二次方程式 高校入試対策②
二次方程式は解が２つ出てくる方程式で、そのしくみを利用した応用問題があります。因数分解やルートの計算など、これまでに学習したことも使います。
問題
直線ℓの式はｙ＝ｘ＋５である。ℓ上の点Ｐからｘ軸にひいた垂線とｘ軸との交点をＱ、ｙ軸との交点をＲとする。台形ＰＲＯＱの面積が72cm²のとき、点Ｐのｘ座標を求めなさい。ただし、点Ｐのｘ座標は正で、座標の１目もりは１cmとする。
点Ｐのｘ座標をｔとする（ｔ＞０）
ｙ＝ｘ＋５上にあるから
ｙ座標は、ｔ＋５
点Ｑのｙ座標は０だから
ＰＱ＝ｔ＋５－０＝ｔ＋５cm
点Ｒはｙ＝ｘ＋５の切片でｙ座標は５だから
ＲＯ＝５－０＝５
これらを上底と下底にすると、高さはＯＱ
点Ｑのｘ座標はＰと同じｔだから
ＯＱ＝ｔ－０＝ｔ
よって、
（1/2）（ｔ＋５＋５）×ｔ＝72
（ｔ＋10）ｔ＝144
ｔ²＋10ｔ－144＝０
（ｔ＋18）（ｔ－８）＝０
ｔ＞０だから
ｔ＝８
よって、８
問題
２直線ｙ＝２ｘ・・①、ｙ＝－ｘ＋ａ・・②が、点Ｐ（２，４）で交わっている。直線②とｘ軸との交点をＡ、線分ＡＰ上の点Ｑを通りｙ軸に平行な直線がｘ軸、直線①と交わる点をそれぞれＲ、Ｓとして、あとの問いに答えなさい。
1）ａの値を求めなさい。
2）点Ｑのｘ座標をｍとして
ア
△ＯＲＳの面積をｍを使って表しなさい。
イ
△ＡＱＲの面積をｍを使って表しなさい。
ウ
△ＯＲＳ：△ＡＱＲ＝８：１となるときの点Ｑの座標を求めなさい。
1）
ｙ＝－ｘ＋ａは（２，４）を通るから
４＝－２＋ａ
ａ＝６
2）ア
点Ｒを通る直線はｙ軸に平行だから
∠ＯＲＳ＝90°
△ＯＲＳの底辺をＯＲ、高さをＳＲとする
点Ｒのｘ座標はＱと同じｍだから
ＯＲ＝ｍ－０＝ｍ
点Ｓのｘ座標はＱと同じｍで、ｙ＝２ｘ上にあるから、ｙ座標は２ｍ
点Ｒのｙ座標は０だから
ＳＲ＝２ｍ－０＝２ｍ
よって、
（1/2）×ｍ×２ｍ
＝ｍ²
2）イ
∠ＡＲＱ＝90°だから
△ＡＱＲの底辺をＲＡ、高さをＱＲとする
点Ａはｙ＝－ｘ＋６上にあり、ｙ＝０だから
０＝－ｘ＋６ ｘ＝６
点Ａのｘ座標は６で、点Ｒのｘ座標はｍだから
ＲＡ＝６－ｍ
点Ｑはｙ＝－ｘ＋６上にあり、ｘ＝ｍだから
ｙ＝－ｍ＋６
点Ｑのｙ座標は－ｍ＋６で、点Ｒのｙ座標は０だから
ＱＲ＝－ｍ＋６－０＝－ｍ＋６
よって、
（1/2）（６－ｍ）（－ｍ＋６）
＝（1/2）（６－ｍ）²
2）ウ
△ＯＲＳ＝ｍ²
△ＡＱＲ＝（1/2）（６－ｍ）²
△ＯＲＳ：△ＡＱＲ＝８：１より
ｍ²：（1/2）（６－ｍ）²＝８：１
４（６－ｍ）²＝ｍ²
４（36－12ｍ＋ｍ²）＝ｍ²
144－48ｍ＋４ｍ²＝ｍ²
３ｍ²－48ｍ＋144＝０
ｍ²－16ｍ＋48＝０
（ｍ－４）（ｍ－12）＝０
ｍ＝４，12
Ｑ（ｍ，－ｍ＋６）だから
ｍ＝４のとき、（４，２）
ｍ＝12のとき、（12，－６）
点Ｑは線分ＡＰ上の点だから
ｍは２＜ｘ＜６の範囲にある
よって、（４，２）
問題
２次方程式ｘ²－ａｘ＋ｂ＝０の解の１つが１＋√５のとき、有理数ａ、ｂの値を求めなさい。
ｘ＝１＋√５より
ｘ－１＝√５
両辺を２乗して
ｘ²－２ｘ＋１＝５
ｘ²－２ｘ－４＝０
係数を比較して
ａ＝２、ｂ＝－４
👉もう１つの解ｘ＝１－√５から考えても同じ結果になる
問題
２次方程式ｘ²－９ｘ＋ａ＝０の１つの解がｘ＝－２で、他のもう１つの解がｘ²－２ｂｘ－（２ｂ＋１）＝０の解になっているとき、ａ、ｂの値を求めなさい。
ｘ²－９ｘ＋ａ＝０にｘ＝－２を代入
４＋18＋ａ＝０
ａ＝－22
ｘ²－９ｘ＋ａ＝０にａ＝－22を代入
ｘ²－９ｘ－22＝０
（ｘ－11）（ｘ＋２）＝０
ｘ＝11，－２
よって、もう１つの解は11
ｘ²－２ｂｘ－（２ｂ＋１）＝０にｘ＝11を代入
121－22ｂ－２ｂ－１＝０
－24ｂ＝－120
ｂ＝５
したがって、
ａ＝－22、ｂ＝５
問題
ｘについての２次方程式
（３ａ－２）ｘ²＋（ａ²－６）ｘ＋６＝０の１つの解は３である。ａ＞０とするとき、ａの値を求めなさい。また、そのときの３以外の解を求めなさい。
方程式にｘ＝３を代入
27ａ－18＋３ａ²－18＋６＝０
３ａ²＋27ａ－30＝０
ａ²＋９ａ－10＝０
（ａ＋10）（ａ－１）＝０
ａ＝－10，１
ａ＞０だから、ａ＝１
方程式にａ＝１を代入
ｘ²－５ｘ＋６＝０
（ｘ－２）（ｘ－３）＝０
ｘ＝２，３
よって、３以外の解は２
問題
２次方程式ｘ²－２ｘ－１＝０の負の解をａとするとき、ａ³－２ａ²＋ａ＋１の値を求めなさい。
解の公式より
ｘ＝１±√２
負の解がａ、√２＝1.4...だから
ａ＝１－√２
ａ³－２ａ²＋ａ＋１
＝ａ（ａ²－２ａ＋１）＋１
＝ａ（ａ－１）²＋１
＝（１－√２）×（－√２）²＋１
＝２－２√２＋１
＝３－２√２
2025年・青森県立高校入試
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