二次関数放物線と直線

たむかい学習教室
3 日前
読了時間: 7分

二次関数放物線と直線

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

二次関数のグラフを放物線といい、原点を通る場合に、ｙ軸について対称なグラフになります。そのため、ｘ軸と平行な直線と放物線との２交点は、ｙ軸について対称になります。

問題

下の図で、①は関数ｙ＝ｘ²、②は関数ｙ＝（1/4）ｘ²のグラフで、Ａ、Ｂはグラフ①上の点、Ｃはグラフ②上の点である。点Ａの座標は（１，１）、点Ｂ、Ｃのｘ座標は正、ＡＣはｘ軸に平行、ＢＣはｙ軸に平行であるとして、あとの問いに答えなさい。

1）点Ｃの座標を求めなさい。

2）点Ｂの座標を求めなさい。

3）△ＡＢＣの面積を求めなさい。

1）

ＡＣはｘ軸に平行だから、

点ＡとＣのｙ座標が同じ。

よって、

点Ｃは、ｙ＝１

点Ｃは②上にあるから

１＝（1/4）ｘ²

ｘ²＝４

ｘ＝２（ｘ＞０）

よって、求める座標は、

（２，１）

2）

ＢＣはｙ軸に平行だから

点ＢとＣのｘ座標が同じ。

よって、

点Ｂは、ｘ＝２

点Ｂは①上にあるから

ｙ＝２²＝４

よって、求める座標は、

（２，４）

3）

ＡＣがｘ軸に平行、

ＢＣがｙ軸に平行だから

ＡＣ⊥ＢＣ

底辺ＡＣ＝２－１＝１

高さＢＣ＝４－１＝３

よって、△ＡＢＣの面積は、

（1/2）×ＡＣ×ＢＣ

＝（1/2）×１×３

＝3/2

問題

下の図で、①は関数ｙ＝２ｘ²、②は関数ｙ＝－ｘ²のグラフで、ℓは原点を通る直線である。点（３，０）を通りｙ軸に平行な直線と、グラフ①、②、直線ℓとの交点を、それぞれＡ、Ｂ、Ｃとして、あとの問いに答えなさい。

1）点Ａのｙ座標を求めなさい。

2）点Ｂのｙ座標を求めなさい。

3）△ＡＢＯの面積を求めなさい。

4）点Ｃのｙ座標が点Ａのｙ座標の1/2のとき、直線ℓの式を求めなさい。

1）

点Ａは①上にあり、ｘ＝３だから

ｙ＝２×３²＝18

よって、ｙ座標は、18

2）

点Ｂは②上にあり、ｘ＝３だから

ｙ＝－３²＝－９

よって、ｙ座標は、－９

3）

ＡＢとｙ軸が平行で、ｘ軸とｙ軸が垂直だから、ＡＢとｘ軸は垂直になる。

ＡＢとｘ軸との交点をＤとする

底辺ＡＢ＝18－（－９）＝27

高さＯＤ＝３－０＝３

よって、△ＡＢＯの面積は、

（1/2）×ＡＢ×ＯＤ

＝（1/2）×27×３

＝81/2

4）

点Ｃのｙ座標は、

18×（1/2）＝９

直線ℓは、原点と（３，９）を通るから

ｘの増加量　３－０＝３

ｙの増加量　９－０＝９

直線の傾き　９／３＝３

よって、求める式は、

ｙ＝３ｘ

問題

下の図のように、ｘ軸に平行な直線ℓがｙ軸、関数ｙ＝２ｘ²、関数ｙ＝ａｘ²のグラフとそれぞれ点Ａ、Ｂ、Ｃで交わっている。点Ｂのｘ座標が２で、ＡＢ＝ＢＣであるとき、あとの問いに答えなさい。

1）点Ｂのｙ座標を求めなさい。

2）ａの値を求めなさい。

1）

点Ｂは、

ｙ＝２ｘ²上にあり、ｘ＝２だから

ｙ＝２×２²＝８

よって、ｙ座標は、８

2）

直線ℓはｘ軸に平行だから、

点Ｃと点Ｂのｙ座標は同じ８

ＡＢ＝ＢＣ＝２だから、

点Ｃのｘ座標は４

ｙ＝ａｘ²は、（４，８）を通るから

８＝ａ×４²

16ａ＝８

ａ＝1/2

問題

下の図で、①は関数ｙ＝ａｘ²（０＜ａ＜１）、②は関数ｙ＝ｘ²のグラフで、Ａ、Ｄはグラフ②上の点、Ｂ、Ｃはグラフ①上の点である。点Ａの座標は（－３，９）、線分ＡＤ、ＢＣはともにｘ軸に平行であるとして、あとの問いに答えなさい。

1）点Ｂの座標が（－２，２）のとき、直線ＣＤの傾きを求めなさい。

2）四角形ＡＢＣＤが正方形のとき、ａの値を求めなさい。

1）

ＡＤはｘ軸に平行だから

点ＡとＤは、ｙ軸について対称である。

よって、点Ｄの座標は、

（３，９）

ＢＣはｘ軸に平行だから、

点ＢとＣは、ｙ軸について対称である。

よって、点Ｃの座標は、

（２，２）

ＣＤの傾きは、

ｘの増加量　３－２＝１

ｙの増加量　９－２＝７

になるから、

７／１＝７

2）

点ＡとＤのｘ座標は、－３、３だから

ＡＤ＝３－（－３）＝６

よって、

１辺の長さが６の正方形になる。

点Ｂのｘ座標はＡと同じ－３になるから

ｙ＝ａ×（－３）²

　＝９ａ

点ＡとＢのｙ座標は、９、９ａだから

ＡＢ＝９－９ａ

ＡＢ＝６だから

９－９ａ＝６

ａ＝1/3

よって、ａの値は、1/3

問題

下の図のように、関数ｙ＝（1/2）ｘ²・・①、関数ｙ＝ａｘ²（ａは正の定数）・・②のグラフがある。ｘ軸上の点Ａを通りｙ軸と平行な直線と、①、②のグラフとの交点をＢ、Ｃとする。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）点Ｃのｙ座標が点Ｂのｙ座標よりも大きいとき、ａの値と1/2の関係について正しいものを、次のア～ウから選びなさい。

ア　ａ＜1/2

イ　ａ＞1/2

ウ　ａ＝1/2

2）ａ＝３、点Ａのｘ座標が３のとき、①、②のグラフと線分ＢＣで囲まれた図形の周および内部において、ｘ座標、ｙ座標がともに整数である点の個数を求めなさい。

1）

ａ＞０のとき、

ａの値が大きくなるほど、放物線の傾きは急になる（放物線の間隔がせまくなる）。

よって、イ

2）

点ＢとＣの座標を求める

点Ｂは①上にあり、ｘ＝３だから

ｙ＝（1/2）×３²＝9/2

よって、点Ｂ（３，9/2）

点Ｃは②上にあり、ｘ＝３だから

ｙ＝３ｘ²

ｙ＝３×３²＝27

よって、点Ｃ（３，27）

ｘ＝３のとき、

点Ｂは、ｙ＝9/2（4.5）

点Ｃは、ｙ＝27

ｙ座標が整数である点の個数は、

27－５＋１＝23個

ｘ＝０のとき、

ｙ＝０だから１個（原点）

ｘ＝１のとき、

ＯＢ上の点は、ｙ＝1/2

ＯＣ上の点は、ｙ＝３

ｙ座標が整数である点の個数は、

３－１＋１＝３個

ｘ＝２のとき、

ＯＢ上の点は、ｙ＝２

ＯＣ上の点は、ｙ＝12

ｙ座標が整数である点の個数は、

12－２＋１＝11個

以上から、

23＋１＋３＋11＝38

よって、求める個数は、38個

体験学習受付中！

【たむかい学習教室】

完全1対1 個別指導

教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！

追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！

全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！

塾生のホンネ

「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」

「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」

「学校の授業で難しいことが増えてきた」

「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」

完全１対１授業でホンネを解決！

★苦手の克服に最適★

★受験に強い個別指導★

★経験豊富な講師の一貫指導★

★安心の授業料で全力サポート★

★苦手の克服に最適★

　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。

★受験に強い個別指導★

　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。

★経験豊富な講師の一貫指導★

　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。

★安心の授業料で全力サポート★

　入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。

　＜１か月授業料（税込）＞

　90分授業：14,800円（月4回）

120分授業：17,600円（月4回）

　(例)１回・90分授業の場合

　教師１名・生徒３名の複数指導

　→１名につき30分の個別指導

　指導時間3分の1、実質料金は割高に。

　　↕

　教師1名・生徒1名の完全個別指導

　⇒完全90分の個別指導（当塾）

　生徒1名に100％の指導時間

親御さんの声

「できる問題が増え勉強に自信がついたようで、期待感があります」

「苦手だった英語と数学が伸び始めたので、正直ホッとしています」

「成績の伸び幅と年間の費用を考えると、転塾して正解でした」

合格実績

八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科

八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学

指導実績

八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中

八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ

吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小

今年度塾生35名（2025年9月現在）

「体験学習」を実施しています

通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。

当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。

ご入塾までの流れ

体験学習（60分）

入塾をご希望の場合、

保護者面談の日程調整

↓

保護者面談（40分程度）

お子様の受講に関わるご説明

保護者の方からのご相談・ご要望

↓

受講開始手続き

体験学習・実施日時はこちら

塾生の声

苦手意識から「自信」へ

（中学３年）

　今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。

３年間の積み重ねで受験合格

（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

苦手の克服が高得点に

（高校１年）

　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。

受講に関するお問い合わせ

ご相談はお気軽にお尋ねください