二次方程式の利用
８月も最終日となりました。今日から市内の公立学校では２学期がスタートしました。
おもに２学期で学習する中学数学の二次方程式では、応用として文章題から方程式を立てる学習があります。二次方程式では、基本的に解が２つ出てくるため、出てきた値について問題に合っているかを確かめる必要があります。
問題
縦10m、横の14mの長方形の土地がある。この土地に図のような同じ幅の道をつくり、残りを花だんにすると、花だんの面積が96m²になった。道の幅をｘmとして、あとの問いに答えなさい。
1）花だんの縦の長さを、ｘを使って表しなさい。
2）ｘについての方程式をつくり、解きなさい。
3）道の幅を求めなさい。
1）
縦全体で10mあるから
（10－ｘ）m
2）
花だんの横は、（14－ｘ）m
面積は96cm²だから
（10－ｘ）（14－ｘ）＝96
（ｘ－10）（ｘ－14）＝96
ｘ²－24ｘ＋140－96＝０
ｘ²－24ｘ＋44＝０
（ｘ－２）（ｘ－22）＝０
ｘ＝２，22
3）
ｘ＜10だから、ｘ＝２
ｘ＝22は問題に合わない
よって、２m
問題
大小２つの整数がある。その差は３で、それぞれを２乗した数の和は117である。次の問いに答えなさい。
1）小さいほうの整数をｘとするとき、大きいほうの整数を、ｘを使って表しなさい。
2）ｘについての方程式をつくり、解きなさい。
3）これら２つの整数の組を、すべて答えなさい。
1）
小さいほうより３大きいから
ｘ＋３
2）
ｘ²＋（ｘ＋３）²＝117
ｘ²＋ｘ²＋６ｘ＋９－117＝０
２ｘ²＋６ｘ－108＝０
ｘ²＋３ｘ－54＝０
（ｘ＋９）（ｘ－６）＝０
ｘ＝－９，６
3）
小さいほうをｘ、大きいほうをｘ＋３としたから
ｘ＝－９のとき
小 －９
大 －９＋３＝－６
ｘ＝６のとき
小 ６
大 ６＋３＝９
よって、
－９と－６、６と９
問題
下の図のような∠Ｂ＝90°の△ＡＢＣで、点Ｐは、Ａを出発して辺ＡＢ上をＢまで動く。また、点Ｑは、点ＰがＡを出発するのと同時にＣを出発し、Ｐと同じ速さで辺ＣＢ上を動き、ＰがＢに着くと同時に止まる。△ＰＢＱの面積が14cm²になるとき、あとの問いに答えなさい。
1）点Ｐが動いた距離ＡＰをｘcmとするとき、ＢＱの長さをｘを使って表しなさい。
2）ｘについての方程式をつくり、解きなさい。
3）△ＰＢＱの面積が14cm²になるのは、点ＰがＡから何cm動いたときか、求めなさい。
1）
点ＱはＰと同じ速さだから
ＡＰ＝ｘcmより、ＣＱ＝ｘcm
よって、ＢＱの長さは
（９－ｘ）cm
2）
∠Ｂ＝90°だから
△ＰＢＱの底辺をＢＱ、高さをＰＢとする
ＰＢ＝６－ｘ cmだから
（1/2）（９－ｘ）（６－ｘ）＝14
（ｘ－９）（ｘ－６）＝28
ｘ²－15ｘ＋54－28＝０
ｘ²－15ｘ＋26＝０
（ｘ－２）（ｘ－13）＝０
ｘ＝２，13
3）
０≦ｘ≦６だから、ｘ＝２
ｘ＝13は問題に合わない
よって、２cm
問題
縦が10cm、横が18cmの長方形の紙を下の図のように切り、ふたのついた直方体の箱を作った。この箱の底面積が24cm²であるとき、箱の高さを求めなさい。
箱の高さをｘcmとする
底面の縦 （10－２ｘ）cm
底面の横
（18－２ｘ）÷２
＝９－ｘ cm
よって、
（10－２ｘ）（９－ｘ）＝24
２（５－ｘ）（９－ｘ）＝24
（ｘ－５）（ｘ－９）＝12
ｘ²－14ｘ＋45－12＝０
ｘ²－14ｘ＋33＝０
（ｘ－３）（ｘ－11）＝０
ｘ＝３，11
ｘ＜５だから、ｘ＝３
ｘ＝11は問題に合わない
よって、３cm
👉ｘ＜５である理由
仮にｘ＝５の場合、５×２＝10cm
高さ２つ分で紙の縦全体の長さになってしまう。
よって、高さは５cm未満になる必要がある。
問題
下の図で、線分ＡＢは円Ｏの直径で、ＡＢ＝20cmである。点Ｐは、直径ＡＢ上をＡからＢまで毎秒２cmの速さで動く。線分ＡＰ、ＰＢをそれぞれ直径とする２つの円をかくとき、あとの問いに答えなさい。
1）点ＰがＡを出発してから２秒後の斜線で示した部分の面積を求めなさい。
2）斜線で示した部分の面積が42π cm²になるのは、点ＰがＡを出発してから何秒後か。すべて求めなさい。
1）
点ＰがＡから毎秒２cmで２秒動いたときの距離は
２×２＝４cm
よって、
ＡＰ＝４cm
ＰＢ＝20－４＝16cm
円Ｏの面積から、直径ＡＰの円と直径ＰＢの円の面積をひいて求める。
円Ｏの面積
半径は、20÷２＝10cmだから
π×10²＝100π cm²
直径ＡＰの円の面積
半径は、４÷２＝２cmだから
π×２²＝４π cm²
直径ＰＢの円の面積
半径は、16÷２＝８cmだから
π×８²＝64π cm²
よって、
100π－４π－64π
＝32π cm²
2）
点ＰがＡから毎秒２cmでｘ秒動いたときの距離は
２×ｘ＝２ｘcm
よって、
ＡＰ＝２ｘcm
ＰＢ＝20－２ｘ cm
円Ｏの面積は、100π cm²
直径ＡＰの円の面積
半径は、２ｘ÷２＝ｘcmだから
π×ｘ²＝πｘ² cm²
直径ＰＢの円の面積
半径は、（20－２ｘ）÷２＝10－ｘcmだから
π（10－ｘ）² cm²
よって、
100π－πｘ²－π（10－ｘ）²＝42π
100－ｘ²－（100－20ｘ＋ｘ²）＝42
100－ｘ²－100＋20ｘ－ｘ²＝42
－２ｘ²＋20ｘ－42＝０
ｘ²－10ｘ＋21＝０
（ｘ－３）（ｘ－７）＝０
０≦ｘ≦10だから
ｘ＝３，７
よって、
３秒後と７秒後
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