二次関数のグラフと図形

たむかい学習教室
10月13日
読了時間: 7分

二次関数のグラフと図形

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

二次関数では、グラフ上にある図形の辺の長さや面積を求める問題があります。原点を通る放物線がｙ軸について対称になることや、辺と軸との関係などを見ながら解いていきます。

問題

下の図は、関数ｙ＝ｘ²のグラフで、Ｂ、Ｃ、Ｄはそのグラフ上の点、四角形ＡＢＣＤは平行四辺形である。点Ａの座標は、（０，４）、辺ＢＣはｘ軸に平行で、点Ｅは辺ＢＣとｙ軸との交点であるとして、あとの問いに答えなさい。

1）辺ＡＤの長さを求めなさい。

2）線分ＢＥの長さを求めなさい。

3）線分ＡＥの長さを求めなさい。

4）▱ＡＢＣＤの面積を求めなさい。

1）

辺ＡＤはｘ軸と平行だから

点Ｄのｙ座標は、Ａと同じ４

ｙ＝ｘ²に、ｙ＝４を代入

ｘ²＝４

ｘ＝±２

点Ｄのｘ座標は、正の部分だから２

ＡＤの長さは、２点のｘの値の差だから

ＡＤ＝２－０＝２

2）

ｙ＝ｘ²の放物線は、原点を通るから

点ＢとＣは、ｙ軸について対称である。

よって、

ＢＥ＝（1/2）×ＢＣ

ＢＣ＝ＡＤ＝２だから

ＢＥ＝１

3）

点Ｅのｙ座標は、Ｂと同じである。

ＢＥ＝１より

点Ｂのｘ座標は、－１

Ｂは、ｙ＝ｘ²上にあるから

ｘ＝－１を代入

ｙ＝（－１）²＝１

よって、点Ｅのｙ座標は、１

ＡＥの長さは、２点のｙの値の差だから

ＡＥ＝４－１＝３

4）

平行四辺形の面積＝底辺×高さ

底辺をＢＣとすると、高さはＡＥになる。

よって、求める面積は、

２×３＝６

問題

下の図は、ｙ＝（1/4）ｘ²と直線ＡＢのグラフで、Ａ（ａ，１）、Ｂ（４，４）は２つのグラフの交点である。ただし、ａ＞０とする。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）ａの値を求めなさい。

2）直線ＡＢの式を求めなさい。

3）線分ＡＢを対角線とする▱ＡＯＢＰをつくるとき、次のものを求めなさい。

①　点Ｐの座標

②　原点Ｏを通り▱ＡＯＢＰの面積を２等分する直線の式

1）

点Ａはｙ＝１で、

ｙ＝（1/4）ｘ²上にあるから

ｙ＝（1/4）ｘ²に、ｙ＝１を代入

１＝（1/4）ｘ²

ｘ²＝４

ｘ＝±２

グラフからｘ＜０より

ｘ＝－２

よって、ａ＝－２

2）

Ａ（－２，１）　Ｂ（４，４）

ｘの増加量　４－（－２）＝６

ｙの増加量　４－１＝３

直線の傾き　３／６＝１／２

直線の切片の値をｂとする

ｙ＝（1/2）ｘ＋ｂに、（４，４）を代入

４＝（1/2）×４＋ｂ

ｂ＝２

よって、求める式は、

ｙ＝（1/2）ｘ＋２

3）①

下図の通り、

点Ａを通りｘ軸に平行な直線と、

点Ｐを通りｙ軸に平行な直線の交点をＲ、

点Ｂを通りｙ軸に平行な直線と、

ｘ軸との交点をＱとする。

△ＰＡＲと△ＢＯＱにおいて

∠ＡＲＰ＝∠ＯＱＢ＝90°

ＡＰ//ＯＢ、ＡＲ//ＯＱより

∠ＰＡＢ＝∠ＢＯＱ（同位角）

ＡＰ＝ＯＢだから

△ＰＡＲ≡ＢＯＱ

ＡＲ＝ＯＱ＝４、点Ａはｘ＝－２だから

点Ｒは、ｘ＝２

よって、

点Ｐは、ｘ＝２（点Ｒのｘ座標と同じ）

また、

ＰＲ＝ＢＱ＝４、点Ｒはｙ＝１だから

点Ｐは、ｙ＝５

以上から、点Ｐの座標は、

（２，５）

3）②

対角線ＯＰを引くときに２等分される

直線ＯＰは、原点を通るから、

求める式をｙ＝ｐｘとする

点Ｐを通るから、

ｘ＝２、ｙ＝５を代入

２ｐ＝５

ｐ＝5/2

よって、求める式は、

ｙ＝（5/2）ｘ

問題

下の図は、関数ｙ＝ａｘ²（ａ＞０）のグラフで、Ａ、Ｅはグラフ上の点、四角形ＡＢＣＤは正方形である。Ａ、Ｅのｘ座標はそれぞれ２、－１である。また、点Ｂはｘ軸上にあり、ｘ座標は点Ａのｘ座標と同じである。ただし、点Ｃのｘ座標は点Ｂのｘ座標より大きいものとする。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）点Ａのｙ座標をａを使って表しなさい。

2）点Ｅのｙ座標をａを使って表しなさい。

3）△ＢＤＥの面積が56であるとき、ａの値を求めなさい。

1）

点Ａはｘ＝２で、

ｙ＝ａｘ²上にあるから

ｙ＝ａｘ²に、ｘ＝２を代入

ｙ＝ａ×２²

　＝４ａ

2）

点Ｅはｘ＝－１で、

ｙ＝ａｘ²上にあるから

ｙ＝ａｘ²に、ｘ＝－１を代入

ｙ＝ａ×（－１）²

　＝ａ

3）

点Ｅを通り、直線ＢＤに平行な直線ℓを引く。

ＢＤの傾きは、ＢＣ＝ＣＤだから１

よって、直線ℓの傾きは１

直線ℓの切片をｂとする

点Ｅ（－１、ａ）を通るから

ｙ＝ｘ＋ｂに

ｘ＝－１、ｙ＝ａを代入

ａ＝－１＋ｂ

ｂ＝ａ＋１

よって、直線ℓの式は、

ｙ＝ｘ＋ａ＋１

直線ℓとｘ軸との交点をＦとする

ＥＦ//ＢＤより

△ＢＤＥ＝△ＢＤＦ（等積変形）

点Ｆは、ｙ＝０だから

ｙ＝ｘ＋ａ＋１に代入

ｘ＋ａ＋１＝０

ｘ＝－ａ－１

△ＢＤＦの底辺をＢＦ、高さをＤＣとする。

点Ｂは、ｘ＝２だから

ＢＦ＝２－（－ａ－１）

　　＝ａ＋３

点ＤはＡと同じｙ＝４ａだから

ＤＣ＝４ａ－０

　　＝４ａ

△ＢＤＦ＝△ＢＤＥ＝56だから

（1/2）×（ａ＋３）×４ａ＝56

２ａ（ａ＋３）＝56

ａ²＋３ａ＝28

ａ²＋３ａ－28＝０

（ａ＋７）（ａ－４）＝０

ａ＝－７，４

ａ＞０より、ａ＝４

※別解

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