円周角と三角形の相似

たむかい学習教室
1月19日
読了時間: 6分

円周角と三角形の相似

当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

三角形の相似では、円周角の定理を利用した問題があります。問題で与えられた図形の中から、同じ長さの弧に対応する円周角を見つけて、相似の証明をしたり辺の長さなどを求めたりします。

円周角の見方

問題

次の図で、∠ｘの大きさを求めなさい。

1）

直径ＣＤに対する円周角だから

∠ＣＥＤ＝90°

△ＣＤＥにおいて

∠ＣＤＥ＝180°－90°－40°＝50°

線分ＯＥをひく

△ＯＤＥは、

ＯＤ＝ＯＥの二等辺三角形だから

∠ＯＥＤ＝∠ＯＤＥ＝50°

中心角ＢＯＥは、

円周角ＢＡＥの２倍だから

∠ＢＯＥ＝27°×２＝54°

△ＯＢＥにおいて内角と外角の関係より

∠ｘ＝∠ＯＥＤ＋∠ＢＯＥ　　＝50°＋54°＝104°

2）

直径ＡＢに対する円周角だから

∠ＡＣＢ＝90°

△ＰＢＣにおいて

∠ＰＣＢ＝90°だから

∠ＰＢＣ＝180°－90°－56°＝34°

∠ＰＢＣはＣ⌒Ｄに対する円周角だから

∠ｘ＝２∠ＰＢＣ

　　＝２×34°＝68°

3）

直径ＢＤに対する円周角だから

∠ＢＡＤ＝90°

△ＡＢＤにおいて

∠ＡＤＢ＝180°－90°－72°＝18°

よって、

∠ＡＤＥ＝56°－18°＝38°

Ａ⌒Ｅに対する円周角だから

∠ｘ＝∠ＡＤＥ＝38°

4）

線分ＣＤをひく

Ｄ⌒Ｅに対する円周角だから

∠ＤＣＥ＝∠ＤＦＥ＝20°

対頂角だから

∠ＣＧＤ＝∠ＢＧＥ＝122°

△ＧＣＤにおいて

∠ＣＤＧ＝180°－20°－122°＝38°

Ｂ⌒Ｃに対する円周角だから

∠ｘ＝∠ＣＤＢ＝38°

円周角と相似

問題

下の図で、４点Ａ、Ｂ，Ｃ、Ｄは円周上の点であり、ＡＣとＢＤの交点をＥとする。ＡＢ＝６cm、ＡＥ＝２cm、ＤＣ＝９cmのとき、ＤＥの長さを求めなさい。

△ＡＢＥと△ＤＣＥにおいて

Ｂ⌒Ｃに対する円周角だから

∠ＢＡＥ＝∠ＣＤＥ

Ａ⌒Ｄに対する円周角だから

∠ＡＢＥ＝∠ＤＣＥ

２組の角が等しいので

△ＡＢＥ∽△ＤＣＥ

対応する辺の比は等しいから

ＡＢ：ＤＣ＝ＡＥ：ＤＥ

６：９＝２：ＤＥ

２：３＝２：ＤＥ

１：３＝１：ＤＥ

ＤＥ＝３cm

問題

下の図のような円があり、異なる３点Ａ、Ｂ、Ｃは円周上の点で、ＡＢ＝ＡＣ、∠ＢＡＣは鋭角である。点Ｃから線分ＡＢに垂線をひき、その交点をＤとする。直線ＣＤと円との交点のうち、点Ｃと異なる点をＥとし、点Ｅと点Ａを結ぶ。

また、円周上に、点Ｅと異なる点Ｆを、Ｂ⌒Ｅ＝Ｂ⌒Ｆとなるようにとる。線分ＡＦと線分ＣＥ、線分ＢＣとの交点をそれぞれＧ、Ｈとする。このとき、あとの問いに答えなさい。

1）△ＡＤＥ∽△ＡＨＢであることを証明しなさい。

2）点Ｂと点Ｅを結ぶとき、ＢＥ＝ＣＧであることを証明しなさい。

1）

△ＡＤＥと△ＡＨＢにおいて

Ｂ⌒Ｅ＝Ｂ⌒Ｆより

長さが等しい弧に対する円周角は等しいから

∠ＥＡＢ＝∠ＢＡＦ

よって、

∠ＥＡＤ＝∠ＢＡＨ　①

Ａ⌒Ｃに対する円周角は等しいから

∠ＡＥＣ＝∠ＡＢＣ

よって、

∠ＡＥＤ＝∠ＡＢＨ　②

①、②より

２組の角がそれぞれ等しいので

△ＡＤＥ∽△ＡＨＢ

2）

△ＡＢＥと△ＡＣＧにおいて

仮定より

ＡＢ＝ＡＣ　①

Ａ⌒Ｅに対する円周角だから

∠ＡＢＥ＝∠ＡＣＥ

よって、

∠ＡＢＥ＝∠ＡＣＧ　②

Ｂ⌒Ｅ＝Ｂ⌒Ｆより

∠ＢＡＦ＝∠ＢＣＥ　③

三角形の内角と外角の関係より

∠ＡＤＧ＝∠ＡＧＣ－∠ＢＡＦ　④

∠ＧＨＣ＝∠ＡＧＣ－∠ＢＣＥ　⑤

③、④、⑤より

∠ＡＤＧ＝∠ＧＨＣ＝90°

ＡＢ＝ＡＣだから

∠ＢＡＦ＝∠ＣＡＧ　➅

Ｂ⌒Ｅ＝Ｂ⌒Ｆより

∠ＢＡＦ＝∠ＢＡＥ　⑦

➅、⑦より

∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＧ　⑧

①、②、⑧より

１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので

△ＡＢＥ≡△ＡＣＧ

合同な図形の対応する辺は等しいから

ＢＥ＝ＣＧ

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