二次方程式 高校入試対策13
二次方程式は解が２つ出てくる方程式で、そのしくみを利用した応用問題があります。因数分解やルートの計算など、これまでに学習したことも使います。
問題
次の①～④の方程式について、２次方程式であるものをすべて選びなさい。
① ｘ²＝２
② ｘ²－３ｘ＝ｘ²－６
③ （ｘ－２）²－４＝０
④ ｘ（ｘ＋３）＝２＋２ｘ²
②
ｘ²－３ｘ＝ｘ²－６
－３ｘ＝－６
１次方程式になる
①③④はｘの２次式になるから２次方程式
問題
次の２次方程式を解きなさい。
1）３ｘ²－２ｘ＝４ｘ
2）（ｘ－２）（ｘ＋３）＝３ｘ＋２
1）
３ｘ²－２ｘ＝４ｘ
３ｘ²－６ｘ＝０
ｘ²－２ｘ＝０
ｘ（ｘ－２）＝０
ｘ＝０，２
2）
（ｘ－２）（ｘ＋３）＝３ｘ＋２
ｘ²＋ｘ－６＝３ｘ＋２
ｘ²－２ｘ－８＝０
（ｘ－４）（ｘ＋２）＝０
ｘ＝４，－２
問題
ポチとタマの年齢を求めたい。ポチよりタマのほうが１歳年上で、それぞれの年齢を２乗した数の和は61である。ポチとタマの年齢をそれぞれ求めなさい。
ポチの年齢をｘとすると、タマは（ｘ＋１）
ｘ²＋（ｘ＋１）²＝61
ｘ²＋ｘ²＋２ｘ＋１＝61
２ｘ²＋２ｘ－60＝０
ｘ²＋ｘ－30＝０
（ｘ＋６）（ｘ－５）＝０
ｘ＝－６，５
ｘは０以上の整数だから、ｘ＝５
よって、
ポチ ５歳
タマ ６歳
問題
大小２つの自然数がある。その差は６で、小さいほうの数を２乗した数は、大きいほうの数の２倍に３を加えた数に等しくなる。この大小２つの自然数を求めなさい。
大きい数をｘとすると、小さい数は（ｘ－６）
（ｘ－６）²＝２ｘ＋３
ｘ²－12ｘ＋36＝２ｘ＋３
ｘ²－14ｘ＋33＝０
（ｘ－３）（ｘ－11）＝０
ｘ＝３，11
ｘ＝３のとき
小さい数は３－６＝－３となり不適
よって、ｘ＝11
したがって、
大きい数 11
小さい数 ５
問題
横が縦より４cm長いボール紙がある。この４すみから、下の図のように１辺が５cmの正方形を切り取り、ふたのない直方体の箱をつくると、容積は480cm³になった。ボール紙の縦の長さを求めなさい。
ボール紙の縦をｘcmとすると、横は（ｘ＋４）cm
直方体の縦
ｘ－５×２＝ｘ－10 cm
直方体の横
（ｘ＋４）－５×２＝ｘ－６ cm
直方体の高さは正方形の１辺の５cm
よって、
５（ｘ－10）（ｘ－６）＝480
（ｘ－10）（ｘ－６）＝96
（ｘ－10）（ｘ－６）＝96
ｘ²－16ｘ＋60－96＝０
ｘ²－16ｘ－36＝０
（ｘ＋２）（ｘ－18）＝０
ｘ＝－２，18
ｘ＞10より、ｘ＝18
よって、18cm
問題
横の長さが縦の長さの２倍である長方形の土地がある。この土地の縦の長さをｘmとする。
1）この土地について、２（ｘ＋２ｘ）と表されるものを次の㋐～㋓から１つ選びなさい。
㋐ 土地の面積
㋑ 土地の面積の２倍
㋒ 土地の周の長さ
㋓ 土地の周の長さの２倍
2）この土地に図のような幅２mの道路を縦と横につくり、残りを花壇にしたところ、花壇の面積が144m²となった。ｘの値を求めなさい。
1）
土地の縦がｘmだから、横は２ｘm
（ｘ＋２ｘ）は縦１つと横１つの和
その２倍だから、土地の周の長さ
よって、㋒
2）
花壇の縦 ｘ－２ m
花壇の横 ２ｘ－２ m
よって、
（ｘ－２）（２ｘ－２）＝144
２（ｘ－２）（ｘ－１）＝144
（ｘ－２）（ｘ－１）＝72
ｘ²－３ｘ＋２－72＝０
ｘ²－３ｘ－70＝０
（ｘ－10）（ｘ＋７）＝０
ｘ＝10，－７
ｘ＞２だから、ｘ＝10
よって、10
問題
下の図のような長方形ＡＢＣＤで、点Ｐは、Ｂを出発してＢＣ上を秒速２cmでＣまで動き、点Ｑは、点ＰがＢを出発するのと同時にＣを出発してＣＤ上を秒速１cmでＤまで動く。
1）点ＰがＢを出発してから動いた時間をｘ秒としたとき、ＰＣの長さをｘを使って表しなさい。
2）点ＰがＢを出発してから何秒後に△ＰＣＱの面積が21cm²になるか求めなさい。
1）
点Ｐの移動距離
秒速２cmでｘ秒動くから２ｘcm
よって、ＢＰ＝２ｘcm
したがって、
ＰＣ＝ＢＣ－ＢＰ
＝20－２ｘ cm
2）
点Ｑの移動距離
秒速１cmでｘ秒動くからｘcm
よって、ＱＣ＝ｘcm
∠ＰＣＱ＝90°より
△ＰＣＱ＝（1/2）×ＰＣ×ＱＣ
△ＰＣＱ＝21より
（1/2）（20－２ｘ）ｘ＝21
（10－ｘ）ｘ＝21
10ｘ－ｘ²－21＝０
ｘ²－10ｘ＋21＝０
（ｘ－３）（ｘ－７）＝０
０＜ｘ＜10より
ｘ＝３，７
よって、３秒後、７秒後
2025年・青森県立高校入試
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