円の方程式
高校数学では、図形と方程式の単元に入っています。円の方程式では、左辺のｘとｙの平方で表されている式が中心の座標を表します。また、右辺は半径の２乗を表します。
問題
次の円の方程式を求めよ。
1）中心が原点、半径が３の円
2）中心が点（２，－１）、半径が１の円
3）点（２，３）を中心とし、点（４，６）を通る円
4）２点（６，２）、（２，４）を直径の両端とする円
5）中心が点（３，１）、ｘ軸に接する円
円の方程式
中心（ａ，ｂ）、半径ｒ
（ｘ－ａ）²＋（ｙ－ｂ）²＝ｒ²
1）
中心（０，０）、ｒ＝３
（ｘ－０）²＋（ｙ－０）²＝３²
ｘ²＋ｙ²＝９
2）
中心（２，－１）、ｒ＝１
（ｘ－２）²＋（ｙ＋１）²＝１
3）
２点の距離が半径だから
ｒ＝√｛（４－２）²＋（６－３）²｝
＝√（４＋９）
＝√13
よって、
（ｘ－２）²＋（ｙ－３）²＝13
※別解
（ｘ－２）²＋（ｙ－３）²＝ｒ²とする
（４，６）を通るから
（４－２）²＋（６－３）²＝ｒ²
13＝ｒ²
よって、
（ｘ－２）²＋（ｙ－３）²＝13
4）
直径の両端（６，２）、（２，４）
２点の距離の半分が半径だから
ｒ＝√｛（６－２）²＋（２－４）²｝/２
＝√20/２
＝２√５/２
＝√５
２点の中点が円の中心だから
ｘ座標 （６＋２）÷２＝４
ｙ座標 （２＋４）÷２＝３
中心は（４，３）
よって、
（ｘ－４）²＋（ｙ－３）²＝５
5）
中心（３，１）、ｘ軸に接する
中心はｙ＝１、ｘ軸はｙ＝０だから
ｒ＝１－０＝１
よって、
（ｘ－３）²＋（ｙ－１）²＝１
問題
次の方程式が表す円の中心の座標と半径を求めよ。
1）ｘ²＋ｙ²＋２ｘ＝０
2）ｘ²＋ｙ²－６ｙ＝０
3）ｘ²＋ｙ²－４ｘ－６ｙ－３＝０
4）ｘ²＋ｙ²＋２ｘ－４ｙ－４＝０
1）
ｘ²＋ｙ²＋２ｘ＝０
ｘ²＋２ｘ＋ｙ²＝０
（ｘ＋１）²－１＋ｙ²＝０
（ｘ＋１）²＋ｙ²＝１
よって、
中心（－１，０）、半径１
2）
ｘ²＋ｙ²－６ｙ＝０
ｘ²＋（ｙ－３）²－９＝０
ｘ²＋（ｙ－３）²＝９
よって、
中心（０，３）、半径３
3）
ｘ²＋ｙ²－４ｘ－６ｙ－３＝０
ｘ²－４ｘ＋ｙ²－６ｙ－３＝０
（ｘ－２）²－４＋（ｙ－３）²－９－３＝０
（ｘ－２）²＋（ｙ－３）²＝16
よって、
中心（２，３）、半径４
4）
ｘ²＋ｙ²＋２ｘ－４ｙ－４＝０
ｘ²＋２ｘ＋ｙ²－４ｙ－４＝０
（ｘ＋１）²－１＋（ｙ－２）²－４－４＝０
（ｘ＋１）²＋（ｙ－２）²＝９
よって、
中心（－１，２）、半径３
5）ｘ²＋ｙ²＋８ｘ＋２ｙ－８＝０
6）ｘ²＋ｙ²＋10ｘ＋６ｙ－１＝０
7）ｘ²＋ｙ²－３ｘ＋２ｙ＋１＝０
8）ｘ²＋ｙ²－ｘ＋３ｙ＋２＝０
5）
ｘ²＋ｙ²＋８ｘ＋２ｙ－８＝０
（ｘ＋４）²－16＋（ｙ＋１）²－１－８＝０
（ｘ＋４）²＋（ｙ＋１）²＝25
よって、
中心（－４，－１）、半径５
6）
ｘ²＋ｙ²＋10ｘ＋６ｙ－１＝０
（ｘ＋５）²－25＋（ｙ＋３）²－９－１＝０
（ｘ＋５）²＋（ｙ＋３）²＝35
よって、
中心（－５，－３）、半径√35
7）
ｘ²＋ｙ²－３ｘ＋２ｙ＋１＝０
｛ｘ－（3/2）｝²－（9/4）＋（ｙ＋１）²－１＋１＝０
｛ｘ－（3/2）｝²＋（ｙ＋１）²＝9/4
よって、
中心（3/2，－１）、半径3/2
8）
ｘ²＋ｙ²－ｘ＋３ｙ＋２＝０
｛ｘ－（1/2）｝²－（1/4）＋｛ｙ＋（3/2）｝²－（9/4）＋（8/4）＝０
｛ｘ－（1/2）｝²＋｛ｙ＋（3/2）｝²＝1/2
よって、
中心（1/2，－3/2）、半径√2/2
問題
次の方程式が表す円の中心の座標と半径を求めよ。
1）ｘ²＋ｙ²－２ｘ＝０
2）ｘ²＋ｙ²＋４ｙ＝０
3）ｘ²＋ｙ²－２ｘ－２ｙ－２＝０
4）ｘ²＋ｙ²－４ｘ＋２ｙ－４＝０
1）
ｘ²＋ｙ²－２ｘ＝０
（ｘ－１）²－１＋ｙ²＝０
（ｘ－１）²＋ｙ²＝１
よって、
中心（１，０）、半径１
2）
ｘ²＋ｙ²＋４ｙ＝０
ｘ²＋（ｙ＋２）²－４＝０
ｘ²＋（ｙ＋２）²＝４
よって、
中心（０，－２）、半径２
3）
ｘ²＋ｙ²－２ｘ－２ｙ－２＝０
（ｘ－１）²－１＋（ｙ－１）²－１－２＝０
（ｘ－１）²＋（ｙ－１）²＝４
よって、
中心（１，１）、半径２
4）
ｘ²＋ｙ²－４ｘ＋２ｙ－４＝０
（ｘ－２）²－４＋（ｙ＋１）²－１－４＝０
（ｘ－２）²＋（ｙ＋１）²＝９
よって、
中心（２，－１）、半径３
5）ｘ²＋ｙ²＋６ｘ＋６ｙ－７＝０
6）ｘ²＋ｙ²＋４ｘ＋12ｙ－10＝０
7）ｘ²＋ｙ²＋10ｘ－３ｙ＋10＝０
8）ｘ²＋ｙ²－３ｘ＋５ｙ＝０
5）
ｘ²＋ｙ²＋６ｘ＋６ｙ－７＝０
（ｘ＋３）²－９＋（ｙ＋３）²－９－７＝０
（ｘ＋３）²＋（ｙ＋３）²＝25
よって、
中心（－３，－３）、半径５
6）
ｘ²＋ｙ²＋４ｘ＋12ｙ－10＝０
（ｘ＋２）²－４＋（ｙ＋６）²－36－10＝０
（ｘ＋２）²＋（ｙ＋６）²＝50
よって、
中心（－２，－６）、半径５√２
7）
ｘ²＋ｙ²＋10ｘ－３ｙ＋10＝０
（ｘ＋５）²－25＋｛ｙ－（3/2）｝²－（9/4）＋10＝０
（ｘ＋５）²＋｛ｙ－（3/2）｝²＝69/4
よって、
中心（－５，3/2）、半径√69/2
8）
ｘ²＋ｙ²－３ｘ＋５ｙ＝０
｛ｘ－（3/2）｝²－（9/4）＋｛ｙ＋（5/2）｝²－25/4＝０
｛ｘ－（3/2）｝²＋｛ｙ＋（5/2）｝²＝34/4
よって、
中心（3/2，－5/2）、半径√34/2
問題
円（ｘ＋２）²＋（ｙ－３）²＝２と直線ｙ＝ａｘ＋５が異なる２点で交わるとき、定数ａの値の範囲を求めよ。
中心（－２，３）と直線の距離が、半径√２より小さいときになる
（－２，３）とａｘ－ｙ＋５の距離
｜－２ａ－３＋５｜/√（ａ²＋１）＜√２
｜－２ａ＋２｜/√（ａ²＋１）＜√２
√｛２（ａ²＋１）｝＞｜－２ａ＋２｜
２（ａ²＋１）＞（－２ａ＋２）²
２ａ²＋２＞４ａ²－８ａ＋４
２ａ²－８ａ＋２＜０
ａ²－４ａ＋１＜０
ａ²－４ａ＋１＝０とする
ａ＝２±√３
よって、
２－√３＜ａ＜２＋√３
※別解
（ｘ＋２）²＋（ｙ－３）²＝２に、ｙ＝ａｘ＋５を代入
（ｘ＋２）²＋（ａｘ＋２）²＝２
ｘ²＋４ｘ＋４＋ａ²ｘ²＋４ａｘ＋４＝２
（ａ²＋１）ｘ²＋４（ａ＋１）ｘ＋６＝０
異なる２点で交わるから、Ｄ＞０
Ｄ/４＝｛２（ａ＋１）｝²－６（ａ²＋１）
＝４ａ²＋８ａ＋４－６ａ²－６
＝－２ａ²＋８ａ－２＞０
ａ²－４ａ＋１＜０
ａ²－４ａ＋１＝０とする
ａ＝２±√３
よって、
２－√３＜ａ＜２＋√３
問題
点Ｐ（２，１）を通り、円ｘ²＋ｙ²＝１に接する直線の方程式を求めよ。
直線と円の接点を（ａ，ｂ）とする
円の接線の公式より
ａｘ＋ｂｙ＝１
この直線は（２，１）を通るから
２ａ＋ｂ＝１ ①
円は（ａ、ｂ）を通るから
ａ²＋ｂ²＝１ ②
①より
ｂ＝１－２ａ
②に代入
ａ²＋（１－２ａ）²＝１
ａ²＋１－４ａ＋４ａ²＝１
５ａ²－４ａ＝０
ａ（５ａ－４）＝０
ａ＝０，4/5
ａ＝０のとき ①より、ｂ＝１
ａｘ＋ｂｙ＝１に代入して
ｙ＝１
ａ＝4/5のとき ①より、ｂ＝－3/5
ａｘ＋ｂｙ＝１に代入して
（4/5）ｘ－（3/5）ｙ＝１
４ｘ－３ｙ－５＝０
よって、
ｙ＝１
４ｘ－３ｙ－５＝０
問題
２つの円ｘ²＋ｙ²－10＝０、ｘ²＋ｙ²－２ｘ－４ｙ＝０について
1）２つの円は異なる２点で交わることを示せ。
2）２円の２つの交点を通る直線の方程式を求めよ。
3）２円の２つの交点と点（２，３）を通る円の中心と半径を求めよ。
1）
ｘ²＋ｙ²－10＝０より
ｘ²＋ｙ²＝10
中心（０，０）、半径√10
ｘ²＋ｙ²－２ｘ－４ｙ＝０より
（ｘ－１）²－１＋（ｙ－２）²－４＝０
（ｘ－１）²＋（ｙ－２）²＝５
中心（１，２）、半径√５
中心間の距離は
√｛（１－０）²＋（２－０）²｝
＝√５
異なる２点で交わるには
半径の差が中心間の距離√５より小さくなるとき
または
半径の和が中心間の距離√５より大きくなるとき
よって、
√10－√５＝√５（√２－１）＜√５ ①
√10＋√５＝√５（√２＋１）＞√５ ②
①、②より
√10－√５＜√５＜√10＋√５
したがって、２つの円は異なる２点で交わる。
2）
ｋを定数として
ｋ（ｘ²＋ｙ²－10）＋ｘ²＋ｙ²－２ｘ－４ｙ＝０ ③
ｋ＝－１のとき、③は
－ｘ²－ｙ²＋10＋ｘ²＋ｙ²－２ｘ－４ｙ＝０
２ｘ＋４ｙ－10＝０
ｘ＋２ｙ－５＝０
よって、求める直線の方程式は
ｘ＋２ｙ－５＝０
👉ｋ＝－１とする理由
ｘ²＋ｙ²－10＝０より
ｘ²＋ｙ²＝10
ｘ²＋ｙ²－２ｘ－４ｙ＝０に代入
10－２ｘ－４ｙ＝０
２ｘ＋４ｙ－10＝０
ｘ＋２ｙ－５＝０
ｘ²とｙ²を消去することによって、直線の方程式が得られる。
よって、ｋ＝－１を代入するとｘ²とｙ²が消去され、直線の方程式が得られる。
※２つの円の交点を通るため、連立方程式として解くイメージ
3）
③が（２，３）を通るとして、
ｘ＝２、ｙ＝３を代入
ｋ（４＋９－10）＋４＋９－４－12＝０
３ｋ－３＝０
ｋ＝１
③にｋ＝１を代入
ｘ²＋ｙ²－10＋ｘ²＋ｙ²－２ｘ－４ｙ＝０
２ｘ²＋２ｙ²－２ｘ－４ｙ－10＝０
ｘ²＋ｙ²－ｘ－２ｙ－５＝０
｛ｘ－（1/2）｝²－（1/4）＋（ｙ－１）²－１－５＝０
｛ｘ－（1/2）｝²＋（ｙ－１）²＝25/4
よって、
中心（1/2，１）、半径5/2
👉③の式に（２，３）を代入する理由
ｋ（ｘ²＋ｙ²－10）＋ｘ²＋ｙ²－２ｘ－４ｙ＝０
この式は、２つの円の交点を通る円の方程式を表している。
この円周上に（２，３）があるから
ｘ＝２、ｙ＝３を代入する
問題
ｘ²＋ｙ²－４ａｘ＋６ａｙ＋14ａ²－４ａ＋３＝０が円を表すとき、定数ａの値の範囲を求めよ。
（ｘ－２ａ）²－４ａ²＋（ｙ＋３ａ）²－９ａ²＋14ａ²－４ａ＋３＝０
（ｘ－２ａ）²＋（ｙ＋３ａ）²＋ａ²－４ａ＋３＝０
（ｘ－２ａ）²＋（ｙ＋３ａ）²＋（ａ－１）（ａ－３）＝０
（ｘ－２ａ）²＋（ｙ＋３ａ）²＝－（ａ－１）（ａ－３）
半径は０より大きいから
－（ａ－１）（ａ－３）＞０
（ａ－１）（ａ－３）＜０
よって、
１＜ａ＜３
※別解
方程式ｘ²＋ｙ²＋ｌｘ＋ｍｙ＋ｎ＝０は、ｌ²＋ｍ²－４ｎ＞０のとき、円を表すから
16ａ²＋36ａ²－56ａ²＋16ａ－12＞０
－４ａ²＋16ａ－12＞０
ａ²－４ａ＋３＜０
（ａ－１）（ａ－３）＜０
よって、
１＜ａ＜３
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