二次方程式の利用 練習問題
中学数学の二次方程式では、応用として文章題から方程式を立てる学習があります。二次方程式では、基本的に解が２つ出てくるため、出てきた値について問題に合っているかを確かめる必要があります。
問題
中学生の優子さんは、地域の子ども会のキャンプに参加した。野外炊飯をしようとしたところ、米の計量カップを忘れたことに気づいた。そこで、レクリエーション用に持ってきていた画用紙を使って、米一合分180cm³を量るための箱をつくることにした。箱はふたのない直方体とし、右の図のように、正方形の画用紙の４すみから１辺が４cmの正方形を切り取り、容積が180cm³となるようにつくる。４すみから正方形を切り取る前の初めの正方形の画用紙の１辺の長さをｘcmとして、あとの問いに答えなさい。
1）この箱の底面の１辺の長さは何cmか、ｘの式で表しなさい。
2）初めの正方形の画用紙の１辺の長さは何cmか。答えを求めるまでの過程も書いて答えなさい。
1）
画用紙の１辺ｘcmから４cmを２つ分ひいた長さだから
ｘ－４×２
＝ｘ－８（cm）
2）
箱の底面は、１辺（ｘ－８）cmの正方形
箱の高さは、４cm
容積は180cm³だから
４（ｘ－８）²＝180
（ｘ－８）²＝45
ｘ－８＝±３√５
ｘ＝８±３√５
底面の１辺ｘ－８＞０より
ｘ＞８だから
ｘ＝８＋３√５
よって、８＋３√５（cm）
問題
次の問いに答えなさい。
1）図１の土地において、縦の方向に２本、横の方向に３本の直線を引くと、図２のように12区画に分けられる。同じようにして、図１の土地において、縦の方向にａ本、横の方向にｂ本の直線を引くと、何区画に分けられるか。ａ、ｂを使った式で表しなさい。
2）図１の土地は、縦の長さが 18m、横の長さが 22m である。この土地に、図３のように、幅の等しい道と４つの長方形の花壇をつくる。４つの花壇の面積の合計が 320m² になるとき、道の幅を ｘm として２次方程式をつくり、道の幅を求めなさい。
1）
縦方向に見ると２本で、３区画できる
横方向に見ると３本で、４区画できる
よって、
それぞれ（本数＋１）区画でき、縦と横の区画の積になる。
👉３区画×４区画＝12区画
縦ａ本で、（ａ＋１）区画
横ｂ本で、（ｂ＋１）区画
したがって、
（ａ＋１）（ｂ＋１）区画
2）
道を長方形の端に移動させる
花壇の縦
土地の縦が18mだから、18－ｘ（m）
花壇の横
土地の横が22mだから、22－ｘ（m）
よって、
（18－ｘ）（22－ｘ）＝320
（ｘ－18）（ｘ－22）＝320
ｘ²－40ｘ＋396－320＝０
ｘ²－40ｘ＋76＝０
（ｘ－２）（ｘ－38）＝０
18－ｘ＞０より、ｘ＜18だから
ｘ＝２
したがって、２m
※乗法公式の利用
定数項（式の末尾）の計算
（ｘ－18）（ｘ－22）＝320
18×22
＝（20－２）（20＋２）
＝400－４
＝396
👉ミスが起きやすい筆算を使わない形。入試では時短にもつながる。
※素因数分解の利用
ｘ²－40ｘ＋76
定数項の76のように、大きい数の場合は、素因数分解をする。
76＝２×２×19
１と76、２と38、４と19の積
ｘの係数が－40だから
－２と－38の和と積で、（ｘ－２）（ｘ－38）
※（ ）内を「－１」でくくる
（18－ｘ）（22－ｘ）
＝｛－（ｘ－18）｝｛－（ｘ－22）｝
＝（ｘ－18）（ｘ－22）
問題
次の条件を満たすｋの値をすべて求めなさい。
【条件】
２次方程式（ｘ－３）²＝ｋの解が２つあり、どちらも正の整数である。
（ｘ－３）²＝ｋより
ｘ－３＝±√ｋ
ｘ＝３±√ｋ
２つの解は正の整数だから、ｋは０以上の整数で平方数である。
ｋ＝０のとき
ｘ＝３（重解）となり、問題に合わない
ｋ＝１のとき
ｘ＝３＋√ｋで、
ｘ＝３＋√１＝３＋１＝４
ｘ＝３－√ｋで、
ｘ＝３－√１＝３－１＝２
ｋ＝４のとき
ｘ＝３＋√ｋで、
ｘ＝３＋√４＝３＋２＝５
ｘ＝３－√ｋで、
ｘ＝３－√４＝３－２＝１
ｋ＝９のとき
ｘ＝３－√ｋで、ｘ＝０となるから、ｋ＜９
よって、
ｋ＝１、４
問題
２次方程式ｘ²－６ｘ＋７＝０を（ｘ－●）²＝■の形にしてから解きなさい。
ｘ²－６ｘ＋７＝０
ｘ²－６ｘ＋９－２＝０
ｘ²－６ｘ＋９＝２
（ｘ－３）²＝２
ｘ－３＝±√２
ｘ＝３±√２
問題
２次方程式ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０の解は
－ｂ±√（ｂ²－４ａｃ）
ｘ＝━━━━━━━━━━
２ａ
であり、ｂ²－４ａｃの値が０のとき、この方程式の解は１つになる。４ｘ²＋ｍｘ＋９＝０の解が１つになるときのｍの値をすべて求めなさい。
２次方程式の解が１つのとき
左辺は、平方の形（ｘ－●）²になる
４ｘ²＋ｍｘ＋９が平方の形になるのは
（２ｘ＋３）²と（２ｘ－３）²のとき
（２ｘ＋３）²
＝４ｘ²＋12ｘ＋９
（２ｘ－３）²
＝４ｘ²－12ｘ＋９
よって、
ｍ＝±12
※別解
４ｘ²＋ｍｘ＋９＝０より
ａ＝４、ｂ＝ｍ、ｃ＝９
ｂ²－４ａｃ＝０だから
ｍ²－４×４×９＝０
ｍ²－144＝０
（ｍ＋12）（ｍ－12）＝０
ｍ＝±12
問題
２次方程式ｘ²－16ｘ＋３ａ＝０の解がともに１より大きい奇数となるような正の整数ａの値をすべて求めなさい。
解がともに１より大きいから
ｘ²－16ｘ＋３ａ＝（ｘ－ｍ）（ｘ－ｎ）
と因数分解できる（ｍ≠ｎ）
ｍ、ｎは奇数で、ｘの１次の係数が－16だから
ｍ＝３、ｎ＝13のとき
（ｘ－３）（ｘ－13）＝０
ｘ²－16ｘ＋39＝０
３ａ＝39より、ａ＝13
ｍ＝５、ｎ＝11のとき
（ｘ－５）（ｘ－11）＝０
ｘ²－16ｘ＋55＝０
３ａ＝55より、ａ＝55/3で問題に合わない
ｍ＝７、ｎ＝９のとき
（ｘ－７）（ｘ－９）＝０
ｘ²－16ｘ＋63＝０
３ａ＝63より、ａ＝21
よって、
ａ＝13、21
問題
方程式ｘ²＋ａｘ＋８＝０の解の１つが４のとき、ａの値を求めなさい。また、もう１つの解も求めなさい。
解の１つがｘ＝４より
（ｘ－４）（ｘ－ｍ）＝０とする
ｘ²＋ａｘ＋８＝０より
４×ｍ＝８ ｍ＝２
よって、もう１つの解は２
（ｘ－４）（ｘ－２）＝０だから
ｘ²－６ｘ＋８＝０
よって、ａ＝－６
※別解
方程式にｘ＝４を代入
16＋４ａ＋８＝０
４ａ＝－24
ａ＝－６
方程式にａ＝－６を代入
ｘ²－６ｘ＋８＝０
（ｘ－２）（ｘ－４）＝０
ｘ＝２，４
よって、もう１つの解は２
問題
２次方程式ｘ²＋ａｘ＋ｂ＝０の解が８、９のとき、ａとｂの値をそれぞれ求めなさい。
ｘ＝８、９より
（ｘ－８）（ｘ－９）＝０となるから
ｘ²－17ｘ＋72＝０
係数を比較して
ａ＝－17、ｂ＝72
※別解
方程式にｘ＝８を代入
64＋８ａ＋ｂ＝０
８ａ＋ｂ＝－64 ①
方程式にｘ＝９を代入
81＋９ａ＋ｂ＝０
９ａ＋ｂ＝－81 ②
①－②
－ａ＝17 ａ＝－17
①に代入
－136＋ｂ＝－64 ｂ＝72
ｘ²－17ｘ＋72＝０
（ｘ－８）（ｘ－９）＝０
ｘ＝８，９となるから問題に合っている
よって、
ａ＝－17、ｂ＝72
問題
次の方程式の解き方はまちがっている。㋐～㋒で、いちばんはじめにまちがえて書いた式を選びなさい。また、どのようにまちがえているのかを説明し、正しい答えを求めなさい。
まちがっているのは㋑
㋐は両辺を５で割った式だが、
㋑は両辺をｘで割った式
解がｘ＝０の場合もあるから、両辺をｘで割ることができない
したがって、
ｘ²－４ｘ＝０
ｘ（ｘ－４）＝０
ｘ＝０，４
👉方程式を０で割れない理由
ｘ－１＝０
左辺を０で割ると
ｘ÷０－１÷０
１÷０は成り立たない（商が立たない）
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