二次関数 高校入試対策②
中学数学の二次関数は、高校入試に必ず出題される内容になります。中３数学の要であり、高校数学の土台にもなります。以下には、対策問題を掲載しています。
問題
関数ｙ＝４ｘ²で、ｘの値が次のように増加するときの変化の割合を求めなさい。
1）２から４まで
2）４から６まで
1）
放物線は上開き（下に凸）
ｘ＝２を代入して、ｙ＝16
ｘ＝４を代入して、ｙ＝64
ｘの増加量 ４－２＝２
ｙの増加量 64－16＝48
変化の割合 48/2＝24
2）
ｘ＝４を代入して、ｙ＝64
ｘ＝６を代入して、ｙ＝144
ｘの増加量 ６－４＝２
ｙの増加量 144－64＝80
変化の割合 80/２＝40
※別の求め方
ｙ＝ａｘ²で、ｘの値がｐからｑに増加
👉変化の割合＝ａ（ｐ＋ｑ）
ｙ＝４ｘ²で、ｘが２から４まで増加
４（２＋４）＝24
ｙ＝４ｘ²で、ｘが４から６まで増加
４（４＋６）＝40
問題
関数ｙ＝（1/3）ｘ²で、ｘの値が次のように増加するときの変化の割合を求めなさい。
1）３から６まで
2）－９から－３まで
1）
放物線は上開き（下に凸）
ｘ＝３を代入して、ｙ＝３
ｘ＝６を代入して、ｙ＝12
ｘの増加量 ６－３＝３
ｙの増加量 12－３＝９
変化の割合 ９/３＝３
※別解
（1/3）（３＋６）＝３
2）
ｘ＝－９を代入して、ｙ＝27
ｘ＝－３を代入して、ｙ＝３
ｘの増加量 －３－（－９）＝６
ｙの増加量 ３－27＝－24
変化の割合 －24/６＝－４
※別解
（1/3）（－９－３）＝－４
ｙ＝ａｘ²で、ｘの値がｐからｑに増加
変化の割合＝ａ（ｐ＋ｑ）
ｘの増加量 ｑ－ｐ
ｙの増加量 ａｑ²－ａｐ²
変化の割合
ａｑ²－ａｐ²
━━━━━━
ｑ－ｐ
ａ（ｑ－ｐ）（ｑ＋ｐ）
＝━━━━━━━━━━━
ｑ－ｐ
（ｑ－ｐ）を約分
＝ａ（ｑ＋ｐ）
＝ａ（ｐ＋ｑ）
問題
下のア～エの関数について、1）、2）にあてはまるものをすべて選びなさい。
ア ｙ＝２ｘ²
イ ｙ＝－５ｘ²
ウ ｙ＝（－1/5）ｘ²
エ ｙ＝７ｘ²
1）ｘ＜０の範囲で、ｘの値が増加するにつれて、ｙの値は減少する。
2）ｙの値が、ｘ＝０のとき最大になる。
1）
放物線が上開きのときだから
ｙ＝ａｘ²は、ａ＞０
よって、ア・エ
ｙ＝２ｘ²
ｘが－２から－１に増加
ｙは８から２に減少
ｙ＝７ｘ²
ｘが－２から－１に増加
ｙは28から７に減少
2）
放物線が下開きのときだから
ｙ＝ａｘ²は、ａ＜０
よって、イ・ウ
ｙ＝－５ｘ²
ｙ＝（－1/5）ｘ²
どちらもｘ＝０のときｙ＝０
ｘ＝０のとき、放物線の頂点になる。
問題
関数ｙ＝－２ｘ²で、ｘの値が次のように増加するときの変化の割合を求めなさい。
1）２から４まで
2）－２から－１まで
1）
ｘ＝２のとき、ｙ＝－８
ｘ＝４のとき、ｙ＝－32
ｘの増加量 ４－２＝２
ｙの増加量 －32－（－８）＝－24
変化の割合 －24/２＝－12
※別解
－２×（２＋４）＝－12
2）
ｘ＝－２のとき、ｙ＝－８
ｘ＝－１のとき、ｙ＝－２
ｘの増加量 －１－（－２）＝１
ｙの増加量 －２－（－８）＝６
変化の割合 ６/１＝６
※別解
－２×（－２－１）＝６
問題
関数ｙ＝（－1/2）ｘ²で、ｘの値が次のように増加するときの変化の割合を求めなさい。
1）２から６まで
2）－８から－２まで
1）
ｘ＝２のとき、ｙ＝－２
ｘ＝６のとき、ｙ＝－18
ｘの増加量 ６－２＝４
ｙの増加量 －18－（－２）＝－16
変化の割合 －16/４＝－４
※別解
（－1/2）×（２＋６）＝－４
2）
ｘ＝－８のとき、ｙ＝－32
ｘ＝－２のとき、ｙ＝－２
ｘの増加量 －２－（－８）＝６
ｙの増加量 －２－（－32）＝30
変化の割合 30/６＝５
※別解
（－1/2）×（－８－２）＝５
問題
関数ｙ＝ａｘ²において、ｘの値が２から４まで増加するときの変化の割合は２である。このとき、ａの値を求めなさい。
ｘ＝２のとき、ｙ＝４ａ
ｘ＝４のとき、ｙ＝16ａ
ｘの増加量 ４－２＝２
ｙの増加量 16ａ－４ａ＝12ａ
変化の割合 12ａ/２＝６ａ
よって、
６ａ＝２
ａ＝1/3
※別解
ａ（２＋４）＝２
６ａ＝２
ａ＝1/3
問題
関数ｙ＝（1/2）ｘ²において、ｘの値がｐからｐ＋２まで増加するときの変化の割合が－３である。このとき、ｐの値を求めなさい。
ｘ＝ｐのとき、
ｙ＝（1/2）ｐ²
ｘ＝ｐ＋２のとき、
ｙ＝（1/2）（ｐ＋２）²
ｘの増加量
（ｐ＋２）－ｐ＝２
ｙの増加量
（1/2）（ｐ＋２）²－（1/2）ｐ²
＝（1/2）ｐ²＋２ｐ＋２－（1/2）ｐ²
＝２ｐ＋２
変化の割合
（２ｐ＋２）/２
＝ｐ＋１
ｐ＋１＝－３
ｐ＝－４
※別解
（1/2）（ｐ＋ｐ＋２）＝－３
ｐ＋１＝－３
ｐ＝－４
問題
下の図のように、関数ｙ＝ｘ²のグラフと関数ｙ＝ａｘ＋ｂのグラフが２点Ａ、Ｂで交わっていて、それぞれのｘ座標をｍ、ｍ＋２とする。関数ｙ＝ｘ²について、ｘの値がｍからｍ＋２まで増加するときの変化の割合が６であるとき、ａ、ｂの値を求めなさい。
放物線のＡＢ間の変化の割合（平均変化率）と直線ＡＢの変化の割合は同じだからａ＝６
点Ａ
ｙ＝ｘ²上にあり、ｘ＝ｍだから
ｙ＝ｍ²
点Ｂ
ｙ＝ｘ²上にあり、ｘ＝（ｍ＋２）だから
ｙ＝（ｍ＋２）²
ｘの増加量
（ｍ＋２）－ｍ
＝２
ｙの増加量
（ｍ＋２）²－ｍ²
＝ｍ²＋４ｍ＋４－ｍ²
＝４ｍ＋４
変化の割合
（４ｍ＋４）/２
＝２ｍ＋２
２ｍ＋２＝６ ｍ＝２
よって、Ａ（２，４）
ｙ＝６ｘ＋ｂは（２，４）を通るから
４＝12＋ｂ ｂ＝－８
ａ＝６、ｂ＝－８
問題
関数ｙ＝２ｘ²について、ｘの変域が次のときのｙの変域をそれぞれ求めなさい。
1）１≦ｘ≦５
2）－６≦ｘ≦－４
3）－２≦ｘ≦３
1）
放物線は上開き（下に凸）
ｘ＝１で最小、ｘ＝５で最大
ｘ＝１のとき、ｙ＝２
ｘ＝５のとき、ｙ＝50
よって、２≦ｙ≦50
2）
ｘ＝－４で最小、ｘ＝－６で最大
ｘ＝－４のとき、ｙ＝32
ｘ＝－６のとき、ｙ＝72
よって、32≦ｙ≦72
3）
ｘ＝０で最小、ｘ＝３で最大
ｘ＝０のとき、ｙ＝０
ｘ＝３のとき、ｙ＝18
よって、０≦ｙ≦18
👉上開きのときは、ｘの絶対値が大きいほうが最大
問題
関数ｙ＝（－1/2）ｘ²について、ｘの変域が次のときのｙの変域をそれぞれ求めなさい。
1）２≦ｘ≦４
2）－３≦ｘ≦６
1）
放物線は下開き（上に凸）
ｘ＝４で最小、ｘ＝２で最大
ｘ＝４のとき、ｙ＝－８
ｘ＝２のとき、ｙ＝－２
よって、－８≦ｙ≦－２
2）
ｘ＝６で最小、ｘ＝０で最大
ｘ＝６のとき、ｙ＝－18
ｘ＝０のとき、ｙ＝０
よって、－18≦ｙ≦０
👉下開きのときは、ｘの絶対値が小さいほうが最大
問題
関数ｙ＝ａｘ²について、ｘの変域が－２≦ｘ≦５のときのｙの変域は－75≦ｙ≦０となる。ａの値を求めなさい。
－75≦ｙ≦０より
最大値ｙ＝０だから、放物線は下開き（ａ＜０）
ｘ＝５で最小値－75となるから
ｙ＝ａｘ²に代入して
－75＝ａ×５²
25ａ＝－75
ａ＝－３
問題
関数ｙ＝ａｘ²について、ｘの変域が－１≦ｘ≦４のとき、ｙの変域が０≦ｙ≦８である。ａの値を求めなさい。
０≦ｙ≦８より
最小値ｙ＝０だから、放物線は上開き（ａ＞０）
ｘ＝４で最大値８となるから
ｙ＝ａｘ²に代入して
８＝ａ×４²
16ａ＝８
ａ＝1/2
問題
下の図のように、関数ｙ＝ａｘ²（ａ＞０）のグラフ上に２点Ａ、Ｂがあり、ｘ座標はそれぞれ－６、４である。直線ＡＢの傾きが－1/2であるとき、ａの値を求めなさい。
直線の傾きが－1/2だから
放物線ＡＢ間の変化の割合は－1/2
ｘ＝－６のとき、ｙ＝36ａ
ｘ＝４のとき、ｙ＝16ａ
ｘの増加量 ４－（－６）＝10
ｙの増加量 16ａ－36ａ＝－20ａ
変化の割合 －20ａ/10＝－２ａ
よって、
－２ａ＝－1/2
ａ＝1/4
※別解
ａ（－６＋４）＝－1/2
－２ａ＝－1/2
ａ＝1/4
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数学を克服して
テストの得点は右肩上がり！
私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。
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勉強の習慣がついた！
分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。
英語に自信がつき
入試で大幅アップ！
勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。
英語と数学は
これからもこの塾で！
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理数への意識が変わり
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