二次関数 基本問題
中学数学では、二次関数の単元に進んでいます。高校入試には必ず出題される内容で、中３数学の要であり、高校数学の土台にもなります。以下には、基本問題を掲載しています。
問題
高さが４cmの正四角柱の底面の１辺の長さをｘcmとする。次の1）～3）のそれぞれの場合について、ｙをｘの式で表しなさい。また、ｙがｘの２乗に比例するものを選びなさい。
1）すべての辺の長さの和をｙcmとする。
2）側面積をｙcm²とする。
3）体積をｙcm³とする。
1）
底面１つ分の周の長さは、１辺ｘcmの正方形だから
ｘ×４＝４ｘ cm
上下２つ分で、４ｘ×２＝８ｘ cm
残りは高さ４cmの辺４つ分だから
４×４＝16cm
よって、ｙ＝８ｘ＋16
2）
側面１つ分の面積は、４ｘ cm²
４つ分で、４ｘ×４＝16ｘcm²
よって、ｙ＝16ｘ
3）
ｙ＝ｘ×ｘ×４
ｙ＝４ｘ²（ｙがｘの２乗に比例する）
問題
縦の長さがｘcm、横の長さが２ｘcmの長方形の面積をｙcm²とする。次の問いに答えなさい。
1）ｙをｘの式で表しなさい。
2）ｘの値が２倍になると、ｙの値は何倍になりますか。
3）ｙの値を２倍にするには、ｘの値を何倍にすればよいですか。
1）
ｙ＝ｘ×２ｘ
ｙ＝２ｘ²
2）
ｘ＝ｍのとき、ｙ＝２ｍ²
ｘ＝２ｍのとき、
ｙ＝２×（２ｍ）²＝８ｍ²
よって、
８ｍ²÷２ｍ²＝４倍
3）
ｙ＝２ｎのとき
２ｘ²＝２ｎ
ｘ²＝ｎ ｘ＝±√ｎ
ｙ＝４ｎのとき
２ｘ²＝４ｎ
ｘ²＝２ｎ ｘ＝±√（２ｎ）
よって、
±√（２ｎ）÷（±√ｎ）＝√２倍
問題
ｙはｘの２乗に比例し、ｘ＝４のときｙ＝48である。次の問いに答えなさい。
1）ｙをｘの式で表しなさい。
2）ｘ＝－１のときのｙの値を求めなさい。
1）
ｙ＝ａｘ²とする
ｘ＝４、ｙ＝48を代入
48＝ａ×４²
16ａ＝48 ａ＝３
よって、ｙ＝３ｘ²
2）
ｙ＝３ｘ²にｘ＝－１を代入
ｙ＝３×（－１）²＝３
よって、３
問題
半径ｘcmの球の表面積をｙcm²とする。次の問いに答えなさい。
1）ｙをｘの式で表しなさい。
2）ｘの値を３倍にすると、ｙの値は何倍になりますか。
3）ｙの値を８倍にするには、ｘの値を何倍にすればよいですか。
1）
球の表面積の公式４πｒ²より
ｙ＝４πｘ²
2）
ｘ＝ｍのとき、ｙ＝４πｍ²
ｘ＝３ｍのとき、
ｙ＝４π×（３ｍ）²＝36πｍ²
よって、
36πｍ²÷４πｍ²＝９倍
3）
ｙ＝４ｎのとき
４πｘ²＝４ｎ
πｘ²＝ｎ
ｘ²＝ｎ/π
ｘ＝±√（ｎ/π）
ｙ＝32ｎのとき
４πｘ²＝32ｎ
πｘ²＝８ｎ
ｘ＝±２√２×√（ｎ/π）
よって、
±２√２×√（ｎ/π）÷±√（ｎ/π）
＝２√２倍
問題
次の問いに答えなさい。
1）ｙはｘの２乗に比例し、ｘ＝４のときｙ＝32である。ｘ＝－６のときのｙの値を求めなさい。
2）関数ｙ＝ａｘ²で、ｘ＝２のときｙ＝－12である。ｘ＝４のときのｙの値を求めなさい。
1）
ｙ＝ａｘ²とする
ｘ＝４、ｙ＝32を代入
32＝ａ×４²
16ａ＝32 ａ＝２
ｙ＝２ｘ²にｘ＝－６を代入
ｙ＝２×（－６）²＝72
よって、72
2）
ｙ＝ａｘ²にｘ＝２、ｙ＝－12を代入
－12＝４ａ ａ＝－３
ｙ＝－３ｘ²にｘ＝４を代入
ｙ＝－３×16＝－48
よって、－48
問題
下の図のように、ｙ＝２ｘ、ｙ＝（1/2）ｘのグラフのｘ＞０の部分にそれぞれ点Ｐ、Ｑがあり、この２つの点のｘ座標は等しい。点Ｐ、Ｑのｘ座標がｔのときの△ＯＰＱの面積をＳとして、あとの問いに答えなさい。
1）Ｓをｔの式で表しなさい。
2）ｔ＝６のときのＳの値を求めなさい。
1）
△ＯＰＱの底辺をＰＱ、高さを点Ｏから直線ＰＱへの垂線ＯＨとする
点Ｐはｙ＝２ｘ上にあり、ｘ＝ｔだから
ｙ＝２×ｔ＝２ｔ
点Ｑはｙ＝（1/2）ｘ上にあり、ｘ＝ｔだから
ｙ＝（1/2）×ｔ＝（1/2）ｔ
よって、
ＰＱ＝２ｔ－（1/2）ｔ＝（3/2）ｔ
点Ｏはｘ＝０、点Ｈはｘ＝ｔだから
ＯＨ＝ｔ－０＝ｔ
したがって、
Ｓ＝（1/2）×（3/2）ｔ×ｔ
Ｓ＝（3/4）ｔ²
2）
Ｓ＝（3/4）ｔ²に、ｔ＝６を代入
Ｓ＝（3/4）×６²＝27
よって、27
問題
下の図の（１）～（３）は、次の㋐～㋒の関数のグラフを示したものである。
㋐ ｙ＝ｘ²
㋑ ｙ＝（1/2）ｘ²
㋒ ｙ＝２ｘ²
（１）～（３）はそれぞれどの関数のグラフですか。
ｘ＝１のとき
㋐ ｙ＝１
㋑ ｙ＝1/2
㋒ ｙ＝２
ｙの値がいちばん大きいのは（１）
よって、（１）はｙ＝２ｘ²
ｙの値がいちばん小さいのは（３）
よって、（３）はｙ＝（1/2）ｘ²
残りの（２）がｙ＝ｘ²
（１）㋒ （２）㋐ （３）㋑
👉ｘ²の係数の絶対値が大きいほど、放物線の幅はせまくなる（ｙの増え方が急になる）。
問題
関数ｙ＝ａｘ²のグラフが点（２，３）を通っている。このとき、次の問いに答えなさい。
1）ａの値を求めなさい。
2）ｘ＝８のときのｙの値を求めなさい。
1）
ｙ＝ａｘ²にｘ＝２、ｙ＝３を代入
３＝４ａ
ａ＝3/4
2）
ｙ＝（3/4）ｘ²にｘ＝８を代入
ｙ＝（3/4）×64＝48
よって、48
問題
図１のような、長方形のケースから刃が押し出されるカッターナイフがある。図２のように、押し出された刃先の辺の長さをｘcm、そのときの刃の片面の面積をｙcm²とする。ただし、刃の長さは５cmよりも長いものとする。
1）０≦ｘ≦２のとき、ｙをｘの式で表しなさい。
2）０≦ｘ≦５の範囲における、ｘとｙの関係を表すグラフをかきなさい。
1）
底辺と高さが２cmの直角二等辺三角形ができるまでの範囲である
移動中は底辺と高さがいつも同じｘcmだから
ｙ＝（1/2）ｘ²
2）
２≦ｘ≦５のとき
刃の面は台形になる
上底は下底のｘcmから２cmをひいた長さ
高さは２cm
よって、
ｙ＝（1/2）（ｘ－２＋ｘ）×２
ｙ＝２ｘ－２
ｘ＝２のとき
ｙ＝（1/2）ｘ²またはｙ＝２ｘ－２より
ｙ＝２
よって、
０≦ｘ≦２のとき
（２，２）を通る放物線
ｘ＝５のとき
ｙ＝２ｘ－２より
ｙ＝８
よって、
２≦ｘ≦５のとき
（２，２）と（５，８）を結ぶ直線
問題
下の図の（１）～（３）は、次の㋐～㋒の関数のグラフを示したものである。それぞれどの関数のグラフですか。
㋐ ｙ＝ｘ²
㋑ ｙ＝－２ｘ²
㋒ ｙ＝（－1/2）ｘ²
（１）
ｘが正負どちらでもｙが正
よって、㋐
（２）（３）
ｘが正負どちらでもｙが負
ｘ＝１のとき
ｙ＝－２ｘ²より、ｙ＝－２
ｙ＝（－1/2）ｘ²より、ｙ＝－１
よって、
（２）は㋒、（３）は㋑
（１）㋐ （２）㋒ （３）㋑
問題
下の図は、６つの関数ｙ＝２ｘ²、ｙ＝（1/2）ｘ²、ｙ＝ｘ²、ｙ＝－２ｘ²、ｙ＝（－1/2）ｘ²、ｙ＝－ｘ²をグラフに表したものである。このうち、ｙ＝（－1/2）ｘ²のグラフを図の中の①～➅のグラフから選びなさい。
ｙ＝（－1/2）ｘ²より
ｘが正負どちらでもｙが負
よって、④・⑤・➅のいずれか
ｘ＝１のとき
ｙ＝－２ｘ²より、ｙ＝－２
ｙ＝（－1/2）ｘ²より、ｙ＝－1/2
ｙ＝－ｘ²より、ｙ＝－１
よって、➅
👉ｘ²の係数の絶対値が小さいほど、放物線の幅は広くなる（ｙの増え方が緩くなる）。
問題
次のア～エは、関数ｙ＝ａｘ²のグラフと、一次関数ｙ＝ｂｘ＋ｃのグラフをコンピュータソフトを用いて表示したものである。ア～エのうち、ａ、ｂ、ｃがすべて同符号であるものを１つ選びなさい。
ア
放物線は上開き ａ＞０
直線は右上がり ｂ＞０
ｙ切片は原点より下 ｃ＜０
イ
ａ＞０ ｂ＜０ ｃ＞０
ウ
ａ＜０ ｂ＞０ ｃ＞０
エ
ａ＜０ ｂ＜０ ｃ＜０
よって、エ
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