１cmの速さでＡからＢまで動き、点Ｑは、辺ＢＣ上を同じ速さでＢからＣまで動く。Ｐ、Ｑが同時に出発するとき、あとの問いに答えなさい。

1）ｘ秒後のＰＢの長さをｘを使って表しなさい。

2）ｘ秒後に△ＰＢＱ＝42cm²になった。このときのｘの値を求めなさい。

1）

速さ×時間＝距離（長さ）

毎秒１cmの速さで動く点Ｐがｘ秒間に進む長さは、

１×ｘ＝ｘcm

点ＰはＡを出発するから

ＡＰ＝ｘcm

ＰＢ＝ＡＢ－ＡＰだから

ＰＢ＝20－ｘ（cm）

2）

点ＱはＰと同じ速さで進むから

ＢＱ＝ｘ（cm）

△ＰＢＱの面積は42cm²だから

（1/2）×ＢＱ×ＰＢ＝42

（1/2）×ｘ×（20－ｘ）＝42

両辺×２

ｘ（20－ｘ）＝84

20ｘ－ｘ²－84＝０

ｘ²－20ｘ＋84＝０

（ｘ－６）（ｘ－14）＝０

ｘ＝６，14

０≦ｘ≦20より

求めるｘの値は、６，14

※

２点が同時に出発してから６秒後と14秒後に、△ＰＢＱ＝42cm²になる。

問題

ある公園に正方形の花だんがある。この花だんのまわりに幅１mの道をつくると、道の面積は花だんの面積のちょうど半分になった。花だんの正方形の１辺の長さを求めなさい。

花だんの１辺の長さをｘcmとする

道の面積は、

４すみの正方形と、

正方形にはさまれる長方形４つ分だから

（１×１）×４＋（１×ｘ）×４

＝４ｘ＋４

道の面積は花だんの半分だから

４ｘ＋４＝ｘ²×（1/2）

両辺×２

８ｘ＋８＝ｘ²

ｘ²－８ｘ－８＝０

解の公式（ｂ偶数）より

ｘ＝４±√16－１×（－８）

　＝４±２√６

２＜√６＜３より

ｘ＝４－２√６＜０で問題に合わない

よって、

４＋２√６（cm）

その他の応用問題

問題

二次方程式ｘ²＋６ｘ＋４＝０を平方完成を利用して解きなさい。

ｘの２次と１次の項がある場合は、

平方完成を利用して解くことができる。

ｘ²：２次　ｘ：１次

ｘ²＋６ｘ

＝（ｘ＋３）²－９

１次の係数を半分にし、

半分にした数の２乗を引く。

（ｘ＋３）²－９

＝ｘ²＋６ｘ＋９－９

＝ｘ²＋６ｘ

ｘ²＋６ｘ＋４＝０

（ｘ＋３）²－９＋４＝０

（ｘ＋３）²＝５

ｘ＋３＝±√５

ｘ＝－３±√５

問題

二次方程式ｘ²＋ａｘ－15＝０の１つの解は３である。このとき、ａの値ともう１つの解をそれぞれ求めなさい。

１つの解は３

👉ｘ＝３，□

（□：もう１つの解）

式にｘ＝３を代入

３²＋ａ×３－15＝０

３ａ＝６

ａ＝２

式にａ＝２を代入

ｘ²＋２×ｘ－15＝０

ｘ²＋２ｘ－15＝０

（ｘ－３）（ｘ＋５）＝０

ｘ＝３，－５

ａの値　２

もう１つの解　－５

問題

二次方程式ｘ²＋ａｘ＋ｂ＝０の解が３と４のとき、ａとｂの値をそれぞれ求めなさい。

２つの解を代入して、

ａとｂの連立方程式で解く。

ｘ＝３を代入

３²＋３ａ＋ｂ＝０

３ａ＋ｂ＝－９　①

ｘ＝４を代入

４²＋４ａ＋ｂ＝０

４ａ＋ｂ＝－16　②

①－②

　　３ａ＋ｂ＝－９

－）４ａ＋ｂ＝－16

　　　　　ａ＝－７

①に代入

－21＋ｂ＝－９

ｂ＝12

よって、

ａ＝－７、ｂ＝12

問題

連続する３つの自然数において、小さいほうの２つの数の積が３つの数の和に等しくなった。このときの３つの自然数を求めなさい。

最小の自然数をｘとすると、

他の２数は、ｘ＋１、ｘ＋２

よって、

ｘ（ｘ＋１）＝ｘ＋（ｘ＋１）＋（ｘ＋２）

ｘ²＋ｘ＝３ｘ＋３

ｘ²－２ｘ－３＝０

（ｘ－３）（ｘ＋１）＝０

ｘ＝３，－１

ｘは自然数だから、ｘ＝３

よって、連続する３つの自然数は、

３，４，５

問題

下の図のように、同じ大きさの白いタイルと黒いタイルをすき間なく規則的に並べて図形をつくっていく。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）ｎ番目の図形について、白いタイルと黒いタイルの枚数を、それぞれｎを使った式で表しなさい。

2）白いタイルの枚数が、黒いタイルの枚数より92枚多くなるのは何番目の図形か、求めなさい。

1）

白タイルの場合

１番目　１枚

２番目　４枚

３番目　９枚　だから

ｎ番目は、ｎ²枚

黒タイルの場合

（全部の枚数）－（白の枚数）

１番目　３²－１²

２番目　４²－２²

３番目　５²－３²　だから

ｎ番目は、

（ｎ＋２）²－ｎ²

＝ｎ²＋４ｎ＋４－ｎ²

＝４ｎ＋４

よって、

白の枚数　ｎ²

黒の枚数　４ｎ＋４

2）

（白の枚数）＝（黒の枚数）＋92

ｎ²＝（４ｎ＋４）＋92

ｎ²－４ｎ－96＝０

（ｎ－12）（ｎ＋８）＝０

ｎ＝12，－８

ｎ≧１より、ｎ＝12

よって、12番目

２次方程式の解き方

👉平方完成

👉解の公式

👉因数分解

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