- たむかい学習教室
- 2 日前
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体積と表面積の計算
当塾では「夏期講習」を実施しており、多くの塾生が受講しています。
立体の体積と表面積の求め方には公式があります。高校入試でも必ず使うもので、柱、錐、球それぞれの求め方を押さえておく必要があります。
問題
次の立体の体積と表面積を求めなさい。
1）
2）
1）正四角錐
錐の体積
＝（1/3）×底面積×高さ
底面積 10²＝100cm²
高さ 12cm
👉頂点から底面に下ろした垂線
求める体積は、
（1/3）×100×12＝400cm³
表面積＝底面積＋側面積
底面積 10²＝100cm²
側面は、底辺10cm、高さ13cmの三角形
三角形の面積
（1/2）×10×13＝65cm²
これが４つ分だから
65×４＝260cm²
底面積と合わせて
100＋260＝360cm²
2）円錐
体積
底面積 π×９²＝81π cm²
高さ 12cm
求める体積は、
（1/3）×π×９²×12＝324π cm³
表面積
底面の円＋側面のおうぎ形
底面積 81π cm²
おうぎ形の面積の求め方
（1/2）×（半径）×（弧の長さ）
半径は円錐の母線の長さだから15cm
弧の長さは底面の円周と同じだから
２π×９＝18π cm
側面積は、
（1/2）×15×18π＝135π cm²
底面積と合わせて
81π＋135π＝216π cm²
問題
下の図は、底面の半径が３cm、高さが４cmの円柱の上に、半径が３cmの半球をのせた立体である。次の問いに答えなさい。
1）この立体の表面積を求めなさい。
2）この立体の体積を求めなさい。
1）
半球の表面積の1/2＋円柱の側面積＋底面積１つ分
半球の表面積
（1/2）×４π×３²＝18π cm²
円柱の側面積（長方形）
縦 高さと同じ４cm
横 底面の円周と同じ２π×３＝６πcm
４×６π＝24π cm²
円柱の底面積
π×３²＝９π cm²
よって、
18π＋24π＋９π＝51π cm²
2）
半球の体積の1/2＋円柱の体積
半球の体積
（1/2）×（4/3）π×３³＝18π cm³
円柱の体積
π×３²×４＝36π cm³
よって、
36π＋18π＝54π cm³
問題
次の立体の体積を求めなさい。
底面の四角形の面積
底辺８cm、高さ６cmの三角形
（1/2）×８×６＝24cm²
底辺８cm、高さ４cmの三角形
（1/2）×８×４＝16cm²
四角形の面積
24＋16＝40cm²
よって、求める体積は
40×10＝400cm³
底面の円の面積
π×３²＝９π cm²
よって、求める体積は
９π×５＝45π cm³
錐の体積を求めるためのポイント
👉底面に対して垂直な辺が高さになる
👉垂直な辺が図にない場合でも、錐の頂点から底面と同じ平面上に下ろした垂線が高さになる。
底面を△ＢＣＤとする場合
高さは辺ＡＤ＝６cm
△ＢＣＤで∠ＢＤＣ＝90°だから
△ＢＣＤ＝（1/2）×ＢＤ×ＣＤ
＝（1/2）×３×３
＝（9/2）cm²
よって、求める体積は
（1/3）×（9/2）×６＝９cm³
底面を△ＡＣＤとする場合
高さは辺ＢＤ＝３cm
△ＡＣＤで∠ＡＤＣ＝90°だから
△ＡＣＤ＝（1/2）×ＣＤ×ＡＤ
＝（1/2）×３×６
＝９cm²
よって、求める体積は
（1/3）×９×３＝９cm³
底面をＡＢＤとする場合
高さは辺ＣＤ＝３cm
△ＡＢＤで∠ＡＤＢ＝90°だから
△ＡＢＤ＝（1/2）×ＡＤ×ＢＤ
＝（1/2）×６×３
＝９cm²
よって、求める体積は
（1/3）×９×３＝９cm³
△ＡＢＣは底辺と高さが分からないので、これを底面にして体積は求められない。
底面の円の面積
π×４²＝16π cm²
よって、求める体積は
（1/3）×16π×６＝32π cm³
問題
次の立体の表面積を求めなさい。また、（4）は体積も求めなさい。
1）
表面積＝底面積＋側面積
底面は台形
台形１つ分の面積は
（1/2）（６＋12）×４＝36cm²
２つ分だから、72cm²
側面は長方形が４つ
それぞれ縦の長さが同じで５cm
長方形４つ分の面積は
５×（４＋６＋７＋12）
＝５×29＝145cm²
よって、求める表面積は
72＋145＝217cm²
底面の円の半径は４cm
円の面積は、π×４²＝16π cm²
２つ分だから、32π cm²
側面は長方形
縦の長さは柱の高さと同じ８cm
横の長さは円周と同じ
半径４cmの円の円周は、２π×４＝８π cm
長方形の面積は
８×８π＝64π cm²
よって、求める表面積は
32π＋64π＝96π cm²
底面の円の半径は４cm
円の面積は、π×４²＝16π cm²
側面はおうぎ形
おうぎ形の面積
（1/2）×弧の長さ×半径
弧の長さは底面の円周と同じ８π cm
半径は母線の長さと同じ６cm
おうぎ形の面積は
（1/2）×８π×６＝24π cm²
よって、求める表面積は
16π＋24π＝40π cm²
球の表面積
４πｒ²（４×円の面積）
４π×３²＝36π cm²
球の体積
４
━ πｒ³
３
４
━ π×３³＝36π cm³
３
問題
下の図のように、１辺の長さが18cmの立方体のすべての面に接している球がある。この球の体積と表面積を求めなさい。
球の半径は18÷２＝９cm
体積
（4/3）π×９³＝972π cm³
表面積
４π×９²＝324π cm²
問題
下の図のおうぎ形を、ＯＢを軸として回転させてできる立体の表面積を求めなさい。
回転させると「半球」ができる
半径は12cm
球１つ分の表面積の半分は
４π×12²×（1/2）＝288π cm²
ＯＡを半径とする円の面積は
π×12²＝144π cm²
よって、求める表面積は
288π＋144π＝432π cm²
2026年・青森県立高入試
三角錐の体積
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