二次関数のグラフ高校受験対策

たむかい学習教室
8月9日
読了時間: 7分

二次関数のグラフ高校受験対策

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

学校の夏休みに入り、塾生は１学期の復習や受験対策を行っています。中３数学では、「二次関数」の学習があります。おもに２学期の内容ですが、先取りの形で予習を始めている生徒もいます。比例や一次関数の学習が土台で、座標の読み取り方、求め方など、学習の前には基本を押さえておくことも必要になります。

問題

下の図のように、関数ｙ＝ａｘ²のグラフ上に２点Ａ、Ｂがあり、Ａ（３，９）、点Ｂのｘ座標は－１である。このとき、次の問いに答えなさい。

1）ａの値を求めなさい。

2）直線ＡＢの式を求めなさい。

1）

ｙ＝ａｘ²は点Ａを通るから、

ｘ＝３、ｙ＝９を代入

ａ×３²＝９

９ａ＝９

ａ＝１

2）

点Ｂはｙ＝ｘ²上にあるから、

ｘ＝－１を代入

ｙ＝（－１）²

　＝１

点Ｂの座標は（－１，１）

Ａ（３，９）　Ｂ（－１，１）

ｘの増加量

３－（－１）＝４

ｙの増加量

９－１＝８

変化の割合　８／４＝２

求める式の切片の値をｂとする

ｙ＝２ｘ＋ｂに、（－１，１）を代入

－２＋ｂ＝１

ｂ＝３

よって、求める式は、

ｙ＝２ｘ＋３

問題

下の図のように、関数ｙ＝４／ｘ（ｘ＞０）のグラフ上に、点Ａ（２，２）とｘ＞２の範囲で動く点Ｂがあり、２点Ａ、Ｂからｘ軸にそれぞれ垂線ＡＣ、ＢＤを引く。これについて、次の問いに答えなさい。

1）ＣＤ＝３となるとき、点Ｂのｙ座標を求めなさい。

2）ＡＢ＝ＢＣとなるとき、△ＡＢＣの面積を求めなさい。

1）

点Ｃのｘ座標は、Ａと同じだから２

Ｄのｘ座標－Ｃのｘ座標＝３だから、

Ｄのｘ座標は５

これと、Ｂのｘ座標が同じ

点Ｂはｙ＝４／ｘ上にあるから、

ｘ＝５を代入

ｙ＝４／５

2）

ＡＢ＝ＢＣ

👉△ＡＢＣは二等辺三角形

底辺をＡＣ、点Ｂからの垂線とＡＣとの交点をＭとする。

△ＡＢＣは二等辺三角形だから、

ＡＭ＝ＭＣ（ＭはＡＣの中点）

ＡＣの長さは、Ａのｙ座標が２だから、２

よって、点Ｍのｙ座標は１

これと点Ｂのｙ座標は同じ

点Ｂはｙ＝４／ｘ上にあるから、

ｙ＝１を代入

ｘ＝４

よって、

ＢからＡＣへの垂線の長さ（高さ）は、

４－２＝２

ＡＣ＝２だから、

△ＡＢＣの面積は、

２×２×1/2

＝２

問題

下の図において、①は反比例のグラフ、②は関数ｙ＝－ｘ²のグラフである。①と②との交点をＡとする。また、①のグラフ上に点Ｂをとり、Ｂからｘ軸、ｙ軸にそれぞれ垂線をひき、ｘ軸、ｙ軸との交点を、それぞれＣ、Ｄとする。点Ａのｘ座標が－３であるとき、次の問いに答えなさい。

1）関数ｙ＝－ｘ²について、ｘの値が２から４まで増加するときの変化の割合を求めなさい。

2）四角形ＯＣＢＤの面積を求めなさい。

1）

ｘの増加量

４－２＝２

ｘ＝４のとき、ｙ＝－16

ｘ＝２のとき、ｙ＝－４

ｙの増加量

－16－（－４）＝－12

変化の割合は、

－12／２＝－６

2）

点Ａは、ｙ＝－ｘ²上にあるから、

ｘ＝－３を代入

ｙ＝－９

Ａ（－３，－９）

①は反比例だから、ｙ＝ａ／ｘとする。

点Ａは、ｙ＝ａ／ｘ上にあるから、

（－３，－９）を代入

ａ＝27

反比例は常に、ｘ×ｙ＝ａとなるから、

求めるＯＣＢＤの面積は、27

問題

関数ｙ＝ｘ²のグラフ上に２点Ａ、Ｂがあり、２点Ａ、Ｂのｘ座標はそれぞれ－２、３である。これについて、あとの問いに答えなさい。

1）点Ａのｙ座標を求めなさい。

2）－２≦ｘ≦３のときのｙの変域を求めなさい。

3）△ＯＡＢの面積を求めなさい。

1）

点Ａはｙ＝ｘ²上にあるから、

ｘ＝－２を代入

ｙ＝（－２）²

　＝４

よって、Ａのｙ座標は４

2）

ｙの最大値は、ｘ＝３のとき

ｙ＝ｘ²に、ｘ＝３を代入

ｙ＝３²

　＝９

ｙの最小値は、ｘ＝０のとき

ｙ＝０

よって、求める変域は、

０≦ｘ≦９

3）

直線ＡＢとｙ軸との交点をＣとする

△ＯＡＢ＝△ＯＣＡ＋△ＯＣＢ

直線ＡＢの式

Ａ（－２，４）　Ｂ（３，９）

ｘの増加量

３－（－２）＝５

ｙの増加量

９－４＝５

変化の割合（傾き）は、

５／５＝１

切片の値をｂとする

ｙ＝ｘ＋ｂに、（－２，４）を代入

－２＋ｂ＝４

ｂ＝６

よって、点Ｃのｙ座標は６

△ＯＣＡの面積

ＯＣを底辺、高さを点Ａからｙ軸との距離とする。

ＯＣ＝６、高さは２

６×２×1/2

＝６

△ＯＣＢの面積

ＯＣを底辺、高さを点Ｂからｙ軸との距離とする。

ＯＣ＝６、高さは３

６×３×1/2

＝９

以上から、△ＯＡＢの面積は、

６＋９＝15

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塾生の声

苦手意識から「自信」へ

（中学３年）

　今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。

３年間の積み重ねで受験合格

（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

苦手の克服が高得点に

（高校１年）

　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。

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