二次方程式 高校入試対策14
二次方程式は解が２つ出てくる方程式で、そのしくみを利用した応用問題があります。因数分解やルートの計算など、これまでに学習したことも使います。
計算問題
問題
次の方程式を解きなさい。
1）（ｘ＋７）²－81＝０
2）５ｘ²＋６ｘ－３＝０
1）
（ｘ＋７）²－81＝０
（ｘ＋７）²＝81
ｘ＋７＝±９
ｘ＝－７±９
ｘ＝２，－16
2）
５ｘ²＋６ｘ－３＝０
ｘ＝（－６±√96）/10
＝（－６±４√６）/10
＝（－３±２√６）/５
ｘ＝（－３±２√６）/５
ｂが偶数のときの公式
－ｂ’±√（ｂ’²－ａｃ）
ｘ＝━━━━━━━━━━
ａ
ｂ’はｂの半分
最後の約分の手間が省ける
3）ｘ²＋７ｘ＝ｘ－９
4）（ｘ－１）（ｘ＋５）＝40
5）２ｘ（ｘ－３）＝３ｘ－４
6）（ｘ－２）²－（ｘ－２）－６＝０
3）
ｘ²＋７ｘ＝ｘ－９
ｘ²＋６ｘ＋９＝０
（ｘ＋３）²＝０
ｘ＝－３
4）
（ｘ－１）（ｘ＋５）＝40
ｘ²＋４ｘ－５－40＝０
ｘ²＋４ｘ－45＝０
（ｘ＋９）（ｘ－５）＝０
ｘ＝－９，５
5）
２ｘ（ｘ－３）＝３ｘ－４
２ｘ²－６ｘ－３ｘ＋４＝０
２ｘ²－９ｘ＋４＝０
ｘ＝（９±√49）/４
＝（９±７）/４
＝16/4，2/4
＝４，1/2
ｘ＝1/2，４
※別解 たすきがけ
２ －１ －１
×
１ －４ －８
－９
（２ｘ－１）（ｘ－４）＝０
ｘ＝1/2，４
6）
（ｘ－２）²－（ｘ－２）－６＝０
ｘ－２＝Ａとおく
Ａ²－Ａ－６＝０
（Ａ－３）（Ａ＋２）＝０
（ｘ－２－３）（ｘ－２＋２）＝０
（ｘ－５）ｘ＝０
ｘ＝０，５
問題
ｘについての２次方程式ｘ²－８ｘ＋２ａ＋１＝０の解の１つがｘ＝３であるとき、ａの値を求めなさい。また、もう１つの解を求めなさい。
解の１つがｘ＝３だから
（ｘ－３）（ｘ＋ｂ）＝０とする
ｘの１次の係数が－８だから
－３＋ｂ＝－８
ｂ＝－５
よって、
（ｘ－３）（ｘ－５）＝０
ｘ＝３，５
解の積が２ａ＋１となるから
２ａ＋１＝15
２ａ＝14 ａ＝７
よって、
ａ＝７、もう１つの解ｘ＝５
※別解
方程式にｘ＝３を代入
９－24＋２ａ＋１＝０
２ａ－14＝０
ａ＝７
方程式にａ＝７を代入
ｘ²－８ｘ＋15＝０
（ｘ－３）（ｘ－５）＝０
ｘ＝３，５
よって、
ａ＝７、もう１つの解ｘ＝５
問題
ある正の整数から３をひいて、これを２乗すると64になる。この正の整数を求めなさい。
求める数をｘとする
（ｘ－３）²＝64
ｘ－３＝±８
ｘ＝３±８
ｘ＝11，－５
求める数は正の整数だから 11
問題
底面が正方形で、高さが３cmの直方体がある。この直方体の表面積が80cm²であるとき、底面の正方形の１辺の長さを求めなさい。
底面の１辺をｘcmとする
底面２つ分の面積
ｘ×ｘ×２＝２ｘ² cm²
側面４つ分の面積
３×ｘ×４＝12ｘcm²
合わせて80cm²だから
２ｘ²＋12ｘ＝80
ｘ²＋６ｘ－40＝０
（ｘ＋10）（ｘ－４）＝０
ｘ＝－10，４
ｘ＞０だから、ｘ＝４
よって、４cm
問題
２次方程式ｘ²－４ｘ＋ａ＝０の解の１つが７であるとき、ａの値と他の解を求めなさい。
方程式にｘ＝７を代入
49－28＋ａ＝０
ａ＝－21
方程式にａ＝－21を代入
ｘ²－４ｘ－21＝０
（ｘ－７）（ｘ＋３）＝０
ｘ＝７，－３
よって、
ａ＝－21、他の解ｘ＝－３
※別解１
解の１つが７だから
（ｘ－７）（ｘ＋ｂ）＝０とする
－７とｂの和が－４だから
－７＋ｂ＝－４ ｂ＝３
（ｘ－７）（ｘ＋３）＝０
ｘ＝７，－３
（ｘ－７）（ｘ＋３）＝０
ｘ²－４ｘ－21＝０
よって、
ａ＝－21、他の解ｘ＝－３
※別解２
ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０
２つの解の和 －ｂ/ａ
２つの解の積 ｃ/ａ
他の解をｍとする
ｘ²－４ｘ＋ａ＝０より
７＋ｍ＝－（－４）/１
７＋ｍ＝４ ｍ＝－３
２つの解の積は
７×（－３）＝－21
ａ/１＝－21 ａ＝－21
よって、
ａ＝－21、他の解ｘ＝－３
問題
1）ｘ＝√２＋１、ｙ＝√２－１のとき、ｘ²＋２ｘｙ＋ｙ²の値を求めなさい。
2）√５の小数部分をａとするとき、ａ（ａ＋２）の値を求めなさい。
1）
ｘ²＋２ｘｙ＋ｙ²
＝（ｘ＋ｙ）²
＝（√２＋１＋√２－１）²
＝（２√２）²
＝８
2）
√４＜√５＜√９より
２＜√５＜３
よって、√５の整数部分は２
小数部分は、ａ＝√５－２
ａ＝√５－２より
ａ＋２＝√５
ａ（ａ＋２）
＝（√５－２）×√５
＝５－２√５
問題
√（63ｎ）が自然数になるような自然数ｎのうちで、次のものを求めなさい。
1）もっとも小さい値
2）小さいほうから２番目の値
1）
63＝３²×７
√（３²×７×ｎ）より
７が平方数（２乗）になると自然数となるから
ｎ＝７
2）
もっとも小さい値
√（３²×７²×１²）
２番目に小さい値
√（３²×７²×２²）
よって、
ｎ＝７×２²＝28
問題
１辺の長さが15cmの正方形ＡＢＣＤがある。４つの点Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓがそれぞれ頂点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄから同時に出発し、毎秒１cmの速さで、点Ｐは辺ＡＢ上をＡからＢまで、点Ｑは辺ＢＣ上をＢからＣまで、点Ｒは辺ＣＤ上をＣからＤまで、点Ｓは辺ＤＡ上をＤからＡまで動く。この４つの点を結ぶと、正方形ＰＱＲＳができる。
1）４つの点Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓが出発してから３秒後の正方形ＰＱＲＳの面積を求めなさい。
2）正方形ＰＱＲＳの面積がはじめて125cm²となるのは、４つの点Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓが出発してから何秒後ですか。
1）
４つの動点は始点から同じ毎秒１cmで動くから
ＡＰ＝ＢＱ＝ＣＲ＝ＤＳ＝３cm
ＰＢ＝15－３＝12cmだから
ＳＡ＝ＰＢ＝ＱＣ＝ＲＤ＝12cm
∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃ＝∠Ｄ＝90°だから
周囲の４つの直角三角形は、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから、合同である。
正方形ＡＢＣＤの面積
15²＝225cm²
周囲の４つの直角三角形の面積
（1/2）×３×12×４＝72cm²
よって、求める面積は
225－72＝153cm²
2）
４つの動点が始点から動いた距離は
毎秒１cmでｘ秒動くから
１×ｘ＝ｘcm
よって、
ＡＰ＝ＢＱ＝ＣＲ＝ＤＳ＝ｘcm
ＰＢ＝15－ｘcmだから
ＳＡ＝ＰＢ＝ＱＣ＝ＲＤ＝15－ｘcm
周囲の４つの直角三角形は合同だから
15²－（1/2）ｘ（15－ｘ）×４＝125
225－30ｘ＋２ｘ²－125＝０
２ｘ²－30ｘ＋100＝０
ｘ²－15ｘ＋50＝０
（ｘ－５）（ｘ－10）＝０
ｘ＝５，10
はじめて125cm²になるときだから、ｘ＝５
よって、５秒後
2025年・青森県立高校入試
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塾生の声
苦手が自信に。
受験で大きく伸びました！
この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。
数学を克服して
テストの得点は右肩上がり！
私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。
やり方が分かり
勉強の習慣がついた！
分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。
英語に自信がつき
入試で大幅アップ！
勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。
英語と数学は
これからもこの塾で！
苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。
この塾で本当に良かった！
通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！
理数への意識が変わり
自分から進んで勉強しています！
入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。
目標の中学受験
苦手を克服して志望校合格！
中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。
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