二次関数の定義域高校数学

たむかい学習教室
3 日前
読了時間: 7分

二次関数の定義域高校数学

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

高校数Ⅰの二次関数では、ｘの定義域からｙの最大値と最小値を求める学習があります。放物線の軸を基準にして場合分けをします。

問題

ａは定数とする。関数ｙ＝ｘ²－６ａｘ＋ａ²－１（０≦ｘ≦２）の最小値を求めよ。

ｙ＝ｘ²－６ａｘ＋ａ²－１

　＝（ｘ－３ａ）²－８ａ²－１

放物線は下に凸

軸ｘ＝３ａ、頂点（３ａ，－８ａ²－１）

軸が、

①０≦ｘ≦２の左外

②０≦ｘ≦２の内側

③０≦ｘ≦２の右外

にある場合に分けて求める。

①

３ａ＜０のとき

すなわち、ａ＜０のとき

最小値は、ｘ＝０のときだから

ｙ＝ａ²－１

②

０≦３ａ≦２のとき

すなわち、０≦ａ≦2/3のとき

最小値は、ｘ＝３ａのときだから

ｙ＝（３ａ－３ａ）²－８ａ²－１

　＝－８ａ²－１

③

３ａ＞２のとき

すなわち、ａ＞2/3のとき

最小値は、ｘ＝２のときだから

ｙ＝２²－６ａ×２＋ａ²－１

　＝ａ²－12ａ＋３

よって、

ａ＜０のとき

最小値　ａ²－１（ｘ＝０）

０≦ａ≦2/3のとき

最小値　－８ａ²－１（ｘ＝３ａ）

ａ＞2/3のとき

最小値　ａ²－12ａ＋３（ｘ＝２）

問題

次の関数に最大値、最小値があれば、それを求めよ。

1）ｙ＝－ｘ²＋４ｘ＋５（－１＜ｘ＜３）

2）ｙ＝－２ｘ²＋14ｘ（０＜ｘ＜７）

1）

ｙ＝－ｘ²＋４ｘ＋５

　＝－（ｘ－２）²＋９

放物線は上に凸

頂点（２，９）

－１＜ｘ＜３だから

最大値　９（ｘ＝２）

最小値　なし

2）

ｙ＝－２ｘ²＋14ｘ

　＝－２（ｘ－7/2）²＋49/2

放物線は上に凸

頂点（7/2，49/2）

０＜ｘ＜７だから

最大値　49/2（ｘ＝7/2）

最小値　なし

3）ｙ＝２ｘ²＋４ｘ＋３（０＜ｘ≦１）

4）ｙ＝３ｘ²－６ｘ（０＜ｘ＜３）

3）

ｙ＝２ｘ²＋４ｘ＋３

　＝２（ｘ＋１）²＋１

放物線は下に凸

頂点（－１，１）

０＜ｘ≦１だから

ｘ＝１のとき最大値をとる

ｘ＝１のとき、ｙ＝９

よって、

最大値　９（ｘ＝１）

最小値　なし

4）

ｙ＝３ｘ²－６ｘ

　＝３（ｘ－１）²－３

放物線は下に凸

頂点（１，－３）

０＜ｘ＜３だから

とれる最大値がなく、

最小値はｘ＝１のとき

ｘ＝１のとき、ｙ＝－３

よって、

最大値　なし

最小値　－３（ｘ＝１）

問題

ａは正の定数とする。次の関数の最大値を求めよ。

ｙ＝ｘ²－４ｘ＋１（０≦ｘ≦ａ）

ｙ＝ｘ²－４ｘ＋１

　＝（ｘ－２）²－３

放物線は下に凸

頂点（２，－３）

ａ＝０、すなわちｘ＝０のとき

ｙ＝１

ｙ＝１となるのは、

ｘ＝４のときでもあるから

①

０≦ｘ＜４のとき

最大値をとるａの範囲は、０＜ａ＜４

②

ｘ＝０，４のとき

最大値をとるａの値は、ａ＝４

③

ｘ＞４のとき

最大値をとるａの範囲は、ａ＞４

以上３つの場合について求める

０＜ａ＜４のとき

ｘ＝０で、最大値をとるから

最大値　１（ｘ＝０）

ａ＝４のとき

ｘ＝０，４で、最大値をとるから

最大値　１（ｘ＝０，４）

ａ＞４のとき

ｘ＝ａで、最大値をとるから

最大値　ａ²－４ａ＋１（ｘ＝ａ）

問題

２つの２次関数ｆ(ｘ)＝ａｘ²－６ａｘ＋９ａ－１、ｇ(ｘ)＝－ｘ²＋４ａｘ－４ａ²＋１がある。ただし、ａは０でない定数とする。

1）ｙ＝ｆ(ｘ)のグラフの頂点の座標を求めよ。

2）０≦ｘ≦２におけるｆ(ｘ)の最大値から最小値を引いた値をＰとする。Ｐをａを用いて表せ。

3）ａ＜１とする。０≦ｘ≦２におけるｇ(ｘ)の最大値をＭ、最小値をｍとする。2）のＰについて、Ｍ－ｍ＝Ｐとなるようなａの値を求めよ。

1）

ｙ＝ａｘ²－６ａｘ＋９ａ－１

　＝ａ（ｘ²－６ｘ）＋９ａ－１

　＝ａ｛（ｘ－３）²－９｝＋９ａ－１

　＝ａ（ｘ－３）²－１

よって、求める頂点は、

（３，－１）

2）

「ａは０でない定数」だから

ａが正の数、負の数で場合分けをする。

ａ＞０のとき、下に凸だから

ｘ＝０で最大値をとる

ｆ(０)＝９ａ－１

また、ｘ＝２で最小値をとる

ｆ(２)＝４ａ－12ａ＋９ａ－１

　　＝ａ－１

よって、

Ｐ＝（９ａ－１）－（ａ－１）

　＝８ａ

ａ＜０のとき、上に凸だから

ｘ＝２で最大値をとる

また、ｘ＝０で最小値をとる

よって、

Ｐ＝（ａ－１）－（９ａ－１）

　＝－８ａ

以上から

ａ＞０のとき、Ｐ＝８ａ

ａ＜０のとき、Ｐ＝－８ａ

3）

ａ＜１とする。０≦ｘ≦２におけるｇ(ｘ)の最大値をＭ、最小値をｍとする。2）のＰについて、Ｍ－ｍ＝Ｐとなるようなａの値を求めよ。

ｇ(ｘ)

＝－ｘ²＋４ａｘ－４ａ²＋１

＝－（ｘ²－４ａｘ）－４ａ²＋１

＝－｛（ｘ－２ａ）²－４ａ²｝－４ａ²＋１

＝－（ｘ－２ａ）²＋１

軸はｘ＝２ａ、上に凸

ａ＜１より、２ａ＜２

２ａ＜０のとき

すなわち、ａ＜０のとき

ｘ＝０で最大値Ｍをとる

ｇ(０)＝－４ａ²＋１

また、ｘ＝２で最小値ｍをとる

ｇ(２)＝－４＋８ａ－４ａ²＋１

　　＝－４ａ²＋８ａ－３

ａ＜０のとき、Ｐ＝－８ａだから

Ｍ－ｍ＝Ｐ

（－４ａ²＋１）－（－４ａ²＋８ａ－３）＝－８ａ

－４ａ²＋１＋４ａ²－８ａ＋３＝－８ａ

４＝０となり、成り立たないから、

ａの値はなし

０＜２ａ≦１のとき

すなわち、０＜ａ≦1/2のとき

ｘ＝２ａで最大値Ｍをとる

ｇ(2a)＝－（２ａ－２ａ）²＋１

　　＝１

また、ｘ＝２で最小値ｍをとる

ｇ(２)＝－４ａ²＋８ａ－３

ａ＞０のとき、Ｐ＝８ａだから

Ｍ－ｍ＝Ｐ

１－（－４ａ²＋８ａ－３）＝８ａ

１＋４ａ²－８ａ＋３＝８ａ

４ａ²－16ａ＋４＝０

ａ²－４ａ＋１＝０

ａ＝２±√３

０＜ａ≦1/2より

ａ＝２－√３

１＜２ａ＜２のとき

すなわち、1/2＜ａ＜１のとき

ｘ＝２ａで最大値をとる

また、ｘ＝０で最小値をとる

ａ＞０のとき、Ｐ＝８ａだから

Ｍ－ｍ＝Ｐ

１－（－４ａ²＋１）＝８ａ

１＋４ａ²－１＝８ａ

ａ（ａ－２）＝０

ａ＝０，２

1/2＜ａ＜１より、２つの値は不適

以上から、求めるａの値は、

ａ＝２－√３

体験学習受付中！

【たむかい学習教室】

完全1対1 個別指導

教員経験２０年のプロ講師による完全マンツーマン指導！

追加料金なしの安心の授業料で、手厚いサポート！

全科目対応で、幅広い学習ニーズにお応えいたします！

塾生のホンネ

「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」

「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」

「学校の授業で難しいことが増えてきた」

「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」

完全１対１授業でホンネを解決！

★苦手の克服に最適★

★受験に強い個別指導★

★経験豊富な講師の一貫指導★

★安心の授業料で全力サポート★

★苦手の克服に最適★

　５教科対応、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」につながります。学校の授業が定着しやくすなり、成績アップも期待できます。

★受験に強い個別指導★

　入試の出題範囲は広く、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。

★経験豊富な講師の一貫指導★

　教員経験20年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めての受講生からも「分かりやすい」「納得の解説」と好評です。

★安心の授業料で全力サポート★

　入塾費や高額な教材費、授業料以外にいただく追加料金は一切ございません。安心の授業料で全力サポートいたします。

　＜１か月授業料（税込）＞

　90分授業：14,800円（月4回）

120分授業：17,600円（月4回）

　(例)１回・90分授業の場合

　教師１名・生徒３名の複数指導

　→１名につき30分の個別指導

　指導時間3分の1、実質料金は割高に。

　　↕

　教師1名・生徒1名の完全個別指導

　⇒完全90分の個別指導（当塾）

　生徒1名に100％の指導時間

親御さんの声

「できる問題が増え勉強に自信がついたようで、期待感があります」

「苦手だった英語と数学が伸び始めたので、正直ホッとしています」

「成績の伸び幅と年間の費用を考えると、転塾して正解でした」

合格実績

八戸高　八戸東高　八戸北高　八戸西高　国立八戸高専　八戸工業高　八戸商業高　八戸工業大学第一高　八戸工業大学第二高　千葉学園高　八戸聖ウルスラ学院・英語科

八戸聖ウルスラ学院中学　八戸工大二高附属中学

指導実績

八戸市立第一中　第二中　第三中　長者中　根城中　白山台中　小中野中　白銀中　鮫中　大館中　東中　下長中　北稜中　是川中　南浜中　明治中　中沢中　工大二高附属中　階上中　福地中

八戸東高　八戸北高　八戸西高　仙台育英学園高ＩＬＣ

吹上小　中居林小　柏崎小　長者小　根城小　新井田小　旭ヶ丘小　西園小　南郷小　角の浜小

今年度塾生35名（2025年9月現在）

「体験学習」を実施しています

通塾をご検討の方に無料体験学習を実施しております。

当日の学習科目は希望制です。小学生から中高生まで、ご要望にお応えできるよう授業を進めさせていただきます。

ご入塾までの流れ

体験学習（60分）

入塾をご希望の場合、

保護者面談の日程調整

↓

保護者面談（40分程度）

お子様の受講に関わるご説明

保護者の方からのご相談・ご要望

↓

受講開始手続き

体験学習・実施日時はこちら

塾生の声

苦手意識から「自信」へ

（中学３年）

　今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。

３年間の積み重ねで受験合格

（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

苦手の克服が高得点に

（高校１年）

　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。

受講に関するお問い合わせ

ご相談はお気軽にお尋ねください