二次方程式 高校入試対策⑤
二次方程式は解が２つ出てくる方程式で、そのしくみを利用した応用問題があります。因数分解やルートの計算など、これまでに学習したことも使います。
問題
大小２つの整数がある。その差は５で、積は84になる。これについて、小さいほうの整数をｘとして、次の問いに答えなさい。
1）大きいほうの整数をｘを使って表しなさい。
2）ｘについての方程式をつくりなさい。
3）2）でつくった方程式を解いて、この２つの整数を求めなさい。
1）
小さいほうより５大きいから
ｘ＋５
2）
大小の積は84だから
ｘ（ｘ＋５）＝84
3）
ｘ（ｘ＋５）＝84
ｘ²＋５ｘ－84＝０
（ｘ＋12）（ｘ－７）＝０
ｘ＝－12，７
２つの数は整数だからどちらも適する
ｘ＝－12のとき
小 －12、大 －７
ｘ＝７のとき
小 ７、大 12
よって、
－12と－７、７と12
問題
下の図のような正方形ＡＢＣＤで、点ＰはＡを出発して辺ＡＤ上をＤまで動く。また、点Ｑは、点ＰがＡを出発するのと同時にＤを出発し、Ｐと同じ速さで辺ＤＣ上をＣまで動く。あとの問いに答えなさい。
1）ＡＰ＝ｘcmとするとき、ＰＤ、ＤＱの長さをｘを使って表しなさい。
2）点ＰがＡから何cm動いたとき、△ＰＱＤの面積が10cm²になるますか。
1）
ＰＤ＝ＡＤ－ＡＰより
ＰＤ＝10－ｘ cm
点ＱはＰと同じ速さだから
ＤＱ＝ｘcm
2）
∠Ｄ＝90°だから
△ＰＱＤ＝（1/2）×ＤＱ×ＰＤ
△ＰＱＤ＝10だから
（1/2）ｘ（10－ｘ）＝10
ｘ（10－ｘ）＝20
10ｘ－ｘ²－20＝０
ｘ²－10ｘ＋20＝０
解の偶数公式より
ｘ＝５±√（25－20）
＝５±√５
０≦ｘ≦10より、どちらの解も適する。
よって、
５＋√５cm、５－√５cm
※
√４＜√５＜√９より、２＜√５＜３
√５の整数部分は２
問題
ある正の数ｘがある。ｘの２乗から12をひいた数は、ｘに６を加えて２倍した数に等しい。このとき、ｘの値を求めなさい。
ｘ²－12＝（ｘ＋６）×２
ｘ²－12＝２ｘ＋12
ｘ²－２ｘ－24＝０
（ｘ－６）（ｘ＋４）＝０
ｘ＝６，－４
ｘは正の数だから、ｘ＝６
問題
下の図のように、ＡＢ＝ｘcm、ＡＤ＝２ｘcmの長方形ＡＢＣＤの厚紙がある。この厚紙の４すみから１辺の長さが２cmの正方形を切り取り、折り曲げて直方体の容器をつくる。この直方体の容積が96cm³になるときのｘの値を求めなさい。
直方体の底面の縦
ＡＢから２×２cmをひいた長さだから
（ｘ－４）cm
直方体の底面の横
ＡＤから２×２cmをひいた長さだから
（２ｘ－４）cm
直方体の高さ
折り曲げたとき正方形の１辺が高さになるから２cm
容積は96cm³だから
２（ｘ－４）（２ｘ－４）＝96
４（ｘ－４）（ｘ－２）＝96
（ｘ－４）（ｘ－２）＝24
ｘ²－６ｘ＋８－24＝０
ｘ²－６ｘ－16＝０
（ｘ－８）（ｘ＋２）＝０
ｘ＞４だから
ｘ＝８
👉方程式は「作業効率」を学ぶ学習
２（ｘ－４）（２ｘ－４）＝96
共通因数の２でくくる
２（ｘ－４）×２（ｘ－２）＝96
４（ｘ－４）（ｘ－２）＝96
両辺÷４
（ｘ－４）（ｘ－２）＝24
問題
下の図で、点Ｐはｙ＝２ｘ＋４のグラフ上の点で、そのｘ座標は正である。点ＡはＰＯ＝ＰＡとなるｘ軸上の点である。△ＰＯＡの面積が48cm²であるとき、点Ｐの座標を求めなさい。ただし、座標の１目もりを１cmとする。
△ＰＯＡは二等辺三角形
Ｐからｘ軸への垂線をＰＨとする
△ＰＯＨと△ＰＡＨにおいて
∠ＰＨＯ＝∠ＰＨＡ＝90°
ＰＯ＝ＰＡ（斜辺が等しい）
二等辺三角形の底角は等しいから
∠ＰＯＨ＝∠ＰＡＨ
直角三角形の斜辺と１つの鋭角が等しいから
△ＰＯＨ≡△ＰＡＨ
よって、
ＯＨ＝ＡＨ
点Ｐをｘ＝ｔとすると、点Ｈもｘ＝ｔ
ＯＨ＝ＡＨ＝ｔcmだから
ＯＡ＝２ｔcm
点Ｐはｙ＝２ｘ＋４上にあり、ｘ＝ｔだから
ｙ＝２ｔ＋４
よって、
ＰＨ＝（２ｔ＋４）－０
＝２ｔ＋４ cm
△ＰＯＡ＝（1/2）×ＯＡ×ＰＨ
△ＰＯＡ＝48だから
（1/2）×２ｔ×（２ｔ＋４）＝48
２ｔ（ｔ＋２）＝48
ｔ（ｔ＋２）＝24
ｔ²＋２ｔ－24＝０
（ｔ＋６）（ｔ－４）＝０
ｔ＞０より、ｔ＝４
よって、
点Ｐのｘ座標は４
ｙ座標を２ｔ＋４としたから、ｙ座標は12
したがって、求める座標は
（４，12）
問題
下の図で、１段目は、連続する自然数が小さい順に並んでいる。２段目は、１段目の数をもとに、ある規則にしたがって数が並んでいる。３段目は、２段目の数をもとに、別の規則にしたがって数が並んでいる。このとき、ｎの値を求めなさい。
２段目の規則
１段目の隣り合う数の積
よって、
隣り合う２数はｎを用いて
ｎ（ｎ－１）、ｎ（ｎ＋１）
３段目の規則
２段目の隣り合う数の和
よって、
ｎ（ｎ－１）＋ｎ（ｎ＋１）＝392
ｎ｛（ｎ－１）＋（ｎ＋１）｝＝392
ｎ×２ｎ＝392
ｎ²＝196
ｎは２以上の自然数だから
ｎ＝14
高校数学に入ると、「文字を含んだ２次関数」や「文字による場合分け」が当たり前のように登場します。上の設問のｔへの置き換えのように、中学時代から「文字を数字と同等に扱う感覚」を血肉化させておくことは、高校進学後にスタートダッシュを決める最強の武器になります。
2025年・青森県立高校入試
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2026.10.3 二次方程式 高校入試対策⑤