円の方程式 練習問題

円の方程式では、中心の座標（ａ，ｂ）と半径ｒから、（ｘ－ａ）²＋（ｙ－ｂ）²＝ｒ² の関係が成り立ちます。通る点の座標を代入することで半径が求められます。

中心（ａ，ｂ）、半径ｒの方程式

（ｘ－ａ）²＋（ｙ－ｂ）²＝ｒ²

円の方程式の一般形

ｘ²＋ｙ²＋ｌｘ＋ｍｙ＋ｎ＝０

（ｌ²＋ｍ²－４ｎ＞０）

問題

次のような円の方程式を求めよ。

1）中心が点（２，－３）、半径が１の円

2）中心が点（３，４）で、原点を通る円

3）２点（３，１）、（－５，７）を直径の両端とする円

4）点（５，２）が中心で、ｙ軸に接する円

1）

（ｘ－２）²＋（ｙ＋３）²＝１

2）

半径ｒは（０，０）と（３，４）の距離だから

ｒ²＝３²＋４²＝25

よって、

（ｘ－３）²＋（ｙ－４）²＝25

※別解

（ｘ－３）²＋（ｙ－４）²＝ｒ²

（０，０）を通るから

（－３）²＋（－４）²＝ｒ²

ｒ²＝25

よって、

（ｘ－３）²＋（ｙ－４）²＝25

3）

２点の中点が円の中心

ｘ座標　（３－５）÷２＝－１

ｙ座標　（１＋７）÷２＝４

中心（－１，４）

半径ｒは（－１，４）と（３，１）の距離だから

ｒ²＝｛３－（－１）｝²＋（１－４）²

＝16＋９

＝25

よって、

（ｘ＋１）²＋（ｙ－４）²＝25

4）

中心（５，２）、ｙ軸はｘ＝０だから

半径ｒ＝５　すなわちｒ²＝25

よって、

（ｘ－５）²＋（ｙ－２）²＝25

問題

次のような円の方程式を求めよ。

1）中心が点（－５，２）、半径が√２の円

2）中心が原点で、点（４，３）を通る円

3）２点（１，２）、（３，－４）が直径の両端である円

4）点（３，４）が中心で、ｘ軸に接する円

1）

ｒ＝√２より、ｒ²＝２

よって、

（ｘ＋５）²＋（ｙ－２）²＝２

2）

半径ｒは（０，０）と（４，３）の距離だから

ｒ²＝４²＋３²＝25

よって、

ｘ²＋ｙ²＝25

3）

２点の中点が円の中心

ｘ座標　（３＋１）÷２＝２

ｙ座標　（－４＋２）÷２＝－１

中心（２，－１）

半径ｒは（２，－１）と（１，２）の距離だから

ｒ²＝（１－２）²＋｛２－（－１）｝²

＝１＋９

＝10

よって、

（ｘ－２）²＋（ｙ＋１）²＝10

4）

中心（３，４）、ｘ軸はｙ＝０だから

ｒ＝４　すなわちｒ²＝16

よって、

（ｘ－３）²＋（ｙ－４）²＝16

問題

次の方程式はどのような図形を表すか。

1）ｘ²＋ｙ²＋２ｙ－３＝０

2）ｘ²＋ｙ²＋４ｘ－６ｙ－４＝０

3）ｘ²＋ｙ²－２ｘ＋４ｙ＋５＝０

4）ｘ²＋ｙ²－４ｘ－８ｙ＋23＝０

1）

ｘ²＋ｙ²＋２ｙ－３＝０

ｘ²＋（ｙ＋１）²－１－３＝０

ｘ²＋（ｙ＋１）²＝４

中心（０，－１）、半径２の円

2）

ｘ²＋ｙ²＋４ｘ－６ｙ－４＝０

ｘ²＋４ｘ＋ｙ²－６ｙ－４＝０

（ｘ＋２）²－４＋（ｙ－３）²－９－４＝０

（ｘ＋２）²＋（ｙ－３）²＝17

中心（－２，３）、半径√17の円

3）

ｘ²＋ｙ²－２ｘ＋４ｙ＋５＝０

ｘ²－２ｘ＋ｙ²＋４ｙ＋５＝０

（ｘ－１）²－１＋（ｙ＋２）²－４＋５＝０

（ｘ－１）²＋（ｙ＋２）²＝０

点（１，－２）

4）

ｘ²＋ｙ²－４ｘ－８ｙ＋23＝０

ｘ²－４ｘ＋ｙ²－８ｙ＋23＝０

（ｘ－２）²－４＋（ｙ－４）²－16＋23＝０

（ｘ－２）²＋（ｙ－４）²＝－３

（ｘ－２）²＋（ｙ－４）²≧０だから

解なし

問題

次の方程式はどのような図形を表すか。

1）ｘ²＋２ｘ＋ｙ²＝０

2）ｘ²＋ｙ²－４ｘ－10ｙ－20＝０

3）ｘ²＋４ｘ＋ｙ²＋６ｙ＋13＝０

4）ｘ²＋６ｘ＋ｙ²＋８ｙ＋28＝０

1）

ｘ²＋２ｘ＋ｙ²＝０

（ｘ＋１）²－１＋ｙ²＝０

（ｘ＋１）²＋ｙ²＝１

中心（－１，０）、半径１の円

2）

ｘ²＋ｙ²－４ｘ－10ｙ－20＝０

（ｘ－２）²－４＋（ｙ－５）²－25－20＝０

（ｘ－２）²＋（ｙ－５）²＝49

中心（２，５）、半径７の円

3）

ｘ²＋４ｘ＋ｙ²＋６ｙ＋13＝０

（ｘ＋２）²－４＋（ｙ＋３）²－９＋13＝０

（ｘ＋２）²＋（ｙ＋３）²＝０

点（－２，－３）

4）

ｘ²＋６ｘ＋ｙ²＋８ｙ＋28＝０

（ｘ＋３）²－９＋（ｙ＋４）²－16＋28＝０

（ｘ＋３）²＋（ｙ＋４）²＝－３

（ｘ＋３）²＋（ｙ＋４）²≧０だから

解なし

問題

３点（１，３）、（４，２）、（５，－５）を通る円の方程式を求めよ。

求める方程式を

ｘ²＋ｙ²＋ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０とする

（１，３）を代入

１＋９＋ａ＋３ｂ＋ｃ＝０

ａ＋３ｂ＋ｃ＝－10　①

（４，２）を代入

16＋４＋４ａ＋２ｂ＋ｃ＝０

４ａ＋２ｂ＋ｃ＝－20　②

（５，－５）を代入

25＋25＋５ａ－５ｂ＋ｃ＝０

５ａ－５ｂ＋ｃ＝－50　③

①－②

－３ａ＋ｂ＝10　④

①－③

－４ａ＋８ｂ＝40

－ａ＋２ｂ＝10　⑤

④×２－⑤

－６ａ＋２ｂ＝20

－ａ＋２ｂ＝10

－５ａ＝10　ａ＝－２

⑤に代入

２＋２ｂ＝10

２ｂ＝８　ｂ＝４

①より

－２＋12＋ｃ＝－10

ｃ＝－20

よって、

ｘ²＋ｙ²－２ｘ＋４ｙ－20＝０

問題

次の３点を通る円の方程式を求めよ。

1）（０，０）、（１，－３）、（４，０）

2）（１，１）、（３，１）、（５，－３）

1）

求める方程式を

ｘ²＋ｙ²＋ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０とする

（０，０）を代入

ｃ＝０

（１，－３）を代入

１＋９＋ａ－３ｂ＝０

ａ－３ｂ＝－10　①

（４，０）を代入

16＋４ａ＝０

ａ＝－４

①に代入

－４－３ｂ＝－10

－３ｂ＝－６　ｂ＝２

よって、

ｘ²＋ｙ²－４ｘ＋２ｙ＝０

2）

求める方程式を

ｘ²＋ｙ²＋ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０とする

（１，１）を代入

１＋１＋ａ＋ｂ＋ｃ＝０

ａ＋ｂ＋ｃ＝－２　①

（３，１）を代入

９＋１＋３ａ＋ｂ＋ｃ＝０

３ａ＋ｂ＋ｃ＝－10　②

（５，－３）を代入

25＋９＋５ａ－３ｂ＋ｃ＝０

５ａ－３ｂ＋ｃ＝－34　③

①－②

－２ａ＝８　ａ＝－４

①－③

－４ａ＋４ｂ＝32

－ａ＋ｂ＝８

ａ＝－４より

４＋ｂ＝８　ｂ＝４

①より

－４＋４＋ｃ＝－２　ｃ＝－２

よって、

ｘ²＋ｙ²－４ｘ＋４ｙ－２＝０

問題

円ｘ²＋ｙ²＝２と次の直線との位置関係（交わる、接するなど）を調べ、共有点がある場合には、その座標を求めよ。

1）ｙ＝ｘ

2）ｙ＝ｘ－２

3）ｙ＝ｘ＋３

1）

ｘ²＋ｙ²＝２に、ｙ＝ｘを代入

ｘ²＋ｘ²＝２

ｘ²＝１

ｘ＝±１

ｘ＝１のとき、ｙ＝１

ｘ＝－１のとき、ｙ＝－１

よって、

２点で交わる

共有点の座標

（１，１）（－１，－１）

2）

ｘ²＋ｙ²＝２に、ｙ＝ｘ－２を代入

ｘ²＋（ｘ－２）²＝２

ｘ²＋ｘ²－４ｘ＋４－２＝０

２ｘ²－４ｘ＋２＝０

ｘ²－２ｘ＋１＝０

（ｘ－１）²＝０

ｘ＝１

ｘ＝１のとき、ｙ＝－１

よって、

１点で接する

接点の座標（１，－１）

3）

ｘ²＋ｙ²＝２に、ｙ＝ｘ＋３を代入

ｘ²＋（ｘ＋３）²＝２

ｘ²＋ｘ²＋６ｘ＋９－２＝０

２ｘ²＋６ｘ＋７＝０

判別式をＤとする

Ｄ/４＝９－14＝－５

Ｄ＜０だから

共有点をもたない

問題

次の円と直線の位置関係を調べ、共有点がある場合には、その座標を求めよ。

1）

ｘ²＋ｙ²＝４

ｘ＋ｙ＝４

2）

ｘ²＋ｙ²＝１

ｘ－ｙ＝√２

3）

ｘ²＋ｙ²＋５ｘ＋ｙ－６＝０

３ｘ＋ｙ－２＝０

1）

ｘ²＋ｙ²＝４　①

ｘ＋ｙ＝４　②

②より

ｙ＝４－ｘ

①に代入

ｘ²＋（４－ｘ）²＝４

ｘ²＋16－８ｘ＋ｘ²＝４

ｘ²－８ｘ＋12＝０

（ｘ－２）（ｘ－６）＝０

ｘ＝２，６

ｘ＝２のとき、ｙ＝２

ｘ＝６のとき、ｙ＝－２

よって、

２点で交わる

共有点の座標

（２，２）（６，－２）

2）

ｘ²＋ｙ²＝１　①

ｘ－ｙ＝√２　②

②より

ｘ＝ｙ＋√２　②’

①に代入

（ｙ＋√２）²＋ｙ²＝１

ｙ²＋２√２ｙ＋２＋ｙ²＝１

２ｙ²＋２√２ｙ＋１＝０

（√２ｙ＋１）²＝０

ｙ＝－√２/２

②’に代入

ｘ＝（－√２/２）＋√２＝√２/２

よって、

１点で接する

接点の座標（√２/２，－√２/２）

3）

ｘ²＋ｙ²＋５ｘ＋ｙ－６＝０　①

３ｘ＋ｙ－２＝０　②

②より

ｙ＝２－３ｘ

①に代入

ｘ²＋４－12ｘ＋９ｘ²＋５ｘ＋２－３ｘ－６＝０

10ｘ²－10ｘ＝０

ｘ²－ｘ＝０

ｘ（ｘ－１）＝０

ｘ＝０，１

ｘ＝０のとき、ｙ＝２

ｘ＝１のとき、ｙ＝－１

よって、

２点で交わる

共有点の座標

（０，２）（１，－１）

問題

円ｘ²＋ｙ²＝２・・①と直線ｙ＝－ｘ＋ｋ・・②について

1）円①と直線②が共有点をもつとき、定数ｋの値の範囲を求めよ。

2）円①と直線②が接するとき、定数ｋの値と接点の座標を求めよ。

1）

①に②を代入

ｘ²＋（－ｘ＋ｋ）²＝２

ｘ²＋ｘ²－２ｋｘ＋ｋ²＝２

２ｘ²－２ｋｘ＋ｋ²－２＝０　③

判別式をＤとする

Ｄ/４＝ｋ²－２ｋ²＋４

＝－ｋ²＋４

Ｄ≧０より

－ｋ²＋４≧０

ｋ²－４≦０

（ｋ＋２）（ｋ－２）≦０

－２≦ｋ≦２

2）

1）より

Ｄ＝－ｋ²＋４

Ｄ＝０より

－ｋ²＋４＝０

ｋ²＝４

ｋ＝±２

ｋ＝２のとき

ｋ＝２を③に代入

２ｘ²－４ｘ＋２＝０

ｘ²－２ｘ＋１＝０

（ｘ－１）²＝０

ｘ＝１

②よりｙ＝－ｘ＋２

ｘ＝１を代入して

ｙ＝１

ｋ＝－２のとき

ｋ＝－２を③に代入

２ｘ²＋４ｘ＋２＝０

ｘ²＋２ｘ＋１＝０

（ｘ＋１）²＝０

ｘ＝－１

②よりｙ＝－ｘ－２

ｘ＝－１を代入して

ｙ＝－１

よって、

ｋ＝２のとき、接点（１，１）

ｋ＝－２のとき、接点（－１，－１）

問題

円ｘ²＋ｙ²－２ｘ＝４・・①と直線ｙ＝２ｘ＋ｋ・・②について

1）円①と直線②が共有点をもたないとき、定数ｋの値の範囲を求めよ。

2）円①と直線②が接するとき、定数ｋの値と接点の座標を求めよ。

1）

②を①に代入

ｘ²＋（２ｘ＋ｋ）²－２ｘ＝４

ｘ²＋４ｘ²＋４ｋｘ＋ｋ²－２ｘ－４＝０

５ｘ²＋２（２ｋ－１）ｘ＋ｋ²－４＝０　③

Ｄ/４＝（２ｋ－１）²－５（ｋ²－４）

＝４ｋ²－４ｋ＋１－５ｋ²＋20

＝－ｋ²－４ｋ＋21

Ｄ＜０より

－ｋ²－４ｋ＋21＜０

ｋ²＋４ｋ－21＞０

（ｋ＋７）（ｋ－３）＞０

ｋ＜－７、ｋ＞３

2）

1）より

Ｄ/４＝－ｋ²－４ｋ＋21

Ｄ＝０より

（ｋ＋７）（ｋ－３）＝０

ｋ＝－７，３

ｋ＝－７のとき

ｋ＝－７を③に代入

５ｘ²－30ｘ＋45＝０

ｘ²－６ｘ＋９＝０

（ｘ－３）²＝０

ｘ＝３

②よりｙ＝２ｘ－７

ｘ＝３を代入

ｙ＝－１

ｋ＝３のとき

ｋ＝３を③に代入

５ｘ²＋10ｘ＋５＝０

ｘ²＋２ｘ＋１＝０

（ｘ＋１）²＝０

ｘ＝－１

②よりｙ＝２ｘ＋３

ｘ＝－１を代入

ｙ＝１

よって、

ｋ＝－７のとき、接点（３，－１）

ｋ＝３のとき、接点（－１，１）

問題

円ｘ²＋ｙ²＝５と直線２ｘ－ｙ＋ｋ＝０の共有点の個数は、定数ｋの値によって、どのように変わるか調べよ。

円の中心（０，０）、半径ｒ＝√５

中心と直線２ｘ－ｙ＋ｋ＝０の距離

　　｜２・０－０＋ｋ｜

ｄ＝━━━━━━━━━

　　√｛２²＋（－１）²｝

　｜ｋ｜

＝━━━

　 √５

２点で交わるとき

ｄ＜ｒより

｜ｋ｜

━━━＜√５

√５

｜ｋ｜＜５

－５＜ｋ＜５

１点で接するとき

ｄ＝ｒより

｜ｋ｜＝５

ｋ＝±５

共有点がないとき

ｄ＞ｒより

｜ｋ｜＞５

ｋ＜－５、ｋ＞５

よって、

－５＜ｋ＜５のとき、２個

ｋ＝±５のとき、１個

ｋ＜－５、ｋ＞５のとき０個

※別解

２ｘ－ｙ＋ｋ＝０より

ｙ＝２ｘ＋ｋ

ｘ²＋ｙ²＝５に代入

ｘ²＋４ｘ²＋４ｋｘ＋ｋ²－５＝０

５ｘ²＋４ｋｘ＋ｋ²－５＝０

判別式をＤとする

Ｄ/４＝４ｋ²－５ｋ²＋25

＝－ｋ²＋25

Ｄ＞０より

－ｋ²＋25＞０

ｋ²－25＜０

（ｋ＋５）（ｋ－５）＜０

－５＜ｋ＜５

このとき、共有点は２個

Ｄ＝０より

－ｋ²＋25＝０

ｋ²－25＝０

ｋ＝±５

このとき、共有点は１個

Ｄ＜０より

－ｋ²＋25＜０

ｋ²－25＞０

（ｋ＋５）（ｋ－５）＞０

ｋ＜－５、ｋ＞５

このとき、共有点は０個

よって、

－５＜ｋ＜５のとき、２個

ｋ＝±５のとき、１個

ｋ＜－５、ｋ＞５のとき０個

問題

円（ｘ－１）²＋（ｙ－１）²＝ｒ²と直線ｙ＝２ｘ－３の共有点の個数は、半径ｒの値によって、どのように変わるか調べよ。

円の中心（１，１）、半径ｒ

中心と直線２ｘ－ｙ－３＝０の距離

　　｜２・１－１・１－３｜

ｄ＝━━━━━━━━━━━

　　　√｛２²＋（－１）²｝

ｄ＝２√５/５

２点で交わるとき

ｄ＜ｒより

ｒ＞２√５/５

ｒ＞０だから、ｒ＞２√５/５

１点で接するとき

ｄ＝ｒより

ｒ＝２√５/５（ｒ＞０に適する）

共有点がないとき

ｄ＞ｒより

ｒ＜２√５/５

ｒ＞０だから

０＜ｒ＜２√５/５

よって、

ｒ＞２√５/５のとき、２個

ｒ＝２√５/５のとき、１個

０＜ｒ＜２√５/５のとき、０個

※別解

ｙ＝２ｘ－３を円の方程式に代入

（ｘ－１）²＋（２ｘ－４）²＝ｒ²

ｘ²－２ｘ＋１＋４ｘ²－16ｘ＋16－ｒ²＝０

５ｘ²－18ｘ＋17－ｒ²＝０

判別式をＤとする

Ｄ/４＝81－85＋５ｒ²

＝５ｒ²－４

Ｄ＞０より

５ｒ²－４＞０

（√５ｒ＋２）（√５ｒ－２）＞０

ｒ＜－２√５/５、ｒ＞２√５/５

ｒ＞０だから

ｒ＞２√５/５

このとき、共有点は２個

Ｄ＝０より

５ｒ²－４＝０

ｒ＝±２√５/５

ｒ＞０だから

ｒ＝２√５/５

このとき、共有点は１個

Ｄ＜０より

５ｒ²－４＜０

（√５ｒ＋２）（√５ｒ－２）＜０

－２√５/５＜ｒ＜２√５/５

ｒ＞０だから

０＜ｒ＜２√５/５

このとき、共有点は０個

よって、

ｒ＞２√５/５のとき、２個

ｒ＝２√５/５のとき、１個

０＜ｒ＜２√５/５のとき、０個

問題

ｘ²＋ｙ²＝５上の点Ｐ（１，－２）における接線の方程式を求めよ。

ｘ²＋ｙ²＝ｒ²上の点（ａ，ｂ）における接線の方程式

ａｘ＋ｂｙ＝ｒ²

１・ｘ＋（－２）・ｙ＝５

ｘ－２ｙ－５＝０

問題

次の円上の点Ｐにおける接線の方程式を求めよ。

1）ｘ²＋ｙ²＝９、Ｐ（－２，√５）

2）ｘ²＋ｙ²＝36、Ｐ（０，－６）

1）

－２・ｘ＋√５・ｙ＝９

－２ｘ＋√５ｙ－９＝０

２ｘ－√５ｙ＋９＝０

2）

－６・ｙ＝36

ｙ＝－６

問題

点Ａ（３，１）から円ｘ²＋ｙ²＝２に引いた接線の方程式と接点の座標を求めよ。

接点を（ａ，ｂ）とする

ｘ²＋ｙ²＝２上にあるから

ａ²＋ｂ²＝２　①

接線の方程式は、

ａｘ＋ｂｙ＝２

（３，１）を通るから

３ａ＋ｂ＝２

変形して

ｂ＝２－３ａ　②

①に代入

ａ²＋（２－３ａ）²＝２

ａ²＋４－12ａ＋９ａ²＝２

10ａ²－12ａ＋２＝０

５ａ²－６ａ＋１＝０

５　－１　－１

　×

１　－１　－５

　　　　　－６

（５ａ－１）（ａ－１）＝０

ａ＝1/5、１

ａ＝1/5のとき、ｂ＝7/5

接点（1/5、7/5）

ａｘ＋ｂｙ＝２より

接線の方程式は

（1/5）ｘ＋（7/5）ｙ＝２

ｘ＋７ｙ－10＝０

ａ＝１のとき、ｂ＝－１

接点（１，－１）

ａｘ＋ｂｙ＝２より

接線の方程式は

ｘ－ｙ＝２

ｘ－ｙ－２＝０

よって、

接線の方程式と接点は

ｘ＋７ｙ－10＝０、（1/5、7/5）

ｘ－ｙ－２＝０、（１，－１）

問題

点Ａ（７，１）から円ｘ²＋ｙ²＝25に引いた接線の方程式を求めよ。

接点を（ａ、ｂ）とする

ｘ²＋ｙ²＝25上にあるから

ａ²＋ｂ²＝25　①

接線の方程式は

ａｘ＋ｂｙ＝25

（７，１）を通るから

７ａ＋ｂ＝25

変形して

ｂ＝25－７ａ　②

①に代入

ａ²＋（25－７ａ）²＝25

ａ²＋625－350ａ＋49ａ²－25＝０

50ａ²－350ａ＋600＝０

ａ²－７ａ＋12＝０

（ａ－３）（ａ－４）＝０

ａ＝３，４

②より

ａ＝３のとき、ｂ＝４

よって、

３ｘ＋４ｙ＝25

ａ＝４のとき、ｂ＝－３

よって、

４ｘ－３ｙ＝25

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　私は数学が苦手で、その中でも図形や確率の問題が苦手でした。この塾に通って、自分の分からないことをたくさん質問できるので、苦手な部分の点数を上げることができました。また、テストのたびに得点が上がっていくので、自分の勉強に手ごたえを感じることができました。

やり方が分かり

勉強の習慣がついた！

　分からないことがあっても先生が優しく教えてくれるので、安心して質問することができました。苦手な内容を一つひとつ確実に解決していくことができるので、勉強のやり方が分かってきて、家でもしっかりと勉強する習慣がつきました。高校でも自分の夢に向かって勉強を頑張っていきます。

英語に自信がつき

入試で大幅アップ！

　勉強の内容以外にも、勉強する意味や高校に進学した後のことなどを教えてもらい、受験に向けて目標をしっかり持つことができました。英語のリーディング対策を通して、長文問題にも自信をもって取り組めるようになり、入試では点数を大きく上げることができました。

英語と数学は

これからもこの塾で！

　苦手だった英語の長文問題ができるようになりました。数学の応用問題では、ていねいに解説してもらえるので解き方が分からなかった内容も理解できました。高校生になってからも英語や数学を伸ばしていけるように、この塾で頑張っていきたいです。

この塾で本当に良かった！

　通い続けて良かったことは、勉強の習慣が身についたことです。塾や学校の授業のために、復習だけでなく自分から予習をするようにもなりました。この塾では、苦手教科を重点的に学習できるので、テストや入試の点数を大きく上げることができました。この塾に通って、本当に良かったと思っています！！

理数への意識が変わり

自分から進んで勉強しています！

　入塾する前は数学と理科が苦手で、あまり好きな教科ではありませんでした。この塾に通って、問題の見方や考え方が分かってきて、学校のテストの成績が上がりました！家庭学習でも進んで取り組めるようになり、自分でも実力が大きくついてきたと感じています。

目標の中学受験

苦手を克服して志望校合格！

　中学受験を目標にして通いました。自分のペースで勉強できるところがこの塾の良さだと思っています。苦手な問題にも進んで挑戦できるようになり、克服することができました。この塾で、自分に合う勉強のやり方が分かってきたおかげで、志望校に合格することができました。

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