二次方程式の立て方

たむかい学習教室
10月10日
読了時間: 6分

二次方程式の立て方

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

二次方程式では、文章題から式を立てる学習があり、与えられた情報から等しい関係を見つけ出して式をつくります。また、方程式の解が問題文に合っているかを確認すること（解の吟味）も必要になります。

問題

半径ｘcmの球の表面積を８倍にするには、半径を何倍にすればよいか、求めなさい。

求める半径をｒとする

半径ｒの表面積は、

球の表面積の公式より、４πｒ²

半径ｘcmの表面積は、４πｘ²

これを８倍すると、32πｘ²

よって、

４πｒ²＝32πｘ²

ｒ²＝８ｘ²

ｒ＞０より

ｒ＝２√２ｘcm

よって、

２√２ｘ÷ｘ＝２√２倍

問題

次の条件をみたすｋの値をすべて求めなさい。

＜条件＞

二次方程式（ｘ－４）²＝ｋの解が２つあり、どちらも正の整数になる。

（ｘ－４）²＝ｋ

ｘ²－８ｘ＋16－ｋ＝０

ｘが１次の係数が「－８」だから

左辺を因数分解をすると

（ｘ－１）（ｘ－７）＝０

（ｘ－２）（ｘ－６）＝０

（ｘ－３）（ｘ－５）＝０

となるとき、解が２つあり両方正の整数になる。

※（ｘ－４）（ｘ－４）＝０は、解が１つ（ｋ＝０のとき）

よって、

16－ｋが、７、12、15のときだから

16－ｋ＝７　ｋ＝９

16－ｋ＝12　ｋ＝４

16－ｋ＝15　ｋ＝１

求めるｋの値は、１，４，９

問題

直線ｙ＝２ｘ＋４上のｘ＞０の部分に点Ｐをとり、Ｐからｘ軸に垂線ＰＱをひく。また、直線ｙ＝２ｘ＋４とｙ軸との交点をＲとしたとき、台形ＰＱＯＲの面積が12になるとき、点Ｐの座標を求めなさい。

点Ｐのｘ座標をｔとする

Ｐは、ｙ＝２ｘ＋４上にあるから

Ｐのｙ座標は、２ｔ＋４

点Ｒのｙ座標は、切片の値だから４

上底ＲＯ＝４

下底ＰＱ＝２ｔ＋４

高さＯＱ＝ｔ　だから

（４＋２ｔ＋４）×ｔ×（1/2）＝12

ｔ（ｔ＋４）＝12

ｔ²＋４ｔ－12＝０

（ｔ＋６）（ｔ－２）＝０

ｔ＝－６，２

ｔ＞０より、ｔ＝２

よって、点Ｐの座標は、（２，８）

※点Ｐのｙ座標をｔとするとき

ｘ座標は、（ｔ－４）／２

（ｔ＋４）×｛（ｔ－４）／２｝×（1/2）＝12

（ｔ＋４）（ｔ－４）＝48

ｔ²＝64

ｔ＝±８

ｔ＞０より、ｔ＝８

よって、点Ｐの座標は、（２，８）

問題

下の図で、１段目は、連続する自然数が小さい順に並んでいる。２段目は、１段目の数をもとに、ある規則にしたがって数が並んでいる。３段目は、２段目の数をもとに、別の規則にしたがって数が並んでいる。このとき、ｎの値を求めなさい。

２段目は、

１段目の隣り合う数の積

３段目は、

２段目の隣り合う数の和

よって、

２段目の数をｎを使って表すと、

ｎ（ｎ－１）、ｎ（ｎ＋１）

これらの和だから

ｎ（ｎ－１）＋ｎ（ｎ＋１）＝392

２ｎ²＝392

ｎ²＝196

ｎ＝±14

ｎは自然数だから、求める値は、14

問題

下の図のように、１cm²の正方形を１段目に１個、２段目に２個、３段目に３個、・・・ｎ段目にｎ個並べた図形の面積を考える。これについて、あとの問いに答えなさい。

1）ｎ段目まで並べた図形の面積を、ｎを使った式で表しなさい。

2）この図形の面積が300cm²になるとき、ｎの値を求めなさい。

3）５段目から75段目までの面積の和を求めなさい。

1）

１からｎまでの自然数の和は、

上から順に並べたとき

1+2+3+・・・+(n-2)+(n-1)+n　①

下から順に並べたとき

n+(n-1)+(n-2)+・・・+3+2+1　②

①＋②

　 1+2+3+・・・+(n-2)+(n-1)+n

+）n+(n-1)+(n-2)+・・・+3+2+1

＝ｎ（ｎ＋１）

👉ｎ＋１がｎ個ある

これを２で割った数が求める面積になるから

ｎ（ｎ＋１）

━━━━━━ cm²

　　２

2）

ｎ（ｎ＋１）

━━━━━━＝300

　　２

ｎ²＋ｎ－600＝０

（ｎ＋25）（ｎ－24）＝０

ｎ＝－25，24

ｎは自然数だから、ｎ＝24

3）

　 5+6+7+・・・+73+74+75

+）75+74+73+・・・+7+6+5

＝80×71

👉80が71個（75-5+1）ある

これを２で割った数が求める面積になるから

80×71÷２＝2840cm²

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