二次方程式 高校入試対策8
二次方程式は解が２つ出てくる方程式で、そのしくみを利用した応用問題があります。因数分解やルートの計算など、これまでに学習したことも使います。
問題
大、小２つの自然数がある。その差は６で、小さいほうの数を２乗した数は、大きいほうの数の２倍に３を加えた数と等しい。この２つの自然数を求めなさい。
小さいほうをｘとする
差は６だから
大きいほうはｘ＋６
よって、
ｘ²＝２（ｘ＋６）＋３
ｘ²＝２ｘ＋12＋３
ｘ²－２ｘ－15＝０
（ｘ－５）（ｘ＋３）＝０
ｘは自然数だから
ｘ＝５
よって、５と11
問題
面積が128m²の長方形の花だんの周囲にロープをはったら、ロープの長さは48mになった。花だんの短いほうの辺の長さを求めなさい。
短いほうをｘmとする
縦２つ分と横２つ分が48mだから
縦１つ分と横１つ分は24m
よって、
長いほうは24－ｘm
面積が128m²だから
ｘ（24－ｘ）＝128
24ｘ－ｘ²＝128
０＝ｘ²－24ｘ＋128
（ｘ－８）（ｘ－16）＝０
ｘ＝８，16
短いほうが８m、長いほうが16mだから
８m
問題
正方形の紙がある。下の図のように、この４すみから１辺が５cmの正方形を切り取り、ふたのない直方体の容器を作ると、容積が720cm³になった。もとの正方形の紙の１辺の長さを求めなさい。
正方形の１辺をｘcmとする
容積が720cm³、高さが５cmだから
底面積は、720÷５＝144cm²
底面の１辺は、ｘ－10 cm
よって、
（ｘ－10）²＝144
ｘ－10＝±12
ｘ＝10±12
ｘ＝－２，22
ｘ＞10より、ｘ＝22
よって、22cm
問題
下の図の正方形ＡＢＣＤで、点ＰはＡを出発して辺ＡＢ上をＢまで動く。また、点Ｑは、点ＰがＡを出発するのと同時にＤを出発し、Ｐと同じ速さで辺ＤＡ上をＡまで動く。点ＰがＡから何cm動いたとき、△ＡＰＱの面積が３cm²になりますか。
ＡＰ＝ｘcmとする
点Ｑは、点ＰがＡを出発するのと同時にＤを出発し、Ｐと同じ速さで動くから
ＤＱ＝ｘcm
ＡＱ＝ＡＤ－ＤＱ＝６－ｘcm
△ＡＰＱで∠ＰＡＱ＝90°だから
△ＡＰＱ＝（1/2）×ＡＰ×ＡＱ
△ＡＰＱ＝３のときだから
（1/2）ｘ（６－ｘ）＝３
６ｘ－ｘ²＝６
－ｘ²＋６ｘ－６＝０
ｘ²－６ｘ＋６＝０
解の偶数公式より
ｘ＝３±√３
０＜ｘ＜６より
３＋√３cm、３－√３cm
問題
下の図のような直角二等辺三角形ＡＢＣで、点Ｐは、Ａを出発してＡＢ上をＢまで動く。また、点Ｑは、点ＰがＡを出発するのと同時にＣを出発し、Ｐと同じ速さでＢＣ上をＢまで動く。点ＰがＡから何cm動いたとき、台形ＡＰＱＣの面積が14cm²になりますか。
△ＡＢＣ－△ＰＢＱ＝14として求める
△ＡＢＣで∠ＡＢＣ＝90°だから
△ＡＢＣ＝（1/2）×ＡＢ×ＢＣ
＝（1/2）×８²＝32cm²
ＡＰ＝ｘcmとする
点Ｑは、点ＰがＡを出発するのと同時にＣを出発し、Ｐと同じ速さで動くから
ＣＱ＝ｘcm
よって、
ＰＢ＝ＢＱ＝８－ｘcm
△ＰＢＱ＝（1/2）×ＰＢ×ＢＱ
＝（1/2）（８－ｘ）²
△ＡＢＣ－△ＰＢＱ＝14より
32－（1/2）（８－ｘ）²＝14
－（1/2）（８－ｘ）²＝－18
（８－ｘ）²＝36
（ｘ－８）²＝36
ｘ－８＝±６
ｘ＝８±６
ｘ＝２，14
０＜ｘ＜８だから、ｘ＝２
よって、２cm
※
（８－ｘ）²
＝｛－（ｘ－８）｝²
＝｛－（ｘ－８）｝×｛－（ｘ－８）｝
＝（ｘ－８）²
問題
長さ８mの金あみを、両端から同じ長さだけ折り曲げてへいに取り付け、下の図のような囲いをつくる。囲まれる土地の面積が４m²になるようにするには、金あみの両端から何mのところで折り曲げればよいですか。
端から折れ線までの長さをｘmとする
土地の縦は同じｘm
土地の横は、８－２ｘ m
よって、
ｘ（８－２ｘ）＝４
２ｘ（４－ｘ）＝４
ｘ（４－ｘ）＝２
４ｘ－ｘ²＝２
０＝ｘ²－４ｘ＋２
解の偶数公式より
ｘ＝２±√２
０＜２ｘ＜８より、０＜ｘ＜４だから
２＋√２m、２－√２m
2025年・青森県立高校入試
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八戸聖ウルスラ学院中学 八戸工大二高附属中学
指導実績 塾生38名（2026年9月）
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八戸東高 八戸北高 八戸西高 八戸聖ウルスラ学院高 仙台育英学園高ＩＬＣ
吹上小 中居林小 柏崎小 長者小 根城小 新井田小 旭ヶ丘小 西園小 南郷小 角の浜小
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塾生の声
苦手が自信に。
受験で大きく伸びました！
この塾に通って、プラスになったことが２つあります。１つ目は、勉強の習慣がついたことです。この塾に通って、家庭学習の時間がものすごく増えました。２つ目は、数学の苦手意識が自信に変わったことです。入試対策にもたくさん取り組むことができ、受験では得点を大きく伸ばすことができました。
数学を克服して
テストの得点は右肩上がり！
私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。
やり方が分かり
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分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。
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勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。
英語と数学は
これからもこの塾で！
苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。
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2026.10.8 二次方程式 高校入試対策8