- たむかい学習教室
- 7月10日
- 読了時間: 9分
入試問題の解き方
７月になり、受験生は入試に向けて動き始めました。
高校入試の数学では、小問ごとのつながりで解き進める形になっていて、特に図形やグラフに関する問題では、前問の答えが後に続く問題を解くためのカギになっています。
合同の証明
問題
下の図は、平行四辺形ＡＢＣＤの対角線ＡＣ、ＢＤの交点をＯとし、対角線ＢＤ上にＢＥ＝ＤＦとなる点Ｅ、Ｆをとったものである。このとき、あとの問いに答えなさい。
1）△ＡＢＥと△ＣＤＦが合同になることを証明しなさい。
2）∠ＡＥＤ＝90°、∠ＣＤＦ＝42°、∠ＤＡＥ＝62°のとき、∠ＢＣＤの大きさを求めなさい。
3）ＢＥ＝４cm、ＥＯ＝２cm、△ＡＢＥの面積が10cm²のとき、平行四辺形ＡＢＣＤの面積を求めなさい。
1）
〔証明〕
△ＡＢＥと△ＣＤＦにおいて
仮定より、ＢＥ＝ＤＦ ①
平行四辺形の対辺は等しいから
ＡＢ＝ＣＤ ②
ＡＢ//ＤＣより、平行線の錯角は等しいから
∠ＢＡＥ＝∠ＤＣＦ ③
①、②、③より
２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ＡＢＥ≡△ＣＤＦ
👉証明に続く問題は、証明の結果（△ＡＢＥ≡△ＣＤＦ）を利用します。
2）
△ＡＢＥ≡△ＣＤＦより
∠ＡＢＥ＝∠ＣＤＦ＝42°
∠ＡＥＤ＝90°より、∠ＡＥＢ＝90°
△ＡＢＥで
∠ＢＡＥ
＝180°－∠ＡＢＥ－∠ＡＥＢ
＝180°－42°－90°
＝48°
∠ＢＡＤ
＝∠ＢＡＥ＋∠ＤＡＥ
＝48°＋62°
＝110°
平行四辺形の対角は等しいから
∠ＢＣＤ＝∠ＢＡＤ＝110°
よって、
∠ＢＣＤ＝110°
3）
△ＡＢＥと△ＡＯＥは高さが等しいから
底辺比が面積比になる
ＢＥ：ＥＯ＝４：２＝２：１より
△ＡＢＥ：△ＡＯＥ＝２：１
△ＡＢＥ＝10cm²だから
10：△ＡＯＥ＝２：１
△ＡＯＥ＝５cm²
よって、
△ＡＯＢ
＝△ＡＢＥ＋△ＡＯＥ
＝10＋５＝15cm²
△ＡＯＢと△ＡＯＤは高さが等しく、ＢＯ＝ＤＯだから
△ＡＯＢ＝△ＡＯＤ＝15cm²
よって、
△ＡＢＤ
＝△ＡＯＢ＋△ＡＯＤ＝30cm²
△ＡＢＤ≡△ＣＤＢだから
平行四辺形ＡＢＣＤの面積は
△ＡＢＤ＋△ＣＤＢ
＝30＋30＝60cm²
立体の体積
問題
下の図は、１辺の長さが６cmの立方体であり、点Ｐは辺ＢＦの中点である。あとの問いに答えなさい。
1）面ＡＢＦＥと垂直な辺を、次の中からすべて選びなさい。
・辺ＡＤ
・辺ＤＨ
・辺ＧＨ
・辺ＦＧ
2）三角錐ＰＡＢＣの体積を求めなさい。
1）
面ＡＢＦＥと垂直な辺は、
辺ＡＤ、ＥＨ、ＢＣ、ＦＧ
よって、
辺ＡＤ、辺ＦＧ
👉面と垂直な辺は立体の高さになる。この見方を使って、次の体積の問題を解きます。
2）
面ＡＢＦＥと垂直な辺はＢＣ
面ＡＢＦＥと同じ平面上にある△ＡＢＰを底面とすると、高さはＢＣになる。
△ＡＢＰにおいて
∠ＡＢＰ＝90°、ＢＰ＝３cmだから
△ＡＢＰ
＝（1/2）×ＡＢ×ＢＰ
＝（1/2）×６×３
＝９cm²
よって、
三角錐ＰＡＢＣの体積は
（1/3）×△ＡＢＰ×ＢＣ
＝（1/3）×９×６
＝18cm³
グラフと図形の面積
問題
図１で、①は関数ｙ＝６/ｘ（ｘ＞０）のグラフ、②は関数ｙ＝ａｘのグラフである。点Ａは①、②の交点でｘ座標が３である。あとの問いに答えなさい。ただし、座標軸の単位の長さを１cmとする。
1）点Ａのｙ座標を求めなさい。
2）ａの値を求めなさい。
1）
点Ａはｙ＝６/ｘ上にあり、ｘ＝３だから
ｙ＝６/３＝２
よって、２
👉次の問題では、点Ａの座標（３，２）を使って解きます。
2）
直線②は、原点と（３，２）を通る。
ｘの増加量が３、ｙの増加量が２だから
傾きは２/３
よって、
ｙ＝（２/３）ｘ
※別解
点Ａはｙ＝ａｘ上にあり、ｘ＝３、ｙ＝２だから
２＝ａ×３
ａ＝２/３
よって、
ｙ＝（２/３）ｘ
図２は、図１に③をかき加えたもので、③は点Ａを通り、点Ｂでｙ軸と、点Ｃでｘ軸と交わる直線であり、点Ｂの座標は（０，８）である。このとき、あとの問いに答えなさい。
3）直線③の式を求めなさい。
4）△ＡＯＣの面積を求めなさい。
3）
直線③の式は、一次関数ｙ＝ａｘ＋ｂ
切片ｂは、Ｂのｙ座標の８
ｙ＝ａｘ＋８とする
Ａ（３，２）を通るから
２＝３ａ＋８
ａ＝－２
よって、
ｙ＝－２ｘ＋８
👉次の問題では、求めた直線の式ｙ＝－２ｘ＋８を利用します。
4）
△ＡＯＣの底辺をＯＣ、高さをＡからの垂線ＡＨとする。
点Ｃは③上にあり、ｙ＝０だから
０＝－２ｘ＋８
ｘ＝４
よって、
ＯＣ＝４－０＝４cm ※
点Ａのｙ座標２だから
ＡＨ＝２－０＝２cm
したがって、
△ＡＯＣ
＝（1/2）×ＯＣ×ＡＨ
＝（1/2）×４×２
＝４cm²
※グラフ上の辺の長さ
👉大きい値から小さい値を引く
または、引いた差の絶対値
０－４＝－４ 絶対値４
数の規則性
問題
下の図のように、１辺に同じ数ずつ碁石が並ぶような正三角形をつくる。表は１辺に並べた碁石の数と、図形をつくるのに必要な碁石の数の関係を表したものである。あとの問いに答えなさい。
1）１辺に６個ずつ碁石を並べて正三角形をつくるとき、必要な碁石の数を求めなさい。
2）１辺にｎ個ずつ碁石を並べて正三角形をつくるとき、必要な碁石の数を、ｎを使って表しなさい。ただし、ｎは２以上の整数とする。
3）１辺にｎ個ずつ碁石を並べて正ｍ角形をつくるとき、必要な碁石の数を、ｍ、ｎを使って表しなさい。ただし、ｎは２以上の整数とする。
4）１辺にｎ個ずつ碁石を並べて正十角形をつくると、必要な碁石の数は110個になった。このときのｎの値を求めなさい。
1）
辺が３つで、それぞれ６個ずつだから
３×６＝18
重なり合う頂点の３個分を引いて
18－３＝15
よって、15 個
👉規則性を見つけ、式をつくります。その式をもとに、以下の問題で応用します。
2）
辺が３つで、それぞれｎ個ずつだから
３×ｎ＝３ｎ
重なり合う頂点の３個分を引いて
３ｎ－３
よって、３ｎ－３ 個 ※
※ｎ＝１のとき０だから、ｎ≧２
3）
辺がｍ本で、それぞれｎ個ずつだから
ｍ×ｎ＝ｍｎ
重なり合う頂点のｍ個分を引いて
ｍｎ－ｍ
よって、ｍｎ－ｍ 個
4）
ｍｎ－ｍ＝110
ｍ＝10のときだから
10ｎ－10＝110
10ｎ＝120
ｎ＝12
※2）別解
１辺に並ぶ個数をｎ、全体の個数をｙとする。
ｎが１増加すると、ｙは３増加するから、一次関数ｙ＝ａｎ＋ｂの式になる。
表にすると
ｎ ２ ３ ４
ｙ ３ ６ ９
一次関数だから
ｎ ０ １ ２ ３ ４
ｙ －３ ０ ３ ６ ９
傾きは、３/１＝３
切片は、－３（ｘ＝０のときのｎ）
よって、
ｙ＝３ｎ－３
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